8
|
Комплекс сандар Және оларға қолданылатын амалдар
Комплекс санды алгебралық түрде берiлген дейдi, егер ол
, (1)
мұндағы х - комплекс санның нақты бөлігі, x=Rez,
у - комплекс санның жорамал бөлігі, y=Іm z,
жорамал бірлік, .
Егер болса, онда - нақты сан. Егер болса, онда - таза жорамал сан.
Егер комплекс сан болса, онда санын z санына түйіндес сан, ал - комплекс z санының нақты бөлігі, комплекс z санның жорамал бөлігі дейді.
Екі түйіндес комплекс сандардың көбейтіндісі оң сан:
Комплекс сандарға амалдар қолдану. Екі комплекс сан берілсін: және , онда
.
Кез келген (1) комплекс санды координаталары х пен у болатын жазықтықтағы нүкте түрінде кескіндеуге болады. Онда әрбір (1) комплекс санға векторы сәйкестендіріледі.
У
М
у
О Х
Осы вектордың ұзындығын комплекс санының модулі деп атайды да - деп белгілейді:
(2)
векторының О осінің оң бағытымен жасайтын бұрышын комплекс санының аргументі деп атайды және оны Arg z деп белгілейді
аргументтің бір ғана мәні шартты қанағаттандырса, онда оны аргументтің бас мәні деп атап, белгілейді:
Егер , мұнда нүктесінің полярлық координаталарын және деп белгілесек, онда комплекс санның тригонометриялық түрі
(3)
формуламен беріледі.
Енді ескерсек, комплекс санның көрсеткіштік түрі былай жазылады:
(4)
Егер және берілсе, онда
.
Егер болса, бұл теңсіздіктер теңдіктерге айналады.
;
Егер болса, онда , сондықтан болады. Бұдан Муавр формуласын аламыз:
. (5)
Егер және болса, онда n түбірдің әртүрлі түбірлерінің мәндерін анықтайтын формула шығады:
. (6)
(6) өрнек геометриялық тұрғыдан түбірдің n мәнін центрі координатаның бас нүктесінде жатқан радиусы тең болатын шеңберге іштей сызылған дұрыс n көпбұрыштың төбелері түрінде бейнелейді.
Мысал. комплекс санның модулін және аргументін анықтау керек.
Шешуі. (2) формула бойынша модулін табамыз: , сондықтан . Аргументін табамыз:
.
Мысал. алгебралық түрге келтіру керек.
Шешуі.
Мысал. Комплекс жазықтықта теңдікті қанағаттандыратын нүктелер жиынын тауып, оның геометриялық мағынасын анықтау керек.
Шешуі. деп ұйғарып, Эйлер формуласын қолдана отырып (нақты және жорамал бөліктерін жекешелеп), эллипстін параметрлік түрдегі теңдеуін аламыз
,
осы жүйедегі t параметірінен құтылып, декарт координа-талар жүйесіндегі эллипстің теңдеуін аламыз
|
2
|
