Комплекс сандар және оларға қолданылатын амалдар Комплекс санды алгебралық түрде берiлген дейдi, егер ол
, (1)
мұндағы х - комплекс санның нақты бөлігі, x=Re z,
у - комплекс санның жорамал бөлігі, y=Іm z, жорамал бірлік, .
Егер комплекс сан болса, онда санын z санына түйіндес сан, ал -комплекс zсанының нақты бөлігі, комплекс z санның жорамал бөлігі дейді.
Екі түйіндес комплекс сандардың көбейтіндісі оң сан:
Комплекс сандарға амалдар қолдану. Екі комплекс сан берілсін: және , онда
.
Кез келген (1) комплекс санды координаталары х пен у болатын жазықтықтағы нүкте түрінде кескіндеуге болады. Онда әрбір (1) комплекс санға векторы сәйкестендіріледі.
Осы вектордың ұзындығын комплекс санының модулі деп атайды да -деп белгілейді:
(2)
векторының Оосінің оң бағытымен жасайтын бұрышын комплекс санының аргументі деп атайды және оны Arg z –депбелгілейді
аргументтің бір ғана мәні шартты қанағаттандырса, онда оны аргументтің бас мәні деп атап, белгілейді:
Егер , мұнда нүктесінің полярлық координаталарын және деп белгілесек, онда комплекс санның тригонометриялық түрі
(3)
формуламен беріледі.
Енді ескерсек, комплекс санның көрсеткіштік түрі былай жазылады:
(4)
Егер және берілсе, онда
.
Егер болса, бұл теңсіздіктер теңдіктерге айналады.
;
Егер болса, онда , сондықтан болады. Бұдан Муавр формуласын аламыз:
. (5)
Егер және болса, онда n түбірдің әртүрлі түбірлерінің мәндерін анықтайтын формула шығады:
(6)
(6) өрнек геометриялық тұрғыдан түбірдің n мәнін центрі координатаның бас нүктесінде жатқан радиусы тең болатын шеңберге іштей сызылған дұрыс n көпбұрыштың төбелері түрінде бейнелейді.
ге келтіру керек.
Мысал. комплекс санның модулін және аргументін анықтау керек.
Шешуі. (2) формула бойынша модулін табамыз: , сондықтан . Аргументің табамыз:
.
Мысал. алгебралық түрге келтіру керек.
Шешуі.
Мысал. Комплекс жазықтықта теңдікті қанағаттандыратын нүктелер жиынын тауып, оның геометрия-лық мағынасын анықтау керек.
Шешуі. деп ұйғарып, Эйлер формуласын қолдана отырып (нақты және жорымал бөліктерін жекешелеп), эллипстін параметрлік түрдегі теңдеуін аламыз
,
осы жүйедегі t параметірінен құтылып, декарт координаталар жүйесіндегі эллипстің теңдеуін аламыз
