Анықтама. Центрі z0 нүктесінде орналасқан радиусы -ге тең доңгелектің ішкі нүктелерінің жиынының, яғни теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелердің жиынын, z0 нүктесінің аймағы деп атайды да былай белгілейді
.
Комплекс сандар тізбегі
(1)
берілсін, мұндағы
Анықтама. Егер қайсы бір санынан тәуелді натурал саны табылып, n номерлері осы -нен артық болып келген ( ) комплекс сандар тізбегінің мүшелері үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда z0 санын комплекс сандар тізбегінің шегі деп атайды да былай белгілейді
немесе .
1-теорема. Комплекс сандар тізбегінің шегі бар болуы үшін , болуы қажетті және жеткілікті.
Сонымен, (1) комплекс сандар тізбегі жинақты болса, онда олардың бөліктерінен құрылған тізбектер де жинақты және кері тұжырым да дұрыс болады.
2-теорема (Коши критериі). (1) комплекс сандар тізбегі жинақты болуы үшін қайсы бір санынан тәуелді натурал саны табылып, барлық және кез келген үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
3-теорема. Кез келген жинақты тізбек әрқашан шектелген болады.
4-теорема (Больцано-Вейерштрасс теоремасы). Кез келген шектелген комплекс сандар тізбегінен белгілі бір тиянақты шекке ұмтылатын бөлімше тізбек бөліп алуға болады.
Егер екі комплекс сандар тізбектері берілсе және олар ұмтылса, онда мына тізбектерінің шектері бар болады да келесі арақатыстар орындалады:
,
,
.
2
3
Комплекс айнымалы функциялар
Комплекс сандарды тіктөртбұрышты координаталар жүйесінде берілген жазықтықтағы нүктелер жиыны арқылы кескіндеуге болады. Комплекс сандардан құрылған Е жиынын алып, комплекс сан осы Е жиынының әрбір санымен теңбе-тең болсын. Бұл жағдайда z комплекс айнымалы, ал Е оның өзгеру облысы.
Анықтама. Егер тәуелсіз комплекс айнымалы z қабылдайтын әрбір мәніне, яғни Е жиынының әрбір санына, белгілі бір комплекс сандық мән сәйкес келсе, тәуелсіз айнымалы z функциясы деп атайды да белгілейді.
Аргумент комплекс сан болғандықтан функцияның мәні де комплекс сан, яғни түрде қарастырамыз, мұндағы функциялар х пен у тен тәуелді нақты функциялар. Егер аргументтің әр түрлі мәндеріне -тің әр түрлі мәндері сәйкес келсе, онда функциясын бірмәнді немесе бірпарақты функция деп атайды.
Мысал. функцияның нақты және жорамал бөліктерін жекешелеу керек
Шешуі. Айталық , осыдан
