4 Егер және болса, онда болады. Демек анықталмаған интеграл пішіні интегралдау айнымалысынан тәуелсіз.
Мысалы, деп алсақ
,
Жиі қолданылатын интегралдар кестесі:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Интеграл астындағы функцияны ықшамдау арқылы кейбір анықталмаған интегралдар 1-18 кестелік интегралды қолданып есептеледі. Осыған мысалдар келтірейік.
Мысал 1
Шешуі Қажетті элементар түрлендірулерді жүргізгеннен кейін, мүшелеп интегралдасақ интеграл кестедегі 1 және 2 формулаларына келтіріледі.
Мысал 2
Шешуі Элементар түрлендірулері және (3) формуланы қолданып мына тењдікке келеміз.
Мысал 3
Шешуі
Мысал 4
Бөліміндегі көпмүшеліктен толық квадрат бөліп аламыз.
. Енді екенін ескеріп, кестедегі 8 формуланы пайдаланамыз.
Дифференциал белгісінің астына кіргізу арқылы интегралдау:
және мұндағы . Бұл түрлендіру функциясын дифференциал белгісінің астына кіргізу деп аталады.
Мысал 5
2 Интегралдаудың негізгі әдістері
Бөліктеп интегралдау әдіс: Бөліктеп интегралдау формуласы деп келесі теңдікті айтамыз.
(1)
Бөліктеп интегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді. Бұл формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда қолданылады. Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді.
1) - түрдегі интеграл
Егер, -п-дәрежелі көпмүшелік болып, келесі , k=Const, функциялардың бірі болса, онда деп алып, бөліктеп интегралданады. Бұл жағдайда бөліктеп интегралдау п рет қайталанады.
2) -түріндегі интеграл
Егер -п дәрежелі көпмүшелік, ал -келесі функциялардың бірі болса , онда . Деп алып, бөліктеп интегралданады.
3) түріндегі интегралдар, мұндағы , a,b- тұрақты сандар.
Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады және екі рет бөліктеп интегралдау арқылы алғашқы интегралы бар теңдеуге келеміз. Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі.
Мысал 1 интегралын есептеу керек.
Шешуі деп аламыз. Сонда .(1)-формуласы бойынша,
Соңғы интегралға да бөліктеу интегарлдау әдісін пайдаланып
теңдігіне келеміз. Интегралдың осы мәнін (2) теңдігіне қойып, берілген интегалды табамыз:
Соңында,
Мысал 2
Шешуі деп алсақ, онда . Бөліктеп интегралдау формуласы бойынша,
Мысал 3 интегралын есептеу керек.
Шешуі -деп алсақ
Соңғы интегралды тағы да бөліктеп интегралдап, берілген интеграл белгісіз ретінде енетін
теңдеуіне келеміз. Осы теңдеуден болатынын көреміз.
Алмастыру тәсілін пайдаланып интегралдау:
Көп жағдайда тәуелсіз х айнымалысын алмастыру арқылы интегралын есептеуге болады.
1 Анықталмаған интегралдың айнымалысын екі түрлі тәсілмен алмастыруға болады.
а) мұндағы -монотоннды үзіліссіз дифференциалданатын функция. Бұл жағдайдағы айнымалыны алмастыру формуласы.
(3)
Мысал 4
Шешуі деп алсақ, онда
ә) Алмастырудың екінші түрі мұндағы u –жаңа айнымалы. Алмастыру формуласы:
(4)
Мысал 5
Шешуі Жаңа айнымалыны алмастыру арқылы еңгіземіз. Бұл формуладан деп алып, интеграл астындағы өрнекке қойсақ
. Енді алғашқы айнымалыға ораламыз.
Достарыңызбен бөлісу: | 
