Джумабаева А. А



бет1/24
Дата31.03.2020
өлшемі1,11 Mb.
#61165
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
Байланысты:
Амантаева Айым, (диплом) ММ-22 (1)

Министерство образования и науки Республики Казахстан
Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

Допущен к защите:

Декан _________________

(наименование факультета)

______________________

_________________ФИО

(подпись)

«___»________________2019 г.

Магистерская диссертация
Неравенства типа Ульянова и преобразования рядов Фурье
специальность: 6М060100 «Математика»

(научное направление)




Магистрант

_______________

Амантаева А.А.




(подпись)






























Научный руководитель

_______________

Джумабаева А.А.




(подпись)








































Зав.кафедрой

_______________

Алдай М.




(подпись)



Нур-Султан, 2019



СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................

3

  1. Тригонометрические ряды Фурье…………………………………………..

10

    1. Тригонометрические ряды Фурье..................................................................

10

1.2 Ядро Дирихле и ядро Фейера. Сумма Валле Пуссена..................................

15

1.3 Комплексный вид рядов Фурье и его производные....................................

19

1.4 Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье............................................................................................................

22


2 Основные определения и утверждения теории приближения.......................

26

2.1 Необходимые определения и леммы.............................................................

26

2.2 Модули гладкости...........................................................................................

31

2.3 Общие монотонные последовательности и их свойства ………………….

34

3 Обобщенные неравенства типа Ульянова……………………………………

38

3.1 Неравенства модулей гладкости при разных параметрах p и q…………..

38

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................

47

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ..............................................

48

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В магистерской диссертации изучается оценка модулей гладкости функции преобразованного ряда Фурье при различных параметрах p и q.

В первой главе рассмотрим тригонометрические ряды Фурье, основные свойства тригонометрических рядов Фурье и его комплексный вид, минимальное свойство коэффициентов Фурье, неравенство Бесселя и равенство Парсеваля, характер сходимости рядов Фурье, почленное дифференцирование рядов Фурье, ядро Дирихле, ядро Фейера, сумма Валле-Пуссена и его основные свойства.

Вторая глава дипломной работы посвящена изучению обобщенно-монотонных свойств мультипликативного преобразования рядов Фурье. В этой главе основной целью является оценка модулей гладкости функции преобразованного ряда Фурье при различных параметрах p и q.

Объекты исследования. Ряды Фурье, коэффициенты Фурье, преобразования рядов Фурье, неравенства типа Ульянова, модули гладкости, последовательности класса MVBVS, обобщенная производная Вейля.

Цель работы. Цели магистерской диссертации:

- всестороннее изучение ряда Фурье;

- изучение преобразованного ряда Фурье и его применение;

- обобщение неравенств типа Ульянова.



Общая методика исследования. В магистерской диссертации использованы методы гармонического анализа и результаты теории приближении.

Научная новизна работы. Результаты, полученные в магистерской диссертации, следующие: получена оценка модулей гладкости функции преобразованного ряда Фурье с помощью модули гладкости начальной функции при различных параметрах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, включающих в себя подразделы, заключения и списка использованных источников. Нумерация теорем, лемм и формул – тройная: первая цифра является номером раздела, вторая – номер подраздела, третья – номер формулы, теоремы или леммы в подразделе. Диссертация состоит из 50 страницы.

История вопроса.



История неравенств типа Ульянова начинается с результатов Харди и Литлвуда. В 1928 году Харди и Литлвуд получили следующий результат

,
где

Мы изучаем точные неравенства типа Ульянова для модули гладкости дробного порядка. -неравенства между модулю гладкости, в настоящее время называемые неравенствами типа Ульянова. Первый результат такого типа был получен Ульяновым [1] в 1968 году:



где

и

Здесь – модуль непрерывности и – модуль гладкости порядка

Следующая оценка для модулей гладкости (целочисленного порядка) принадлежит ДеВору, Рименшнейдеру, Шарпли [2] и Гольдману [3], [4]:



Аналогичные оценки для модулей гладкости функции были доказаны З. Дицианом и С. Тихоновым [5], [6]
(1)
где и

Легко увидеть, что (1) в целом не дает точной оценки. Взять, к примеру, Затем



Несколько авторов Б.В. Симонов, С. Тихонов, У. Требельс (см. [7], [8], [9]) исследовали точную форму неравенств типа Ульянова, определяемую

где и является - фракционной производной по Вейлю от функции Обратите внимание, что эта оценка дает более точную оценку, чем (2.1.1). см. также [10], [11], [12], [13], [14].

С. Тихонов и В. Требельс [15] исследовали точное неравенство Ульянова для производных Лиувилля - Вейля. Напомним это определение.



Пусть ряд Фурье функции имеет вид

где - коэффициенты Фурье. Тогда обобщенные производные Лиувилля - Вейля можно определить следующим образом (если правая часть есть ряд Фурье интегрируемой функции):

где представляет собой возрастающую (неубывающую) функцию, удовлетворяющую следующим условиям:

существует некоторое такое, что увеличивается;

медленно меняющаяся, возрастающая функция такая, что увеличивается для некоторого ;

существует некоторый такой, что с из убывает (т.е. не увеличивается);

существует некоторое такое, что увеличивается

(где);



выпуклая или локально абсолютно непрерывна и

Следующие три теоремы дают точные неравенства Ульянова для производных Лиувилля-Вейля в случаях и




Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет