Теорема 4. Пусть , ![](data:image/png;base64,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) , и . Тогда, для любого ,
1 Тригонометрические ряды Фурье
1.1 Тригонометрические ряды Фурье
Определение 1.1.1 Если для членов системы , состоящей из функции в отрезке (или в интервале ) и
будет выполнено равенство
тогда система в отрезке (или в интервале ) называется ортогональной системой.
Число
![](data:image/png;base64,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)
называется нормой функции . Если норма функции ортогональной системы на отрезке будет равно единице, то тогда такая система называется ортонормированной. В качестве простого примера ортогональной функции на отрезке можно взять систему, состоящую из тригонометрических функции
(1.1.1)
Для того, чтобы показать, что данная система на отрезке и вправду является орногональной, вычислим приведенные ниже интегралы:
1. ;
2.
3.
4. Интеграл от произведения косинуса и синуса равен нулю, и вправду
Если , тогда
5. Если , то интеграл от произведения синусов
,
где Если , тогда
.
6. Для любых целых неотрицательных чисел и при интеграл от произведения косинусов
.
Если , тогда
.
В итоге доказано, что система (1.1.1) на отрезке будет ортогональной. Но она не является ортонормированной. Система (1.1.1) определяет ортонормированную систему, только если норма функции, входящих в систему будет равна единице, например, система
Ортонормированная система в отрезке .
Также в качестве примеров ортогональных систем можно рассмотреть следующие системы
Достарыңызбен бөлісу: |