Г. К. Уазырханова

 
28 
 
Кҥштер  бір-біріне  әр-тҥрлі  бҧрыштар  жасай  бағытталғандықтан,  х  ӛсін 
кӛлбеу  жазықтықтағы  қозғалыс  бағытымен  бағыттас,  ал  у  ӛсін  кӛлбеу 
жазықтыққа  перпендикуляр  етіп  аламыз.  (2.3)  теңдеуінің  осы  ӛстердегі 
проекциясын жазайық  
                                               
                                               - mgsin

 - F
ҥйк 
+ F = ma                                      (2.4) 
                                               - mgcos

 + N = 0.                                                (2.5) 
 
 
(2.5) теңдеуден:                       
                                                         N = mgcos

. 
 
 
Ҥйкеліс кҥшінің анықтамасы бойынша F
ҥйк 
= 

N, осыдан, F
ҥйк 
= 

mgcos

.   
(2.4) теңдеуінен F тарту ҥшін табамыз: 
 
F = mgsin

 + 

mgcos

 + ma = m(gsin

 + 

gcos

 + a). 
 
 
Жҥкті кӛтеру кезінде істелінетін жҧмыстың анықтамасы бойынша: 
                                      
                                 A = F

 l= ml(g sin

 + 

gcos

 + a).                                     (2.6) 
 
 
Ӛлшем бірлігін тексереміз:  
                    
                                  

А

 = кг

м(м/с
2
) = кг

м
2
/с
2 
= Дж. 
 
 
Анықтамасы бойынша орташа қуат  
                                                                
                                                               

Р

 = 
t
А
,                                               (2.7) 
 
 
мҧндағы  t  -жҥкті  кӛтеру  уақыты.  Бастапқы  жылдамдығы  нольге  тең 
бірқалыпты  ҥдемелі  қозғалыс  кезіндегі  жолды  табу  формуласы  l  = 
2
2
at
, 
осыдан: t = 
a
l
2
. 
 
Сонда (2.7) формуласы мына тҥрге ие болады: 
                                           
                                            



 = 
a
l
А
2
 = А
l
а
2
                                             (2.8) 
 
 
Ӛлшем бірлігін тексереміз:         
                                       



 =  
м
с
м
Дж
2

 = 
с
Дж
 = Вт. 
 

 
29 
 
(2.6)  және  (2.8)  теңдеулеріндегі  шамалардың    сандық  мәндерін  қоя 
отырып есептеулер жҥргіземіз: 
                    
                           А = 100

3 (9,8

0,5 + 0,1

9,8

2
3
 + 1) 

 2026 Дж. 
                                            



 = 2026
3
2
1

 = 827 Вт. 
 
Жауабы: А=2026 Дж,    



 = 827 Вт. 
 
 
2.2.3 3 есеп. Горизонталь бағытта қандай да бір 

1 
жылдамдықпен қозғалып 
келе жатқан массасы m
1
  тең  шар,  тыныштық  қалпында  тҧрған  массасы  m
2
  тең 
шармен  соқтығысады.  Шарлар  абсолют  серпімді;  соқтығысу  тҥзу  және 
центрлік.  Бірінші  шардың  кинетикалық  энергиясының  қанша  бӛлігі  екінші 
шарға беріледі? 
Берілгені:
m
1
 
m
2
 

1
 

2
=0 
Шешуі: Бірінші шардың екінші шарға берген энергиясының ҥлесі 
мына қатынас арқылы анықталады  
                                
                               

 = 
1
2
K
K
W
W
 = 
2
1
1
2
2
2

m
u
m
 = 
2
1
2
1
2







u
m
m
,                              (2.9) 
  
мҧндағы  W
К1
-  бірінші  шардың  соқтығысуға  дейінгі  кинетикалық 
энергиясы;  u
2
  және  W
К2
  –  екінші  шардың  соқтығысқаннан  кейінгі 
жыламдығы мен кинетикалық энергиясы. 
1
2
K
K
W
W
 -? 
 
     (2.9) теңдеуден кӛрініп тҧрғандай, 

 анықтау  ҥшін  u
2 
табу керек.  Абсолют 
серпімді  денелер  соқтығысқан  кезде  бір  уақытта  импульс  пен  механикалық 
энергияның сақталу заңдары орындалады. Осы заңдарды берілген жағдай ҥшін 
жазайық: 
                                          m
1

1 
=  m
1
u
1 
+ m
2
u
2
;                                              (2.10) 
                                          
2
2
1
1

m
 = 
2
2
1
1
u
m
 + 
2
2
2
2
u
m
.                                          (2.11) 
 
 
(2.10) және  (2.11) теңдеулерін шеше отырып, мынаны табамыз: 
        
                                                    u
2 
= 
2
1
1
1
2
m
m
m


. 
 
 
u
2
 ӛрнегін (2.9) формуласына қоя отырып мынаны табамыз: 
  

 = 
2
2
1
1
1
1
1
2
(
2







m
m
m
m
m


= 
2
2
1
2
1
)
(
4
m
m
m
m

. 

 
30 
Табылған қатынастан, екінші шарға берілетін кинетикалық энергияның ҥлесі 
тек қана соқтығысқан шарлардың массасына тәуелді екені кӛрініп тҧр. Егерде 
шарлардың орнын ауыстырсақ берілетін энергияның ҥлесі ӛзгермейді. 
 
Жауабы: 

 = 
2
2
1
2
1
)
(
4
m
m
m
m

. 
 
2.2.4  4  есеп.  Массасы  1  кг  дене  тҧрақты  кҥштің  әсерінен  тҥзу  сызықты 
қозғалады. Дененің жҥріп ӛткен жолының уақытқа тәуелділігі S = (2t
2 
+ 4t + 1)м 
теңдеуімен берілген. Кинетикалық энергияның уақытқа тәуелділігі мен кҥштің  
әсері басталғаннан 10 с ӛткеннен кейінгі істеген жҧмысын анықтаңыз.  
 
Берілгені: 
m=1 кг 
S=(2t
2
+4t+1)м 
Шешуі: Кҥш істеген жҧмыс қисық сызықты интеграл арқылы 
ӛрнектеледі   
                                             
                                            А=

F
dS  .                                   (2.12) 
 
A-? W
к
(t)-?  
Ньютонның екінші заңы бойынша денеге әсер етуші кҥш F = ma   тең немесе  
 
                                                             F  =m
2
2
dt
S
d
 .                                              (2.13) 
 
 
Ҥдеудің  лездік  мәні  жылдамдықтың  уақыт  бойынша  бірінші  туындысы 
немесе  жолдың  уақыт  бойынша  екінші  туындысы  болады.  Осыған  сәйкес 
табатынымыз: 
                                                       

 = 
dt
dS
 = 4t + 4;                                             (2.14)            
                                                            а =
2
2
dt
S
d
= 4 м/с
2
.                                       (2.15) 
 
осыдан 
                                                             F = m
2
2
dt
S
d
= 4m.                                       (2.16) 
 
 
(2.14) ӛрнегінен dS анықтаймыз:           
                                                  
                                                  dS = (4t + 4)dt.                                                   (2.17) 
 
 
(2.16) және (2.17) теңдеулерін (2.12) теңдеуіне қойып, мынаны табамыз:   
                                                
                                                   А=

4
m(4t+4)dt. 
 

 
31 
Мына  формула  бойынша  кҥштің    әсері  басталғаннан  10  с  ӛткеннен  кейінгі 
істеген жҧмысын анықтаймыз: 
 
А =

10
0
16
(
mt +16m)dt = m









10
0
10
0
2
16
2
16
t
t
 = 1(8

10
2
+16

10) Дж = 960 Дж. 
 
Кинетикалық энергия мына формула бойынша анықталады                                                                 
                                               
                                               W
к 
= 
2
2

m
.                                                              (2.18) 
 
 
(2.14) ӛрнегін (2.18) теңдеуіне қоя отырып, мынаны табамыз:  
 
                          W
к 
=  
2
)
4
4
(
2

t
m
 = 
2
)
16
32
16
(
2


t
t
m
 = m (8t
2 
+ 16t + 8). 
 
Жауабы: А= 960 Дж;    W
к  
= m (8t
2 
+16t + 8). 
 
 
2.2.5 
5  есеп.
 
Массасы  m=80г  тең  тҧтас  диск  тҥріндегі  блок  арқылы  жіңішке 
майысқақ жіп ілінген және оның ҧштарына  массалары m
1
=100 г  және m
2
=200 г 
жҥктер ілінген. Егер де оларды ӛз жайына қалдырса жҥктер қандай ҥдеулермен 
қозғалады? Жіптің массасы мен ҥйкелісі ескерілмейді. 
 
Берілгені: 
m=80 г=0,08 кг 
m
1
=100 г=0,1 кг 
m
2
=200 г=0,2 кг 
 
Шешуі:    Ілгерлемелі және айналмалы 
қозғалыс    динамикасының  негізгі 
теңдеулерін пайдаланамыз. Ол ҥшін әр 
жҥкке  және  блокқа  әсер  ететін 
кҥштерді 
қарастырамыз. 
Бірінші 
жҥкке  екі  кҥш  әсер  етеді: 
g
m

1
 
ауырлық  кҥші  және 
1
Т

  серпімділік 
кҥші  (жіптің  керілу  кҥші).  Ол 
кҥштердің  тік  жоғары  бағыттаған  у 
ӛсіндегі проекциясын алып, осы ӛстегі 
қозғалыс теңдеуін (Ньютонның екінші 
заңы) жазайық : 
а-? 
                                                                                                                     2.3-сурет 
                                         m
1
g - T
1 
= - m
1
a.                     (2.19)                                                              
                                             
 
Сәйкесінше екінші жҥктің қозғалыс теңдеуін жазайық:                                                                                           
                                            
                                            m
2
g - T
2 
= m
2
a.                    (2.20) 

 
32 
 
Чертеж  жазықтығына  перпендикуляр  ӛске  қатысты 
r
Т

1
  және 
r
Т

2
  екі 
кҥш моменттерінің әсерінен блок 

  (

 = а/ r)  бҧрыштық ҥдеуге ие болады. 
 
Айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуіне сәйкес       
                                         
                                                
r
Т

2
 - 
r
Т

1
= J
z

,                                             (2.21) 
 
мҧндағы J
z 
= 
2
1
mr
2
 – блоктың (тҧтас диск) z ӛсіне қатысты инерция моменті. 
 

1
Т
  кҥші  Ньютонның  ҥшінші  заңына  сәйкес  абсолют  мәні  бойынша  Т
1 
кҥшіне тең. Сәйкесінше 

2
Т
 кҥші абсолют мәні бойынша Т
2
 кҥшіне тең. Осыны 
қолдана отырып, (2.21) теңдеуіндегі 

2
Т
 және 

1
Т
орнына Т
1
 және  Т
2 
ӛрнектерін 
қоямыз, ал оларды алдын ала (2.19) және (2.20) теңдеулері арқылы  табамыз: 
 
                                       (m
2
g - m
2
a)r -  (m
1
g + m
1
a)r = 
2
1
mr
2
r
а
. 
 
Осы ӛрнекті ықшамдай отырып, ҥдеудің ӛрнегін аламыз: 
 
                                              а =
2
1
2
1
2
m
m
m
m
m



g.                                                   (2.22) 
 
 
(2.22) формуласының оң жағындағы массалар қатынасының ӛлшем бірлгі 
бірге  тең.  Сондықтан  m
1
,  m
2   
және    m  массаларының  сандық  мәндерін  есептің 
берілгенінде  кӛрсетілгендей  грамм  арқылы  ӛрнектеуге  болады.  Еркін  тҥсу 
ҥдеуінің  сандық  мәнінің  орнына  ХБ  жҥйесіндегі  ӛлшем  бірлігі  алынады. 
Есептеулер жҥргізу арқылы мынаны табамыз  
 
а = 
2
80
100
200
100
200




9,81 = 2,88 м/с
2
. 
Жауабы: а = 2,88 м/с
2
. 
 
 
2.2.6    6  есеп.  Массасы  m=50  кг  және  радиусы  R=0,2  м  тең  тҧтас  диск 
тҥріндегі  маховикті 

1
=  480  мин
-1
  жиілікке  дейін  айландырып,  қоя  берген. 
Ҥйкеліс  кҥшінің  әсерінен  маховик  t  =50  с  уақыттан  кейін  тоқтады.  Ҥйкеліс 
кҥшінің моментін М анықтаңыз.  

 
33 
 
Берілгені: 
R=0,2 м 
m=50 кг  

1
=480 мин
-1
=8 с
-1 
t=50 с 
      
 Шешуі:  Есепті  шығару  ҥшін  айналмалы  қозғалыс 
динамикасының негізгі теңдеуінің мына тҥрін қолданамыз  
        
                                dL
z 
= M
z
dt,                                      (2.23) 
 
мҧндағы dL
z 
– маховиктің геометриялық ӛсімен беттесетін z 
ӛсіне  қатысты    маховиктің  импульс  моментінің  dt  уақыт 
аралығындағы ӛзгерісі;  
М-? 
M
z
  –маховикке  әсер  ететін  сыртқы  кҥштердің  z  ӛсіне  қатысты  моменті  (бҧл 
жағдайда ҥйкеліс кҥшінің моменті). 
Ҥйкеліс  кҥшінің  моменті  уақыт  ӛте  келе  ӛзгермейді  (M
z 
=  const), 
сондықтан (2.23) теңдеуін интегралдау мына ӛрнекке әкеледі  
                                                     
                                                   

L
z  
= M
z

t.                                                    (2.24) 
 
Қатты дененің қозғалмайтын ӛске қатысты айналмалы қозғалысы кезіндегі 
импульс моментінің ӛзгерісі  
                                                     
                                                   

L
z 
= J
z

,                                                     (2.25) 
 
мҧндағы J
z 
= 
2
1
mR
2
  - маховиктің (тҧтас диск) z ӛсіне қатысты инерция моменті;  

  -  маховиктің  бҧрыштық  жылдамдығының  ӛзгерісі.    (2.24)    және    (2.25) 
теңдеулерінің оң жақтарын теңестіре отырып, мынаны табамыз:  
                                                      
                                                M
z
.

t = J
z
.

,  
осыдан                          
                                                  M
z 
= J
z
t



.                                                      (2.26) 
 

  = 

2 
- 

1 
бҧрыштық  жылдамдықтың  ӛзгерісін 

  =  2

  қатынасын 
пайдалана  отырып,  анықталған 

1
  бастапқы  және 

2
  соңғы  айналу  жиіліктері 
арқылы ӛрнектейміз  
 
                                 

 = 

2 
- 

1 
= 2

2 
- 2

1 
= 2

 (

2
-

1
). 
 
(2.26) формуласына J
z
 және 

, ӛрнектерін қойып, мынаны табамыз   
 
                                             
                                               M
z 
= 

 mR
2
(

2
-

1
) /

t.                                         (2.27) 
 

 
34 
Есептеу  формуласы  кҥш  моментінің ӛлшем  бірлігін бере ме  жоқ па  соны 
тексерейік. Ол ҥшін формуланың оң жағындағы шамалардың орнына олардың 
ӛлшем бірліктерін қоямыз: 
                                   
                                          [M]= 
с
с
м
кг
1
2



= кг

м

с
-2

м = Н

м. 
 
Табылған  (Н

м)  ӛлшем  бірлігі  кҥш  моментінің  ӛлшем  бірлігі  болып 
табылады.  (2.27)  теңдеуіндегі  шамалардың  сандық  мәндерін  қоя  отырып, 
есептеулер жҥргіземіз: 
                                  
                                           M
z 
=  
50
)
8
0
(
)
2
,
0
(
50
14
,
3
2




= - 1Н

м. 
 
“Минус”  таңбасы,  ҥйкеліс  кҥші  маховик  қозғалысына  қарама-қарсы 
бағытта әсер ететінін кӛрсетеді. 
 
Жауабы: М = - 1 Н

м. 
 
2.2.7 7 есеп. Массасы 2 кг тең шар горизонталь жазықтықта домалап келе 
жатыр.  Қозғалыс  басталғаннан  2  мин  ӛткеннен  кейін  шар  тоқтайды.  Егер 
шардың  бастапқы  жыламдығы  2  м/с  тең  болса,  ҥйкеліс  кҥшінің  жҧмысы  неге 
тең?  
 
Берілгені: 
m=2 кг 
t=2 мин =120с 

0 
= 2 м/c 
 
Шешуі:  Шардың  толық  кинетикалық  энергиясы  оның 
ілгерлемелі  қозғалысы  мен  айналмалы  қозғалысының 
кинетикалық энергияларының қосындысынан тҧрады. Шардың 
толық  тоқтау  мезетіне дейін бҧл  энергия  ҥкеліс  кҥшін  жеңуге 
шығындалады  да,  энергияның  сақталу  заңы  бойынша  ол 
ҥйкеліс кҥшінің жҧмысына тең: 
 
А-?   F
ҥйк
-? 
                                                         А = 
2
2
0

m
 + 
2
2

J
,  
мҧндағы   J=
5
2
mR
2
 – шардың инерция моменті, 

 -оның бҧрыштық жыламдығы.  

 = 

0
/R екенін ескерсек, онда: 
 
                                    А = 
2
2
0

m
 + 
5
2
2
1

 mR
2

2
2
0
R

 = 0,7 m
2
0

. 
 
                                               [A ] = кг

м
2
/с
2 
= Дж 
 
                                               А = 0,7

2

4 = 5,6 Дж. 
 

 
35 
Жҧмыстың анықтамасы бойынша:   
                                                          
                                                           А = F
ҥйк

S, 
мҧндағы жол    
                                                           S = аt
2
/2.  
 
Тоқтағанға дейінгі бірқалыпты кемімелі қозғалыс кезінде 
                                                      
                                                      

0 
= аt,    S = 

0
t/2, 
онда:                                   
                                                  F
ҥйк 
=  
S
A
 = 
t
A
0
2

.  
Ӛлшем бірлігін тексереміз: 
                                           
                                                [F
ҥйк
] 
= 
с
с
м
Дж

 = 
м
м
Н

= H. 
 
Сандық мәндерін қоя отырып, есептеулер жҥргіземіз:   
 
                                          F
ҥйк =  
120
2
6
,
5
2


 

 0,047 Н. 
 
Жауабы:  А = 5,6 Дж;    F
ҥйк 
= 0,047 Н.  
 
2.2.8  8  есеп.  Массасы  m
1
=180  кг  және  радиусы  R=1,5  тең  тҧтас  диск 
тҥріндегі  платформа  инерциясы  бойынша  n=10  мин
-1 
жиілікпен  вертикаль  ӛс 
маңайында  айналмалы  қозғалыс  жасайды.  Платформа  центрінде  массасы 
m
2
=60кг  тең  адам  тҧр.  Егер  адам  платформаның  шетіне  орын  ауыстыратын 
болса, онда ол еденге қатысты қандай сызықтық жылдамдыққа ие болады? 
 
Берілгені: 
R=1,5 м 
m
1
=180 кг 
n=10 мин
-1 
m
2
=60 кг 
 
Шешуі:  Платформа  инерциясы  бойынша  айналады.    Сондықтан 
платформаның  геометриялық  ӛсімен  беттесетін  z  айналу  ӛсіне 
қатысты  сыртқы  кҥштер  моменті  нольге  тең.  Осы  шартқа  сәйкес  
платформа-адам  жҥйесінің  L
z
  импульс  моменті  тҧрақты  болып 
қалады.      
 
                                  L
z 
= J
z

 =  const,                                          (2.28) 

-? 
 
мҧндағы  J
z
  –адамы  бар  платформаның  z  ӛсіне  қатысты  инерция  моменті;             

-платформаның бҧрыштық жылдамдығы. 
Жҥйенің  инерция  моменті  осы  жҥйеге  кіретін  денелердің  инерция 
моменттерінің қосындысына тең  
 

 
36 
                                             J
z 
= J
1
+ J
2
,  
 
мҧндағы J
1
 – платфоманың инерция моменті; J
2
 – адамның инерция моменті. 
Осыны ескере отырып (2.28) теңдігі мына тҥрге ие болады: 
 
(J
1 
+ J
2
)

 = const, 
немесе 
                                                (J
1 
+ J
2
)

 = (J

1
+J

2
)


,                                       (2.29) 
 
мҧндағы  штрихталмаған  шамалардың  мәні  жҥйенің  бастапқы  кҥйіне, 
штрихталғандары соңғы кҥйіне сәйкес келеді.  
Платформаның  (тҧтас  дискінің)  z  ӛсіне  қатысты  инерция  моменті  адам 
орынын  ауыстырған  кезде  де  ӛзгермейді:  J
1 
=  J

1 
=  0,5  m
1
R
2
.  Ал  адамның  сол 
ӛске қатысты инерция моменті ӛзгереді. Егер адамды материялық нҥкте ретінде 
қарастырсақ, онда оның бастапқы кҥйіндегі (платформа центріндегі) J
2 
инерция 
моменті  нольге  тең.  Адамның  соңғы  кҥйіндегі  (платформаның  шетіндегі)  
инерция моменті J

2 
= m
2
R
2
 тең.  
(2.29)  формуласына  инерция  моменттерінің  табылған  мәндерін  қойып  және 
адамы бар платформаның 

 бастапқы бҧрыштық жылдамдығын айналу жиілігі 
n    (

  =  2

n)    арқылы,  ал 


  соңғы  бҧрыштық  жылдамдықты  адамның  еденге 
қатысты 

 сызықтық жылдамдығы арқылы ӛрнектейміз (


=

/R):   
 







0
2
1
2
1
R
m
2

n = 
R
R
m
R
m








2
2
2
1
2
1
. 
 
Бҧл  ӛрнектің  екі  жағын  да  R
2
  қысқартып  және  қарапайым  тҥрлендірулерден 
кейін бізге қажетті жылдамдықты табамыз: 
 
                                              

 = 2

 n R
2
1
1
2m
m
m

                                         (2.30) 
 
n  =  10  мин
-1 
= 
6
1
  с
-1 
екенін  ескере  отырып,  (2.30)  формуласындағы 
физикалық  шамалардың  ХБ  жҥйесіндегі  сан  мәндерін  қойып  есептеулер 
жҥргіземіз: 
 

 = 2

3,14

6
1

1,5

60
2
180
180


 = 1 м/с. 
Жауабы: 

 = 1 м/с. 
 
 
 
 

 
37 
2.2.9    9  есеп.  Су  фонтанға  ҥлкен  цилиндрлік  бак  арқылы  келеді  және  II 
саңылауынан 

2
=12  м/с  жылдамдықпен  атқылайды.  Бак  диаметрі  2  м,  II 
саңылауының кӛлденең қимасының диаметрі 2 см тең.   Табу керек: 1) бактағы 
судың 

1
  тӛмендеу  жылдамдығын;  2)  фонтанға  баратын  суға  тҥсірілген  р
1 
қысымды;  3)  бактағы  су  деңгейінің  h
1
биіктігін  және  фонтаннан  атқылаған  су 
ағынының кӛтерліу h
2 
биіктігін. 
Берілгені: 

2
=12 м/с 
D=2 м 
d=2 см=0,02 м 
 

1
-? р
1
-? h
1
-? h
2
-? 
 
 
  
Шешуі:1) Цилиндрлік бактың ішінде фонтанның II қимасының деңгейімен дәл 
келетін  I  қимасын  жҥргіземіз  (2.4  -суретті  қара).  I  қимасының  S
1 
ауданы  II 
қимасының  S
2
  ауданынан  ҥлкен  болғандықтан,  бактағы  су  деңгейінің  биіктігі   
аз  уақыт  аралығында  тҧрақты  болады,  ал  ағынды  орныққан  деп  есептеуге 
болады. Орныққан ағын ҥшін ҥзіліссіздік теңдеуі

жүктеу/скачать 2,33 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: