Ван-дер-Ваальс тҧрақтылары а және b тең газдың кризистік параметрлері  -  кӛлем, қысым, температура арасындағы байланыс

 
49 
                                                                        
3.1.29 Жылу ӛткізгіштік теңдеуі  (Фурье заңы)                 
 
                                

Q = - æ 
dx
dT
dSdt         немесе        j
Е 
= - æ 
dx
dT
 
 
3.1.30 Диффузия теңдеуі (Фик заңы)                        
 
                              dМ = - D 
dx
d

dSdt          немесе          j
т 
=  - D 
dx
d

 
 
3.1.31 Ішкі ҥйкеліс немесе тҧтқырлық теңдеуі (Ньютон заңы) 
 
                             dp= - 

 
dx
d

dSdt        немесе            j
р 
=  -

 
dx
d

 
 
3.1.32 Ішкі ҥйкеліс кҥші  (Ньютон заңы)                            
 
                                                       F = - 

 
dx
d

dS 
 
3.1.33 Диффузия коэффициенті                                                     
D = 
3
1

 

 

 
 
3.1.34 Ішкі ҥйкеліс коэффициенті (динамикалық тҧтқырлық)                                                           
          
                                                       

 =
3
1

 

 

 
 
3.1.35 Жылу ӛткізгіштік коэффициенті           
                  
æ = 
3
1
С
V 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
50 
3.2 Есеп шығару үлгілері 
 
3.2.1  1  есеп.  Кӛлемі  50  м
3
  және  температурасы  18 
0
С тең  767  мм.сын.бағ.  
қысымдағы  баллон  ішіндегі  сутегінің  қанша  молекуласы  мен  киломолі  бар 
екенін анықтаңыз. Газдың меншікті кӛлемі мен тығыздығы қандай?  
 
Берілгені: 
V=50 м
3 
P=767 мм.сын.бағ.= 
=767

1,33

10
2
Па 
T=(18+273) К=291 К 

 =2

10
-3
 кг/моль 
Шешуі:  Киломольдер  санын  Клапейрон-Менделеев 
теңдеуін қолдана отырып анықтаймыз                             
                           PV =

m
RT=

 RT,                          (3.1) 
осыдан 
                                   

 =
RT
PV
,                                  (3.2)    

 -? n -? 

 -? V
мен
- ? 
                         мҧндағы R  = 8,31 Дж/(моль

К) – универасал газ тҧрақтысы. 
 
Ӛлшем бірлігін тексереміз:  
                                  [

 ] = 
К
Дж
моль
К
м
Па




3
 = 
м
м
моль
м


2
3
= моль. 
  
(3.2)  теңдеуіндегі  шамалардың  сан  мәндерін  қоя  отырып,  есептеулер 
жҥргіземіз: 
                                    
                                

 = 
291
31
,
8
50
10
33
,
1
767
2




 = 2

10
3
 моль = 2 кмоль. 
        
Берілген  кӛлем  ішіндегі  n  молекулалар  санын,  N
A
  Авогадро  санын  (бір 
киломольдегі  молекулалар  санын  кӛрсетеді)  қолдана  отырып  табамыз. 
Киломольдер саны 

  белгілі болғандықтан, массасы m берілген газдағы барлық 
молекулалар саны:                                            
                                  n=

 N
A
                                                             (3.3) 
 
(3.3)  формуласына  (3.2)  формуласындағы  киломольдер  санын  қоя  отырып,  V 
кӛлемдегі молекулалар санын анықтаймыз  
                                               
                                               n = 
RT
РVN
A
                                                          (3.4) 
 
Ӛлшем бірлігін тексереміз:  
                               
                                        [n] =
К
К
моль
Дж
моль
м
Па








1
1
1
3
 = 1. 
 

 
51 
1 кестеге сәйкес   N
A 
= 6,02

10
23
 моль
-1
. (3.4) формуласындағы шамалардың сан 
мәндерін қоя отырып, есептеулер жҥргіземіз: 
 
                             
                                     n = 
291
31
,
8
10
02
,
6
50
10
33
,
1
767
23
2






 = 12,7

10
26
.  
 
Клапейрон-Менделеев  (3.1) теңдеуінен газ тығыздығын 

=
V
m
  анықтаймыз: 
                                       
                                           

 = Р

 / RT                                                           (3.5) 
 
Ӛлшем бірлігін тексереміз: 
                                     
                                       [

] = 
К
Дж
моль
м
К
моль
кг
Н






2
= кг/м
3
. 
  
(3.5) ӛрнегіндегі шамалардың сан мәндерін қоя отырып, есептеулер жҥргіземіз: 
 
                                

 = 
291
31
,
8
10
2
10
33
,
1
767
3
2






= 8,44

10
2
 кг/м
3
. 
 
Газдың  V
мен 
= 
m
V
  меншікті  кӛлемін  Клапейрон-Менделеев  (3.1)  теңдеуін 
қолдана отырып табамыз:  
                                                     V
мен
= 

P
RT
.                                                   (3.6) 
                               
Ӛлшем бірлігін тексереміз:  
                          
                               [V
мен
] = 
моль
К
кг
Па
моль
К
Дж





 = 
кг
м
Н
м
Н




2
= м
3
/кг. 
                 
(3.6) формуласына  сан мәндерін қоя отырып, есептеулер жҥргіземіз: 
 
                                V
мен 
= 
3
2
10
2
10
33
,
1
767
291
31
,
8






 = 11,9 (м
3
/кг). 
 
Жауабы: 

 =2 кмоль,  n =12,7

10
26
,   

 =8,44

10
2
 кг/м
3
,   V
мен 
= 11,9 (м
3
/кг). 
 
 

 
52 
3.2.2 2 есеп. Сыйымдылығы 3 м
3
 жабық ыдыста 1,4 кг азот және 2 кг гелий бар. 
Газ  қоспасының  температурасы  мен  гелийдің  парциал  қысымын  анықтаңыз. 
Азоттың парциал қысымы 1,3 атм тең.   
 
Берілгені: 
V=3 м
3
 
m
1
=1,4 кг 

1
=28

10
-3
 кг/моль 
m
2
=2 кг 

2
=4

10
-3
 кг/моль 
P
1
=1,3 атм=1,3

10
5
 Па 
Шешуі: Анықтамасы бойынша, Р
1
 және Р
2
 
парциал 
қысымдары – газ қоспасының қҧрамына кіретін гелий 
немесе азоттың  қоспа алып тҧрған кӛлемді жалғыз ӛзі 
қамтитындай жағдайда тҥсіретін қысымы.  
          Азот 
пен  гелийдің  парциал  қысымдарын 
Клапейрон-Менделеев теңдеуі арқылы анықтаймыз: 
                              
                             P
1
V=
1
1

m
RT                                  (3.7)  
немесе                  
 
Т-? Р
2
-? 
                                                                         P
2
V=
2
2

m
RT ,                             (3.8) 
 
мҧндағы  R  –  универсал  газ  тҧрақтысы, 

1
  және 

2 
–  N
2 
  пен    Не  мольдік 
массалары. 
(3.7) теңдеуінен температураны табамыз    
                                                
                                                 Т=
R
m
V
Р
1
1
1

,                                                            (3.9) 
 
(3.8) теңдеуінен гелийдің парциал қысымын анықтауға болады  
                                  
                                    Р
2 
= 
2
2

m
RV
m
V
RР
1
1
1

= 
2
1
1
1
2


m
Р
m
.                                       (3.10) 
 
Ӛлшем бірліктерін тексереміз:    
                                        [Р
2
] = 
моль
кг
кг
Па
моль
кг
кг





 = Па;      
                                          [Т] = 
Дж
моль
м
К
моль
м
Н





2
3
 = К. 
 
(3.9)  және  (3.10)  формулаларындағы  шамалардың  сан  мәндерін  қоя 
отырып, есептеулер жҥргіземіз (азот пен гелийдің мольдік массалары 7 кестенің 
кӛмегімен анықталған): 
                                      
                                      Т = 
31
,
8
4
,
1
10
28
3
10
3
,
1
3
5






= 939 К; 

 
53 
                                    Р
2 
= 
3
5
3
10
4
4
,
1
10
3
,
1
10
28
2








 = 1,3

10
6
 Па. 
 
Жауабы:  Т = 939 К;    Р
2 
= 1,3

10
6
 Па. 
 
3.2.3  3  есеп.  Температурасы  Т=350  К  тең  оттегінің  бір  молекуласының 
айналмалы қозғалысына сәйкес келетін 

w
айн

 орташа кинетикалық энергиясын 
және  массасы  m=4  г  тең  оттегінің  барлық  молекулаларының  айналмалы 
қозғалысының W
айн
 кинетикалық энергиясын анықтаңыздар.  
 
 
Берілгені: 

=32

10
-3
 кг/моль 
Т=350 К 
m=4 г=4

10
-3
 кг 
 
        Шешуі: 
Газ 
молекуласының 
әрбір 
еркіндік 
дәрежесіне бірдей орташа энергия келетіні белгілі  
  
                                   

 w
1

 = 
2
1
kT,  
 мҧндағы  k  –Больцман  тҧрақтысы;    Т  –  газдың  абсолют 
температурасы  

w
айн

-? W
айн
 -? 
Екі  атомды  (оттегі  молекуласы  екі  атомды)  молекуланың  айналмалы 
қозғалысына  екі  еркіндік  дәрежесінің  саны  сәйкес  келеді,  яғни  оттегі 
молекуласының  айналмалы  қозғалысының  орташа  энергиясы  мына  формула 
арқылы ӛрнектеледі  
                                                      

 w
айн

 = 2

2
1
kT.                                        (3.11) 
 
(3.11)  формуласына    k=1,38

10
-23
  Дж/К  және  Т=350  К  мәндерін  қоя  отырып, 
мынаны табамыз 
 

 w
айн

 = 1,38

10
-23

350 = 4,83

10
-21
 Дж. 
 
Газдың  барлық  молекулаларының  айналмалы  қозғалысының  энергиясы  мына 
теңдік арқылы анықталады  
                                    
                                     W
айн
 = 

 w
айн 

 N.                                               (3.12) 
                          
Газдың барлық молекулаларының санын мына формула арқылы табуға болады  
 
                                                   N = N
A

,                                                          (3.13) 

 
54 
мҧндағы  N
A
  –Авогадро  саны; 

  -  зат  мӛлшері.  Егер  зат  мӛлшерінің 

  =

m
  тең 
екенін ескерсек, мҧндағы m – газдың массасы, 

 - газдың мольдік массасы, онда  
(3.13) формуласы мына тҥрге ие болады:    
 
N = N
A

m
. 
 
Осы ӛрнекті (3.12) формуласына қоя отырып, мынаны табамыз  
 
                                               W
айн 
= N
A

m

 w
айн 

.                                              (3.14) 
Ӛлшем бірлігін тексереміз:  
                                             
                                  [W
айн 
] = моль
-1
1


моль
кг
кг

Дж = Дж. 
 
(3.14) формуласына сандық мәндерін қоя отырып, есептеулер жҥргіземіз: 
 
                              W
айн
 = 6,02

10
23

3
3
10
32
10
4





4,83

10
-21 
= 364 Дж. 
 
 
Жауабы: 

 w
айн

 = 4,83

10
-21
 Дж;     W
айн 
= 364 Дж. 
 
 
3.2.4  4  есеп.  Сыйымдылығы  2  л  ыдыстың  ішінде  қысымы  100  кПа  және   
27
0
С температурадағы оттегі бар. Оның барлық молекулаларының 1 с ішіндегі  
Z соқтығысулар саны мен молекулаларының  


 

 еркін жҥру жолының орташа 
ҧзындығын анықтаңыз.   
 
осыдан:                                              
 Берілгені: 
t=1 c 
V=2 л=2

10
-3
 м
3 

=32

10
-3
 кг/моль 
Т=(27+273)К=300К 
Р=100 кПа=10
5
 Па 



-?     Z-?   
Шешуі:  Оттегі  молекулаларының  еркін  жҥру  жолының 
орташа ҧзындығын мына формула арқылы табамыз   
                    



 =
n
d
2
2
1

,                                          (3.15) 
 
мҧндағы d –оттегі молекулаларының эффективті диаметрі; 
n  –  бірлік  кӛлем  ішіндегі  молекулалар  саны,    оны  мына 
формула арқылы анықтауға болады: 
                       
                                 р = nkT,  
 

 
55 
                                                            n=
kT
Р
,                                                       (3.16) 
 
мҧндағы k –Больцман  тҧрақтысы.  (3.15)  формуласына  (3.16)   формуласын  қоя 
отырып, мынаны табамыз: 
 
                                                

 =
Р
d
kT
2
2

.                                                     (3.17) 
 
Барлық молекулалар арасындағы  1 с ішіндегі   Z соқтығысулар саны мынаған 
тең  
                                            Z=
2
1

Z

N,                                                        (3.18) 
 
мҧндағы N – кӛлемі 2

10
-3
 м
3 
 ыдыстағы оттегі молекулаларының саны; 

Z

 -бір 
молекуланың  1  с  ішіндегі  орташа  соқтығысулар  саны.  Ыдыс  ішіндегі 
молекулалар саны   
                                                          
                                                          N = nV.                                                        (3.19) 
 
Молекулалардың 1 с ішіндегі орташа соқтығысулар саны мынаған тең  
 
                                                    

 Z

 = 






,                                                     (3.20) 
мҧндағы                                          
                                                   <

 > = 

RT
8
.                                                  (3.21) 
  
(3.18) формуласына  (3.19),  (3.20)  және  (3.21) ӛрнектерін қоя отырып, мынаны 
табамыз  
                         Z = 
2
1
kT
Р
d
RT
2
2
8


kT
Р

V =
2
2
2
2
2
T
k
V
Р
d


RT
.                                  (3.22) 
 
(3.17)  және  (3.22) формулаларындағы ӛлшем бірліктерін тексереміз:  
 
                                                [

] = 
2
2
1






м
Н
м
К
К
Дж
= м; 
              
           [Z] = 
2
2
2
3
4
2
2
К
К
Дж
м
м
Н
м








2
1
1
1
1













моль
кг
К
К
моль
Дж
= м
-1
2
1
2
2









кг
с
м
кг
= 
с
1
. 
 

 
56 
1,  5  және  7  кестелерінің  кӛмегімен  мыналарды  табамыз:  k  =1,38

10
-23
  Дж/К; 
оттегі ҥшін  d=2,9

10
-10
 м,   R = 8,31 Дж/(моль

К),  

 = 32

10
-3
 кг/моль. 
(3.17)  және  (3.22)  формулаларындағы  шамалардың  сандық  мәндерін  қоя 
отырып, <

 > және Z ҥшін есептеулер жҥргіземіз: 
 
Z = 
4
46
2
3
10
20
2
10
9
10
38
,
1
10
2
10
10
9
,
2
14
,
3
2













3
10
32
14
,
3
300
31
,
8




= 9

10
28
 c
-1
. 
 
<

 > = 
5
20
2
23
10
10
9
,
2
14
,
3
2
300
10
38
,
1








= 3,56

10
-8
 м. 
 
Жауабы: Z = 9

10
28
 c
-1
,    <

 > = 3,56

10
-8
 м. 
 
3.2.5  5  есеп.  Неон  мен  сутегінің  тҧрақты  с
р
  қысымдағы  және  с
v
  тҧрақты 
кӛлемдегі  меншікті  жылу  сыйымдылықтарын  анықтаңыздар.  Газдарды  идеал 
деп есептеңіздер.  
 
Шешу:  Идеал  газдардың  меншікті  жылу  сыйымдылықтары  мына 
формулалар арқылы ӛрнектеледі: 
 
                                        с
V 
= 
2
i

R
 ,                                                            (3.29)                           
                                          
                                      с
P 
= 
2
2

i

R
 ,                                                           (3.30) 
 
мҧндағы      i  –  газ  молекулаларының  еркіндік  дәрежесінің  саны;     

  -  мольдік 
масса.  
Неон ҥшін ( бір атомды газ) i=3 және 

 =20

10
-3
 кг/моль (7 кестеге қара). (3.29) 
және (3.30) формулаларына есептеулер жҥргізу арқылы мынаны табамыз: 
                                           
с
V 
=
2
3

3
10
20
31
,
8


=6,24

10
2
 Дж/(кг

К); 
 
                                   с
P 
=
2
2
3


3
10
20
31
,
8


=1,04

10
3 
Дж/(кг

К). 
 
Сутегі  ҥшін  (екі  атомды  газ)  i=5  және 

=2

10
-3
  кг/моль.  Алдындағы 
формулаларды қолдана отырып, мынаны есептеп табамыз: 
                                             

 
57 
                                             с
V 
=
2
5

3
10
2
31
,
8


=1,04

10
4
 Дж/(кг

К);        
                             
                                           с
P 
=
2
2
5


3
10
2
31
,
8


=1,46

10
4 
Дж/(кг

К). 
 
 
Жауабы: с
V1  
= 6,24

10
2
 Дж/(кг

К);   с
P1  
=1,04

10
3 
Дж/(кг

К);  
                         с
V2  
=1,04

10
4
Дж/(кг

К);      с
P2 
=1,46

10
4 
Дж/(кг

К). 
 
 
3.2.6  6 есеп. Массасы m=2 кг және қысымы р
1
= 0,2МПа тең оттегі V
1
=1 м
3
 
кӛлемді алып тҧр. Газ алғашында тҧрақты қысымда V
2
=3 м
3 
кӛлемге дейін, одан 
кейін  тҧрақты  кӛлемде  р
3
=0,5  МПа  қысымға  дейін    қыздырылған.  Газдың            

U  ішкі энергиясының ӛзгерісін, газ атқарған А жҧмысты және газға берілген 
Q жылу мӛлшерін табыңыздар. Процесс графигін салыңыз. 
 
Берілгені: 
m=2 кг 
V
1
=1 м
3
 
р
1
=0,2 МПа=0,2

10
6
 Па 
V
2
=3 м
3
 
р
2
=р
1
 
V
3
= V
2
 
р
3
=0,5 МПа=0,5

10
6
 Па 
 
Шешу: 1) Газдың ішкі энергиясының ӛзгерісі  
              
              

U = с
V 
m

T =  
2
i

R
m

T,                        (3.31) 
 
мҧндағы  R  –  универсал  газ  тҧрақтысы, 

  –  мольдік 
масса,  i  –газ  молекуласының  еркіндік  дәрежесінің 
саны  (оттегінің екі атомды молекуласы ҥшін i = 5 ),   

T  =  Т
3 
-  Т
1
  газдың  соңғы  (ҥшінші)  және  алғашқы 
кҥйіне сәйкес келетін температуралар айырмасы.  

U-? А-? Q-? 
 Газдың  бастапқы  және  соңғы  температураларын  Клапейрон-  Менделеев 
теңдеуінен табамыз: 
 
                                           РV=

m
RT,          Т = 
mR
РV

                                         (3.32) 
 
мҧндағы 

  =32

10
-3
  кг/моль,  R  =8,31  Дж/(моль

К).  (3.32)  ӛрнегіне  сандық 
мәндерін қоя отырып, мынаны есептеп табамыз: 
                                     
                                     Т
1 
= 
31
,
8
2
10
32
1
10
2
3
5






= 385 К; 
                           Т
2 
= 
31
,
8
2
10
32
3
10
2
3
5






 = 1155 К = 1,16 кК; 

 
58 
                           Т
3 
= 
31
,
8
2
10
32
3
10
5
3
5






 = 2887 К = 2,89 кК. 
 
(3.31)  ӛрнегіне  онда  кіретін  шамалардың  сандық  мәндерін  қойып  және 
есептеулер жҥргізу арқылы мынаны табамыз: 
 
         

U = 
2
5

3
10
32
31
,
8



2(2887-385) = 3,24

10
6 
= 3,24 МДж. 
 
2) Тҧрақты қысымдағы газдың ҧлғаюы  кезінде атқарылған 
жҧмыс мына формула арқылы ӛрнектеледі  
                                           
                                          А
1
 = р

V                                                                                                          
 
Шамалардың  сандық  мәндерін  қоя  отырып,  мынаны 
табамыз          
 
А
1 
= 0,2
.
10
6
 (3-1)= 0,400

10
6
 Дж = 0,4МДж. 
 
Тҧрақты кӛлемде қыздырылған газдың жҧмысы нӛлге тең, 
яғни  А
2
=0. 
Осыдан газ атқарған толық жҧмыс мынаған тең 
 
А = А
1
+А
2 
= 0,4

10
6
 Дж = 0,4 МДж. 
 
3)  Термодинамиканың  бірінші  бастамасына  сәйкес  газға  берілген  Q  жылу 
мӛлшері , 

U  ішкі энергия ӛзгерісі мен А атқарылған жҧмыстың қосындысына 
тең:                                            
 
                                                    Q = 

U+A. 
 

U  және А табылған мәндерін қоя отырып, мынаны табамыз:  
                                                                                                       
                                     Q = (3,24+0,4) МДж = 3,64 МДж. 
 
Жауабы: 

U = 3,24 МДж;    А = 0,4 МДж;    Q = 3,64 МДж 
 
3.2.7  7  есеп.  –13
0
С  температурадағы  екі  килограмм  мҧзды  қыздырып  0 
0
С 
температураға дейін еріткен. Энтропия ӛзгерісін анықтаңыз. 
 3.1-сурет
 

 
59 
 
Берілгені: 
m=2 кг 
T
1
=(-13+273) К=260 К 
T
2
=(0+273) К=273 К 
       
 Шешуі: Энтропия ӛзгерісі  
 
                          

S = S
2 
- S
1 
= 

2
1
T
Q

, 
мҧндағы 

Q –  денеге берілген жылу мӛлшері;  
Т  –  дененің  термодинамикалық  температурасы;           
S
1
 және S
2
 –жҥйенің бастапқы және соңғы кҥйлеріне 
сәйкес келетін энтропиясы.  

S-? 
Энтропияның жалпы ӛзгерісі  

S
i
, қосындысына тең.  
мҧндағы 

S
i
 – процестің жекелеген этаптары кезіндегі энропия ӛзгерісі: 
 

S =



n
i
i
S
1
. 
 
Осы  процесті  екі  этапқа  бӛлейік.  Біріншісінде-  мҧз  Т
1 
=  260  К    бастапқы 
температурадан Т
2 
= =273 К еру температурасына дейін қыздырылады, яғни 
 

S
1
=

2
1
1
T
Q

. 
  
                                                      

Q
1 
= mc
1
dT,            болғандықтан 
                                                   
                                                    

S
1 
= 

2
1
1
T
dT
mc
= mc
1
ln
1
2
Т
Т
,    
 
мҧндағы c
1
 – мҧздың меншікті жылу сыйымдылығы. 
Екінші этап кезінде мҧз ериді. Бҧл жағдайда  
 
                                 

Q
2 
= m

 ,          

S
2 
= 
2
T
m

,  
                                                                                 
мҧндағы Т
2
 – мҧздың еру температурасы; 

 - ерудің меншікті жылуы.  
Энтропияның жалпы ӛзгерісі  
                                
                                    

S = S
1 
+ S
2 
= m







2
1
2
1
ln
с
T
T
T

. 
Ӛлшем бірлігін тексереміз:    
 
[

S] = кг









К
кг
Дж
К
кг
Дж
 = 
К
Дж
. 

 
60 
 
8    және    9  анықтама  кестелері  бойынша:      с
1 
=  2,1

10
3
  Дж/(кг

К);     

  = 
3,35

10
5
Дж/кг. 
 
Есептеулер жҥргіземіз:  
                   

S = 2









273
10
35
,
3
260
273
ln
10
2,1
5
3
= 2,66

10
3
 Дж/К = 2,66 кДж/К. 
 
Жауабы: 

S = 2,66 кДж/К. 
 
3.2.8  8  есеп.  Жылу  машинасы  қайтымды  Корно  циклі  бойынша  жҧмыс 
істейді. Қыздырғыш температурасы Т
1
=500 К.  Жылу машинасы суытқышының 
Т
2
  температурасын  және  циклдың 

  термиялық  пайдалы  әсер  коэффициентін 
(ПӘК)  анықтаңыз.  Машина  қыздырғыштан  алынған  әрбір  килоджоуль  жылу 
есебінен А=350 Дж тең жҧмыс атқарады.  
  
Берілгені: 
T
1
=500 К 
Q=1 кДж=10
3
Дж 
A=350 Дж 

жүктеу/скачать 2,33 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: