Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ



бет81/184
Дата08.06.2018
өлшемі13,94 Mb.
#41389
1   ...   77   78   79   80   81   82   83   84   ...   184

Литература

  1. Кузютин В. Ф., Зенкевич Н. А., Еремеев В. В. Геометрия: Учебник для вузов. Издательство «Лань», 2003. – 324с.

  2. Иваницкая В. П.. Общая теория поверхностей второго порядка. М.:Учпедгиз, 1958. – 277с.

УДК 517.91


ОБ ОДНОМ НЕОБХОДИМОМ ПРИЗНАКЕ КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Пирманова А.А.

Южно-Казахстанский Государственный Университет им.М.О.Ауезова, г.Шымкент
Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Многие задачи математической задачи приводят к задаче определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям. Так, например, к такого рода вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего данным начальным и краевым условиям. Поэтому дифференциальные операторы привлекали, и привлекают большое внимание и имеется много работ им посвященных.

Несмотря на фундаментальные результаты полученные до настоящего времени, проблему спектрального разложения дифференциальных операторов еще нельзя считать исчерпанной. Здесь в первую очередь следует указать на задачу определения кратности спектра дифференциального оператора в зависимости от свойств его коэффициентов [1].



Пусть  пространство Гильберта, - оператор Штурма-Лиувилля, определенный условиями:

, (1.1)

 (1.2)

Если для некоторого собственного значения  этого оператора соответствуют две собственные функции, то такое собственное значение называется кратным. Спрашивается, какими должны быть коэффициенты краевого условия (1.2), чтобы оператор (1.1)-(1.2) имел хотя бы одного кратного собственного значения.



2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

Рассмотрим в пространстве  спектральную задачу



 (2.1)

 (2.2)

где , - произвольные комплексные числа. λ- спектральный параметр. Сначала найдем общего решения уравнения (2.1) и изучим ее свойства. Имеет место следующая лемма [2].



ЛЕММА 2.1. (а) Пространство решений уравнения (2.1) одномерно;

(б) Общее решение уравнения (2.1) имеет следующий вид



 (2.3)

(в) Для любого нетривиального решения уравнения (2.1) имеет место формула



. (2.4)

(г) Если  есть решение уравнения (2.1) и



, то

 (2.5)

(д) Если λ , то пара  образует базис решений уравнения Штурма-Лиувилля:

 (2.6)

где


 (2.7)

есть решение уравнения (2.1). Вронскиан этой пары вычисляется по формуле



 (2.8)

(е) Если , то пара

 (2.9)

образует базис в пространстве решений уравнения Штурма-Лиувилля (2.6), причем





. (2.10)

Эта лемма играет ключевую роль во всех наших дальнейших исследованиях, одним из следствий этой леммы является следующая




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   77   78   79   80   81   82   83   84   ...   184




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет