Каждая глава знакомит читателя с одной темой или теорией, демонстрируя, как овладеть ею с помощью проработанных про- блем и примеров из жизни
жүктеу/скачать 0,87 Mb. Pdf көрінісі
|
51885822 (1)
| Ч А С Т Ь I
Ч И С Л А 13 Г Л А В А 1 Т И П Ы Ч И С Е Л У 68% населения Земли есть доступ к суперком- пьютеру. Согласно исследованиям, проведен- ным в 2017 го ду, 4,8 млрд. человек имеют собствен- ный мобильный телефон, это при общем населении планеты в 7,5 млрд. Американский физик япон- ского происхождения Митио Каку (р. 1947) как-то сказал: «Сегодня в вашем сотовом телефоне за- ключена бóль шая вычислительная мощность, чем та, что находилась в распоряжении NASA в 1969 г., когда два астронавта впервые ступили на Луну». Сейчас мы можем произвести все необходимые нам вычисления, просто проведя пальцем по экра- ну телефона, так зачем тогда вообще нужно учить арифметику? 14 К Р И С У О Р И Н Г Дело в том, что изучение арифметики позволит вам лучше понять природу чисел. Изучение этой природы раньше носило название «арифметика», но теперь так называют непосредственно процесс подсчета. Ту же область математики, которая зани- мается природой чисел, сегодня называют «теори- ей чисел». Специалисты в этой области стремятся понять математические основы нашей Вселенной и природу бесконечности — просто непаханое поле информации! Для начала давайте совершим небольшую про- гулку в зоопарк. Люди начинали с простого — считали что-то , на- чиная с единицы и далее, используя числа (а точ- нее, целые числа). Эти числа стали называться на- туральными . Если поместить их в воображаемый зоопарк, то для каждого из них потребуется отде- льный вольер : 1, 2, 3, 4, 5, 6… Древние греки не считали ноль натуральным числом, поскольку вы не можете потрогать рука- ми ноль яблок. Однако сегодня мы относим ноль к натуральным числам*, так как он «наводит мост» к отрицательным числам. Если добавить ноль * В российской математической литературе ноль к натуральным числам относить не принято. Однако су- ществует понятие «расширенного натурального ряда», включающего в себя также и ноль. — Прим. ред. 15 М АТ Е М АТ И К А Н А Л А Д О Н И в наш воображаемый зоопарк, то он будет выгля- деть так: … −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… Теперь мой «зоопарк» содержит также отрица- тельные числа, которые вместе с натуральными чис- лами образуют совокупность целых чисел . Посколь- ку каждому положительному целому числу теперь соответствует отрицательное число, моему зоопар- ку нужно в два раза больше вольеров и еще один для нуля. Однако мой бесконечный математический зоопарк не нуждается в расширении — он уже и так бесконечен. Это пример того самого непаханого поля, которое я упоминал ранее. Есть и другие типы чисел, которые не относятся к целым. Греки предложили отличную идею с ябло- ками, но, как известно, одно яблоко можно разде- лить на несколько частей, каждую из которых по- лучит отдельный человек. Я бы хотел отразить это в своем «зоопарке». Если я начну перечислять все дроби между ну- лем и единицей, имеет смысл начать с половин, за- тем третей, четвертей и т. д. Это позволит получить все дроби без пропусков. То есть я последователь- но применю все натуральные числа в качестве зна- менателя (нижней части дроби). А для каждого зна- менателя я последовательно применю различные числа в качестве числителя (верхней части дроби), начиная с единицы и заканчивая числом, равным знаменателю. 16 К Р И С У О Р И Н Г ДРОБИ С помощью дроби можно записать любое число, находящееся в промежутке между целыми. Дробь, как правило, записывается в виде числителя (свер- ху) и знаменателя (снизу). К примеру, половина бу- дет выглядеть следующим образом: 1 — это числитель, 2 — знаменатель. Такая запись показывает, что значение этой дроби равно единице, деленной на два. То есть вы видите, какую долю некоторой одной вещи вы получите, если раз- делите ее между двумя людьми. Дробь 3 4 обозначает три вещи, разделенные между четырьмя людьми — то есть каждый получает по три четверти. Определив все дроби между нулем и единицей, я могу использовать их для определения дробей в промежутках между остальными натуральными числами. Добавив единицу ко всем дробям, распо- ложенным между нулем и единицей, я получу все дроби между единицей и двойкой. Добавив еще одну единицу, я получу все дроби между двойкой и тройкой. Продолжая добавлять единицу, я получу все дроби в промежутках между всеми остальными натуральными числами, а вычитая единицу, — все дроби в промежутках между всеми отрицательными числами. Итак, у меня есть бесконечная последователь- ность целых чисел, и мне нужно заполнить каждый 17 М АТ Е М АТ И К А Н А Л А Д О Н И промежуток между ними бесконечным количеством вольеров для дробей. Это значит, что мне нужно бесконечное число бесконечностей. Звучит дико, но, к счастью, у меня еще много вольеров. Поскольку дроби можно записать в виде соотно- шения, они называются рациональными числами*. Теперь у меня в «зоопарке» есть все рациональ- ные числа, которые включают в себя целые числа (т. к. целые числа можно записать в виде дроби, жүктеу/скачать 0,87 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|