Курсовая работа Ғылыми жетекші Қостанай, 2018 г. Мазмұны Кіріспе 3



бет8/11
Дата24.11.2023
өлшемі3,71 Mb.
#193201
түріКурсовая
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Байланысты:
stud.kz-76526

Геометриялық мағанасы: у = f (x) графигі бойында А ( а; f ( a)) және
B ( b; f ( b)) нүктелері арасынан C ( c; f ( c)) , а нүктесі табылып, графикке осы нүктедегі жанама АВ хордасына параллель болады.
 = f ` (c)  , а теңдігі Лагранж формуласы немесе ақырлы өсімшелер формуласы деп аталады. Оны кейде мынадай түрлерде қолданған тиімді:
 = f ` ( a+

f (x+


Коши теормасы.
Егер f (x) және g (x) функциялары:

  •  кесіндісінде үзіліссіз

  • 

  •  ,

болса, онда ең болмағанда бір с (а, в) нүктесінде

 = (27)


теңдігі орындалады.


Дәлелдеуі: Мына қосымша функцияны қарастырайық:

Мұндағы  санын  , болатындай етіп таңдап аламыз. Сонда  =  , яғни



Қосымша Ғ функциясы кесіндісінде үзіліссіз функция (өйткені  кесіндісінде f және g функциялары үзіліссіз) және  туындысы бар (өйткені барлық  үшін  және  бар болады), сонымен бірге
 .
Бұған қоса,  болғандықтан  функциясы үшін Ролль теоремасының барлық шарттары орындалады. Демек,  с нүктесі табылып,  болады, немесе  . Бұдан



Бір ғана  саны үшін алынған өрнектерді салыстырып,

 =


формуласын аламыз. Сонымен, Коши теоремасы дәлелденді.



Мысалдар:
1)f (x) = cosx функциясы  аралығында Ферма теоремасының шарттарын қанағаттандыра ма?
Шешуі: Жоқ, себебі: функция кесіндісінде кемиді. Сондықтан өзінің ең үлкен мәнін x = 0, ең кіші мәнін x =  нүктелерінде, яғни аралықтың шеткі (ішкі емес) нүктелерінде қабылдайды . Демек, Ферма теормасы қолданылмайды:





2) f (x) =1-  2 функциясы  1  және  2  нүктелерінде 0-ге тең, бірақ f (x) ,  Ролль теоремасы шарттарымен қандай қайшылық бар?
Шешуі: [-1 , 1] кесіндісінде үзіліссіз және  = f (1) = 0, яғни, Ролль теоремасның екі шарты орындалып тұр. Үшінші шарты орындалмайды, себебі х = 0 нүктесінде f (x) =1-  2 функциясының туындысы жоқ:

 = + 


 = - 


3) 3x5 + 15x – 8 =0 теңдеуінің бір ғана нақты түбірі бар екенін дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі: Берілген f (x) = 3x5 + 15x – 8 функциясы тақ дәржелі көпмүшелік болғандықтан, теңдеудің ең болмағанда бір нақты түбірі болатыны түсінікті . Нақты түбірінің тек біреу ғана екенін жәлелдеу үшін кері жориық: теңдеудің екі нақты  1 және  2 түбірі бар болсын. Онда [  1 ,  2 ] аралығында f (x) = 3x5 + 15x – 8 функциясы Ролль теоремасының талаптарын қанағаттандырады: үзіліссіз f (x1) = f (x2) = 0 және f `(x) туындысы кез келген   1 ,  2 ) үшін бар. Сондықтан теорема бойынша    1 ,  2 ) нүктесі табылып  ) = 0 болуы тиіс.
Бірақ бұл мүмкін емес, себебі: f `(x) = 15 ( x4 + 1) 0. Осы қайшылық ұйғарымды теріске шығарады
4) f (x) = 4x3 - 5x2 + х –2 фукциясына [0 , 1] кесіндісінде Лагранж формуласын қолдануға бола ма?
Шешуі: Берілген функция [0 , 1] кесіндісінде үзіліссіз және әрбір  нүктесінде туындысы бар. Яғни, Лагранж теоремасы шарттары орындалады.  = f ` (c) немесе f ` (c) = 0 болатындай  нүктесн 12с2 - 10с + 1 = 0 теңдеуінен табамыз:  .
5) f (x) = ех және g (x) =  функциялары [-3 , 3 ] кесіндісінде Коши теоремасы шарттырын қанағаттандыра ма?
Шешуі: Жоқ, себебі: екеуі де берілген аралықта үзіліссіз дифференциялданатын болғанымен, g (x) =  туындысы x = 0  нүктесінде 0-ге тең.
Дәлелденген Ролль , Лагранж және Коши теоремаларында туындының аргументі тәуелсіз айнымалының қандай болса да бір орташа с мәні болып табылады , сондықтан туындылардың сәйкес мәндерін де орташа деп , ал сол аталған теоремаларды «орташа мәндер теоремалары» деп атайды


      1. Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет