Математикалық ұғымдардың анықтамасы және оның құрылымы

Басқаша айтқанда «Ұғымды анықтау-бұл сол ұғым қамтитын объекттер класын нақты ажыратып көрсету дегені». Ұғымдардың мазмұндарының әр алуандылығына қарамастан, олардың көлемдерінің арасындағы қатынастар көп емес. Егер ұғымдардың мазмұнындарында ортақ белгілер бар болса, ондай ұғымдар салыстырмалы ұғымдар деп аталады. Салыстырмалы ұғымдар үйлесімді және үйлесімсіз болып екі салаға жіктеледі. Үйлесімді ұғымдар деп көлемдері толық немесе ішінара беттесетін ұғымдарды айтады. Үйлесімді ұғымдардың арасында мынадай қатынастар болады: а)тепе-теңдік; ә) ішінара беттесу; б) бірін-бірі қамту . Ғылымда әдетте анықтама дегенде қаралып отырған ұғымдарды басқасынан айрықшалауға, ғылымға еңгізілген жаңа термин мазмұнын айқындауға мүмкіндік беретін логикалық тәсіл түсініледі.[4]

Ұғымның анықтамасы, яғни дефиниция (ағылшынша Definitio, қысқаша Def) анықталатын ұғым немесе дефиниендум (ағылшынша Definiendum,қысқаша Dfd) және анықтайтын ұғым немесе дефиниепс (ағылшынша Definienca,қысқаша Dfn) тан құралады. (Гректерде homos сөзі «шекара» деген мағынаны білдіреді. Ежелде Грецияда адамдар бір жер телімін екіншісінен бөлектеп тұру үшін ағашпен жер телімін қоршап қойған. Олар бұл сөзді латынның дефинициясы тәрізде қолданған. Definitia латынша finish сөзінен шыққан және «шекара», «қандайда бір нәрсенің соңы» деген мағынаны білдіреді. Орыс тіліндегі «определение» және «делить» сөздерінен шыққан).

Ұғымдардың арасындағы қатынастар схема түрінде былай кескінделеді.

1-сурет
Ғылым тарихында терминді анықтаймызба немесе сол терминге сай ұғымды анықтаймызба, деген сұрақты шешуде екі бағыт, екі тенденция пайда болған. Бірінші бағыт номинал (латынның nominal сөзінен шыққан, қазақша «атау» деген мағынаны білдіреді) анықтаманы, екіншісі реал (латынның real сөзінен алынған,қазақша мағынасы «нақты» дегені) анықтаманы жақтаушылар.[5]

Номинал анықтама арқылы пәнге немесе табиғы тілге еңгізілген жаңа терминнің (осы мен бір қатарда жасанды тілдегі символдарды да) мазмұны нақты өрнектеледі.

Ал реал анықтама арқылы қарастырылып отырған ұғымның сол топтағы ұғымдардан айырмашылығы көрсетіледі. Бұнда анықталатын және анықтайтын ұғымдар көлемдерінің теңдігі негізгі рөл атқарады.

Анықтамаларды басқаша классификациялық және генетикалық анықтама деп, екі топқа бөледі.

Тектік және түр жағынан айырмашылығы көрсетілген анықтама классификациялық анықтама дейіледі.

Ал генетикалық анықтамада (кейде оны индуктив анықтама деп те атайды) ұғымның пайда болу процесі көрсетіледі.

Басқаша айтқанда, ұғымның пайда болу процесін көрсететін анықтама генетикалық анықтама дейіледі(генетика сөзі герктің genesis сөзінен шыққан,қазақша «келіп шығу» деген мағынаны білдіреді). Мысалы:

1. 
   Конус деп, тік бұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
   
2. 
   Қиық конус деп, тік бұрышты трапецияның биіктігінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
   
3. 
   Цилиндр деп, тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
   
4. 
   Шар деп, жарты дөңгелекті диаметрінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
   

Сол себепті де анықтама екі тәсілмен құрылуы мүмкін:

1. 
   Берілген ұғымның көлеміне енетін барлық объекттер жиынына негізделеді. Мысалы, «жазықтықты өз-өзіне төмендегідей проекциялау көшіру дейіледі: центрлік симметрия параллел көшіру, айналдыру және олардың көбейтіндісі;
   
2. 
   Берілген ұғымды анықтайтын белгілер жиынына негізделеді. Ғылымда, негізінен математикада, ұғымдар екінші тәсілмен анықталады. Мұндай анықтаманы құруда ұғымның барлық негізгі белгілері санап өтілмейді, бірақ олар ұғымның мазмұнын ашып беруі үшін жеткілікті болуы керек. Мысалы, параллелограмның маңызды белгілері төмендегідей:
   

1. 
   төртбұрыш;
   
2. 
   қарама-қарсы қабырғалары параллель;
   
3. 
   қарама-қарсы қабырғалары тең;
   
4. 
   диогональдары қилысу нүктесінде қақ бөлінеді;
   
5. 
   қарама-қарсы бұрыштары тең;
   

Ұғымдарды анықтау кезінде оқушылар жіберетін қателіктерді қарсы мысалдар келтіру арқылы түзету-олардың ойлау қабілеттерін арттыруға себін тигізетін әдістердің бірі. Мысалы, «трапецияның орта сызығы» ұғымына оқушылар жауаптарында мынадай анықтамалар беру жиі кездеседі:

1. 
   «трапеция қабырғаларының ортасын қосатын сызық» ;
   
2. 
   «трапеция қабырғаларының ортасын қосатын түзу»;
   
3. 
   «трапеция қабырғаларының ортасын қосатын кесінді»;
   

1.

2.

2-сурет

ә) «бұрышты тең екіге бөлетін сәуле биссектриса деп аталады».

а) ә)

3-сурет

«бұрыш төбесінен жығатын» деген сөз тіркестері жетпей тұрғандығына оқушылар назарын аудару керек [8].

Оқушылар жауаптарында жиі кездесетін толымсыз анықтамаларды және оларды түзетуге көмектесетін қарсы мысалдар келтірейік:

Шала анықтамалар	Қарсы мысалдар
Қабырғалары қос-қостан алғанда параллель болып келетін көпбұрышты параллелограмм дейміз.		Қарама-қарсы қабырғалары параллель бірақ параллелограмм емес.
Диагоналдары өзара тең төртбұрыш тік төртбұрыш болады.	Диагоналдары тең, тік төртбұрыш емес төртбұрыштар бар.Мысалы: тең бүйірлі трапеция.
Егер төртбұрыш диагоналдары өзара перпендикуляр және қилысу нүктесінде қақ бөлінсе, ол-квадрат.	Ромб диагоналдары да өзара перпендикуляр және қилысу нүктесінде тең екіге бөлінеді.
Егер бір сызықтың кез-келген нүктесі екінші сызықтың нүктелерінен бірдей қашықтықта жатса, онда ол сызықтар параллель түзулер деп аталады.			Концентрлі шеңберлер
Қисықпен ортақ бір ғана түзуді жанама дейміз.	У Х			ОУ-жанама бола ма?
Белгісіз екінші дәрежеде болатын теңдеуді квадрат теңдеу деп атайды.	 ?

4-сурет