1. 2. Математические модели теории нелинейных волн 2. 1. Метод характеристик Рассмотрим уравнение колебания на бесконечной прямой
решение которого имеет вид:
и рассмотрим два уравнения в частных производных первого порядка, решения которых имеют вид (3) и (4):
Уравнения (3) и (4) называются линейными уравнениями тереноєа. Их решения (функции и ) переносят начальнье профили и вдоль оси с постоянной скоростью в положительном и отрицательном направлениях.
Если решение уравнений переноса является дважды непрерывно дифференцируемой функцией своего аргумента, то оно удовлетворяет и уравнению колебаний (1).
При распространении волны те происходит искажения ее профиля по времени, то есть отсутствует эффект дисперсии волны. Это связано с постоянством скорости распространения волны, которое определяется постоянством параметров среды.
Однако во многих физических задачах приходится учитывать изменение свойств среды под действием распространяюшихся в ней волн, что приводит к зависимости скорости распространения волн от решения. В этом случае необходимо рассматривать квачилинейное уравнение переноса:
и является константой на кривой и, следовательно, прямая Линия на плоскости с наклоном
определяемым начальной функцией . Уравнение для этой прямой имеет вид:
Мы получили однопараметрическое семейство прямых, зависящих от параметра , на которых решение Уравнения (6) оказывается постоянным. Это позволяет по начальной функции определить функцию в любой момент времени . Покажем, как это можно сделать практически.
Выберем точку
и построим соответствующую ей характеристику :
с углом наклона
Всюду на характеристике
Точка - точка пересечения прямой с характеристикой
Скорость переноса начального значения вдоль характеристики зависит от решения, профиль искажается - дисперсия бегущей волны. При характеристики пересекаются, профиль неоднозначный опрокидывание волн.
4. Причина явления опрокидывания волны заключается в том, что, согласно формуле (8)
чем выше амплитуда точки, тем с большей скоростью волна распространяется. Поэтому точки вершины волны обгоняют в своем движении точки ее подошвы. Замечание. Возникновение неоднозначного профиля решения достаточно часто оказывается противоречащим сути физической модели, описываемой уравнением (6)
5. согласно которой функция является однозначной функцией. Например, при рассмотрении волн в сплошных средах в одной точке физические параметры не могут иметь различные значения. Для того. чтобы исключить неоднозначные решения
необходимо расширить понятие ренения уравнения (6)
(6)
и вместо непрерывно дифференцируемых решения
рассматривать разрывные.
При этом нужно придать новый смысл выражению
«функция
Abstract Естественным является введение обобщенных решений так, как они вводятся в теории обобщенных функций.
6. 2. Обобщенное решение. Условие на разрьве Определение. Функция удовлетворяет уравнению (6) в обобщенном смысле, если для любого прямоугольника
и любой бесконечно дифференцированной и финитной в функции справедливо интегральной тождество:
Замечание. Если то обобщенное решение (10) удовлетворяет уравнению (6) в обычном смысле: проинтегрируем (10) по частям
В силу произвольности и из (11) получим (6).
7. Замечание. Для получения формулы (10) запишем уравнение (6) в следующем виде:
8. Умножим это уравнение на функцию и проинтегрируем по прямоугольнику по частям, учитывая финитность функции :
Пусть разрывное решение, имеющее единственный
разрыв на кривой :
Пусть при
9. Проинтегрируем (10) по частям в области :
и в области :
где - предельные значения на кривой
10. Замечание. При получении формул (12) и (13) была использована формула интегрирования по частям:
где -область с гладкой (или хотя бы кусочногладкой границей) угол между осью О и внешней нормалью к поверхности . Формула справедлива для функций .
11. Сложим (12) и (13):
