Методикалық нұсқау

Сонымен, көрнекті болу үшін бұл ықтималдықтарды былай тұжырымдайық:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ықтималдықтар

априорлық ықтималдық/оқушы шықырылғанға дейінгі/

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Апостериорлық ықтималдық /шақырылған оқушы туралы

Хабар алынғаннан кейін/

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ТАРАУll. ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ СТАТИСТИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ. ТЕОРИЯ МЕН ПРАКТИКАНЫҢ ДӘНЕКЕРЛЕУ МОДЕЛІ.

§14 ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ СТАТИСТИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ.

Ықтималдықтың класикалық анықтамасы сынау нәтижесінде шектеулі сан рет және тең мүмкіндікті болатынына негізделді. Сондықтан бұл анықтаманың қолданылу өрісі тар. Осы себепті ықтималдықтың жай есептерінен күрделі есептерін шешуге көшкенде, әсіресе, статистикалық құбылыстарды сипаттауға байланысты практикада қолданылатын мәселелерді шешкенде шамадан тыс көптеген қиыншылықтарды кездестіреміз. Өйткені, біріншіден, сынаудың мүмкін нәтижелері шектеулі шама болмауы мүмкін. Мысалы, қандай да бір тілдегі бір сөздің пайда болу ықтималдығын тапқанда, біз практика тұрғысынан шектеусіз жиынды кездестіреміз. Екіншіден, жүргізілген тәжірибе нәтижесін ылғи да тең ықтималды болады деу аса үлкен қиындық туғызады. Мысалы, ұл бала мен қыз бала туу ықтималдығын анықтағанда симметрия және тең ықтималдыққа сүйеніп, қортынды жасауға болмайтын биологиялық статистика дәлелдейді /1- таблицаны қара, мұнда 1935 ж. Швецияда туған ұл баланың статистикасы келтірілген/.

Сонымен, құбылыстарды сипаттауға ықтималдықтың статистикалық анықтамасын қолданайық.

Статистикалық анықтама тәжірибені /сынауды/ сан рет қайталап, нәтижелерін /оқиғаны/ регистрациядан өткізуге /тізбесін жасауға/ сүйенеді. Сынау көп жүргізілгенде оқиғаның бірнеше рет пайда болуы не бірнеше рет пайда болмауы мүмкін. Оқиғаның пайда болу /пайда болмау/ санын бұдан былай жиілік немесе абсолютті жиілік дейтін боламыз. Ал жиіліктің

f(А)=m/n.

Жүргізілген сынау саны аз болса, жиілігі тұрақты болмай, бір сынаудан екінші сынауға дейінгі өзгерісі артып отырады. Ал сынау жеткілікті дәрежеде қайталанып отырса, онда А оқиғасының жиілігі тұрақтанады. Мұндай құбылыс физика-техникалық бақылауларда, биологияда, экономикада т.с.с. байқалады.

Бұл айтылғандарға алдымен төменгі мысалдармен түсініктеме берейік.

1-мысал. Монетаны n рет лақтырып, оның герб жағының пайда болу жиілігін анықтау үшін Бюффон және К.Пирсон жүргізген тәжірибе қортындылары 2-таблицада келтіріліп отыр.

Эксперимент жүргізгендер	Лақтыру саны	Герб болу саны	Салыстырмалы жиілігі
Бюффон	4040	2048	0,5080
К.Пирсон	12000	6019	0,5018
К.Пирсон	24000	12012	0,5005

Бұл келтірілген мысалдардан сынау саны мейілінше көп болса, салыстырмалы жиілік мәні тұрақтылық қалыпқа түсетінін байқаймыз, біздің мысалдарымызда 1/2 –ге жуықтайды. Екінші сөзбен айтқанда, кездейсоқ құбылыстарда қандай да обективті қасиеттер бар екендігі және оның тұрақтануға бейімділігі сезіледі. Бұл қасиет сынау саны /зерттеліп отырған мәселе көлемі/ артқан сайын айқындала түседі, ол қасиет қандай да бір тұрақты шамамен /санмен/ өлшенеді. Бұл шама бақылауға түскен құбылыстың обективті сандық сипаты болып табылады. Осы тұрақты шаманы /санды, мөлшерді/ кездейсоқ оқиға А-ның ықтималдығы дейміз. Сөйтіп, оны бұрынғыша, Р(А) арқылы белгілейміз. Осылайша анықталған кездейсоқ оқиға ықтималдығын статистикалық ықтималдық деп атайды.

Ықтималдықтың ілгеріде дәлелденген қасиеттері ықтималдықты статистика тұрғысынан анықтағанда да орындалады, тексеріп көрейік.

1. 
   Салыстырмалы жиілік m/n теріс таңбалы болуы мүмкін емес, өйткені m≥0, n≤0.
   
2. 
   2.Ақиқат оқиға әрбір сынауды қайталауда пайда болады, сондықтан m=n, ал ықтималдық 1-ге тең.
   
3. 
   3. А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, бұлардың қосындысының ықтималдығы олардың салыстырмалы жиіліктерінің қосындысына тең, яғни n сынаудың жалпы саны болса m₁А оқиғасының пайда болуы жиілігі болсак, m₂В оқиғасының пайда болу жиілігі болса, онда Р(А+В)= m₁/n+ m₂/n.
   

Ықтималдықтардың жоғарыда аталған қасиеттері әрқандай кездейсоқ оқиғалар системасы үшін орын алады. Бұл қасиеттер кездейсоқ оқиға ықтималдығын класикалық, статистикалық, аксиоматикалық /§19-ты қара/ анықтамалар бойынша бергенде де орындалады. Класикалық анықтама негізінде ықтималдықтар теориясын құрған сияқты, статистикалық анықтама негізінде де құруға болады. Сондай-ақ совет математигі академик А.Н.Колмогоров аксиоматикасы негізінде де құруға болады /§18,§19-ты қара/.

Математика ғылымының басқа салалары сияқты ықтималдықтар теориясының кездейсоқ оқиғалардың /құбылыстардың/ физикалық мазмұнымен жұмысы болмай олардың ықтималдылықтарының арасындағы сандық қатынасты қарастырады. Сондықтан мұнда ықтималдықтардың негізгі қасиеттері мен олардан шығатын сол ықтималдықтарды есептеу ережелерінің ролі зор. Бұл айтылғандарды мынадай тұжырымдауға болады. Ықтималдықтар теориясы мен оның қолданулары үшін тән мәселе мынадай:

Ықтималдықтары белгілі /берілген/ қарапайым кездейсоқ оқиғалар жиыны бойынша осы оқиғалар мен белгілі түрде байланыста болған басқа кездейсоқ оқиғалар ықтималдығын анықтау болмақ. Мысалы, тиынды лақтырғанда оның әрбір лақтыруда тиын жағының пайда болу ықтималдығы Р=1/2*200 рет лақтырғанда тиын жағы кем дегенде 100рет пайда болу ықтималдығын анықта. Мұндай есептерді шешу ықтималдықтарды есептеудің белгілі ережесі бойынша орындайды /мұндай ереженің бірі қосу теоремасы, ал бұл есеп шешуін келесі екінші бөлімде көрсетіледі/.

Оқушылардың назарын аударатын бір мәселе-статистикалық ықтималдықтың сан мәнінің белгісіз болуы. Әдетте, сынау саны үлкен /көп/ болғанда ықтималдық мәніне не А-ның салыстырмалы жиілігінің өзі алынады, не осы салыстырмалы жиілікке жуық сан алынады. Ондай санға, мысалы жеткілікті үлкен бірнеше сериядан алынған салыстырмалы жиіліктің арифметикалық ортасы алынады. Бұл анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде мүмкіндік болмай қалады, сондықтан оның бөлігін /іріктемені/ зерттеуге мәжбүр боламыфз. Сөйтіп іріктемені зерттеу нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз. Осы іріктемедегі салыстырмалы жиілік арқылы ықтималдықтың сан мәнін бағалаймыз, бұл-қарастырып отырған құбылыстың сандық сипаттамасы болып табылады. Сонымен қатар қаншалықты алшақ ауытқитынын анықтауға әкеліп тірейді.

Осы мәселені шешу барлық статистикалық зерттеудің бірден-бір түйінді мәселесі болып табылатынын есте ұстаған жөн. Сонымен, ықтималдықтар теориясы мен практиканы /статистиканы/ ұштастыратын маңызды дәнекер модель-үлкен сандар заңы болмақ. Аталған ауытқуды /кездейсоқ қатені/ бағалаудың теориялық негіздемесі де осы үлкен сандар заңы бойынша орындалады. Бұл заңның математикалық дәлелдемелерін кейінге қалдыра отырып қарапайым негіздемесін келтірейік.

Бұл негіздеме практикалық сенімділік принципі ұғымына байланысты. Сондықтан алдымен осы ұғымды түсіндірейік.

§15ПРАКТИКАЛЫҚ СЕНІМДІЛІК ПРИНЦИПІ.

Біз өткен параграфта мүмкін емес оқиғалар ықтималдығы нольге тең, ал ақиқат оқиғалар ықтималдығы бірге тең деген болатынбыз. Іс жүзінде мүмкін емес және ақиқат оқиғалар орнына «практикалық мүмкін емес» және «практикалық ақиқат» оқиғалар мен жуық болса, ондай оқиғалар өте-мөте сирек пайда болатыны өмір тәжірибесінен аян. Екінші сөзбен айтқанда, кейбір оқиға ықтималдығы мейілінше кіші болса, ондай оқиға бір рет жүргізілген сынауда пайда болмайды деп ұйғарамыз. Бұл принципті біз әрдайым күнделікті өмірімізде қолданып отырамыз. Сонымен, практикалық мүмкін емес оқиға деп ықтималдығы нольге дәл тепе-тең емес, бірақ оған мейілінше жуық болған оқиғаны айтамыз.

Мысалы. Жеңіл машиналар катастрофасы болып тұрса да, біз оның ықтималдығы нольге жуық дейміз де, таксиге не басқа жеңіл машинаға мінеміз.

«Практикалық ақиқат» оқиғаны да «практикалық мүмкін емес оқиға» сияқты анықтайды. Өйткені оқиға мүмкін емес болса, оған қарама-қарсы оқиға ақиқат оқиға болады. Сондай-ақ «практикалық мүмкін емес» болса, оған қарама-қарсы оқиға «практикалық ақиқат» болады. Олай болса практикалық ақиқат оқиға ықтималдығы деп бірге дәл тепе-тең емес, оған мейілінше жақын болған оқиғаны айтамыз. Ықтималдықтар теориясының практикалық қолданылуы осы практикалық қолданылуы осы практикалық ақиқат және мүмкін емес ұғымдарына сүйенеді. Сондықтан бұл ұғымдардың алатын орны үлкен.

Айтылып отырған «практикалық ақиқаттың» /сенімділік/ және «практикалық мүмкін еместік» /сенімсіздік/ ұғымдарын кейде практикалық сенімділік принципі деп те атайды. Бұл принциптің анықтамасы /Е.С.Бентцель келтіруі бойынша/мынадай:

Қарастырып отырған процесте А оқиғасының ықтималдығы мейілінше аз /мейілінше үлкен/ болса, онда тәжірибе бір рет орындалғанда А оқиғасының пайда болуын іс жүзінде үлкен сенімділікпен /ықтималдықпен айта аламыз/.

Практикалық сенімділік принципін математикалық дәлелдеуге де болмайды. Өйткені, оқиғаның практикалық сенімділігі /сенімсіздігі/ оның маңыздылығына байланысты анықталады.

Мысалы, самолеттің авария болу ықтималдығы 0,05, тіпті 0,01 болса, онда авиациямен жолаушыларды тасу іс жүзінде пайдаланылмаған болар еді. Ал егерде екі қала аралығын өлшеуде кететін қате 0,05 болса, мысалы, әр километрге 50см. болса, одан ешқандай зиян болмайды. Бұл қатені толық ескермеуімізге болады.

Сонымен, ықтималдық теориясының әрбір қолдану саласын тән өзінің практикалық сенімділігі /ықтималдығы/ беріледі. Оны біз шекаралық ықтималдық дейміз.

Мұндай шекаралық ықтималдыққа көп жағдайда 0,90;0,95;0,99 сандары алынады. Аталған цифрларды, мысалы 0,95 ықтималдығын былай ұғамыз; егерде қандай бір оқиғаны бақылау үшін 100 рет тәжірибе жүргізілсе, оның 90 проценттей нәтижесін дұрыс деп айта аламыз да, 5 проценттейін қателесуіміз мүмкін.

§16. ҚАТЕЛЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ.

Қандай да бір физикалық шаманы өлшедік дейік. Ол шаманың сандық мәні өлшеу нәтижесінде алынады. Бір шаманы бірнеше рет өлшесек, олардың нәтижесінде айырма болады. Сонымен, қате деп шаманың өлшеуден шыққан мәні мен оның ақиқат дәл мәнінің айырымын айтады. Шаманың ақиқат мәні белгісіз болғандықтан, қате мөлшері де белгісіз. Сондықтан бұл қатенің қаншалықты үлкен не кіші болуы тәжірибе жүргізуден алынған мәліметтер бойынша анықталады. Оның үшін ол жіберілетін қателердің түрлерін білу керек. Ол-негізінде үшеуі.

Біріншісі-дөрекі қателер. Мұндай қателер-тәжірибенің негізгі талабына сай жұмыс істеу себебінен немесе тәжірибе жүргізген адамның ықтиярсыздығынан /мысалы, құралды дұрыс пайдаланбауы сияқты/ шығатын қателар. Осындай дөрекі қателерді сол мезетте қарастырудан шығарып тастау керек.

Екіншісі-систематикалық қателер.Мұндай қателер бір я бірнеше нақты себептердің /факторлардың/ әсерінен болады. Бұл себептердің әрқайысы біржақтама қате жіберіп систематикалық қате тудырады дейді. Сөйтіп, әрбір фактордың әсерінен пайда болған систематикалық қателерді жіберіп систематикалық қате тудырады дейді. Сөйтіп, әрбір фактордың әсерінен пайда болған систематикалық қателерді анықтау үшін арнайы зерттеуді қажет етеді. Әдетте, ықтималдықтар теориясында бұл екі түрлі қателер кездескен болса, онда олар жөнделінген, сондықтан мұндай қателар жоқ деп қарастырамыз.

Үшіншісі-кездейсоқ қателер. Бұлар факторлардың әрқайысының әсері жоқтың қасындай болып, жеке-жеке ескеруге мүмкін емес қателер болады. Сонда кездейсоқ қате деп факторлардың құранды әсерінен пайда болған қатені ұғамыз. Екінші сөзбен айтқанда, өлшеу нәтижесінде байқалған барлық дөрекі және систематикалық қателерді алып тастаудан қалған қатені кездейсоқ қате дейміз.

Систематикалық қатені анықтау қиынға соғатын жағдайлар кездеседі. Оны айқындаумен айналысқанда кейде жаңалықтарды ашу ізіне түсуге де алып баратын жәйттер ұшырасады. Мысалы, П.Лаплас өзінің ашқан кейбір маңызды жаңалықтарына тоқталғанда, кездейсоқ емес /яғни систематикалық/ қателерді айқындау нәтижесінде болғанын баса айтады.

Көп жағдайда кездейсоқ қатенің қалайша пайда болуын білу систематикалық қатені анықтауға жәрдемдеседі. Сөйтіп, оны қарастырудан шығара аламыз.

Кездейсоқ оқиғаның /шаманың/ ақиқат дәл мәні ретінде математикалық /априорлық/ ықтималдық алынсын деп ұйғарайық.