Методикалық нұсқау

Сонда кездейсоқ шама мәндерінің теориялық ортадан ауытқуы бақылаушының ескеруі мүмкін болмайтын себептер /факторлар/ көп. Мұндай факторларға тәжірибе жүргізушінің көңіл қоштығы да т.т. жатады. Осындай факторлардың әрбіреуі әсерінің қосындысы кездейсоқ қате болады. Бұл түрдегі қате бірін-бірі жою да, арттыруы да мүмкін. Сөйтіп, кездейсоқ шама мәндері теориялық ортаға немесе салыстырмалы жиілік ықтималдыққа өзгеріп, ауытқып отырады.

Егер де эксперимент нәтижесін болжаудағы /пронозировать/ практикалық сенімсіз күшті болса, онда қарастырып отырған құбылыс ықтималдығын құнды деп ұғамыз. Өйткені бұл ықтималдық салыстырмалы жиілікке өте жуық, яғни жиіліктің ықтималдыққа қарағандағы ауытқуы үлкен емес.

Сонымен, ықтималдықтар теориясы мен эксперимент /тәжірибе, опыт/ арасындағы қатынастың негізгі мақсаты оқиғаның салыстырмалы жиілігі мен ықтималдығының, сондай-ақ кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы мен теориялық ортасының бір-бірімен дәл келуін қандай ықтималдықпен қамтамасыз ету мәселесі болмақ. Бұл мәселелер алда баяндалатын үлкен сандар заңы /ҮСЗ/ деп аталатын бірнеше теоремалар жиынымен сипатталады.

§17.ҮЛКЕН САНДАР ЗАҢЫ ТУРАЛЫ ҰҒЫМ.

Теория мен практиканы ұштастыратын ықтималдықтар теориясының саласы үлкен сандар заңы деп аталатын тарау. Үлкен сандар заңын сипаттайтын теоремалар ықтималдық теориясының абстрактық модельдері мен опыт арасындағы байланысты көрсетеді. Сонымен қатар сол опыттар нәтижесін болжауға мүмкіндіктер береді. Сондықтан бұл теорияның практикада қолданылу әдістерін білу қажет. Мұнда оқиғаның салыстырмалы жиілігі ықтималдықтан қандай да алдын ала берілген оң таңбалы аз шамадан үлкен болмауын бірге жуық ықтималдықпен /сенімділікпен/ айту үшін жүргізілетін сынау саны қандай болуы қарастырылады. Ал егер де сынау саны бұрыннан мәлім болса, онда үлкен сандар заңы салыстырмалы жиіліктің әрбір сынаудағы ықтималдықтан ауытқуы алдын-ала берілген шектен артпауын бірге жуық ықтималдықпен айтады.

Осы айтылғандардың барлығы да арифметикалық орта мен математикалық ортаның ауытқуына да тиісті болады.

Адамзат өзінің практикалық тәжірибесінде байқап жүрген бұл заңдылықтың математикалық тұжырымдамасын тұңғыш рет Я.Бернулли 1713 жылы берген. Оның тұжырымдамасы үлкен сандар заңының ең қарапайым формасы еді. Оны былай деп айтуымызға болады:

Бұл Бернулли теоремасын дәлелдейміз. Айта кететін бір мәселе осы заңның, яғни үлкен сандар заңың, жалпы теоремасын жасаған-ұлы орыс математигі П.Л.Чебышев.

Бернулли теоремасы осы Чебышев теоремасының салдары ретінде оп-оңай дәлелденеді. Аталған теоремалар сияқты тағы да теоремалар бар. Ондай теоремалар жиынын үлкен сандар заңы деп атайды. Бұл жағдай келесі тарауларда арнайы қарастырылады.

ТАРАУ lll. ЭЛЕМЕНТАР ОҚИҒАЛАРДЫҢ ҚАЛАҒАН КЕҢІСТІГІ. ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ АКСИОМАТИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ.

§18 δ-АЛГЕБРА.ӨЛШЕНЕТІН КЕҢІСТІК.

Ықтималдықтар теориясы математика ғылымының бір саласы болғандықтан оны формалды-логикалық негізде құру мәселесі келіп шығады. Аксиоматикалық методта ықтиа\малдықтар теориясын құруды алғаш негіздеген совет-математигі С.Н.Бернштейн (1880-1968).

Бірақ бұл саланың толық аксиоматикалық жүйесін берген әйгілі совет математигі академик А.Н.Колмогоров

Ықтималдықтың классикалық анықтамасында кездейсоқ оқиға бастапқы ұғымға жататын.

Колмогоров аксиоматикасында кездейсоқ оқиға бастапқы ұғым емес, ол басқа элементар ұғымдар негізінде жасалады.

Мұны түсіндіру үшін 1,2-ші еске түсірейік. Ол параграфтарда сынау нәтижелері шекті я саналымды шексіз элементтер оқиғалар жиыны болатынын көрдік. Енді сынау нәтижесі саналымсыз /шексіз/ болатын элементар оқиғалар кеңістігіне мысал келтірейік.

Мысалы, нүктені [t₁, t₂] кесіндісіне кездейсоқ лақтырудың континуум нәтижесі болады, өйткені нәтижесі осы кесіндідегі кез келген нүкте болуы мүмкін. Бұл кесіндіге, мәселен, осы аралықтағы температураның өзгеруі, уақыттың өзгеруі т.т. жатады.

Нәтижесі шекті я саналымды шексіз жиын болғанда сынаудың әр қандай нәтижесінің оқиға болатын болса, қарастырып отырған бұл мысалда мәселе басқаша. Өйткені бұл кесіндінің қалаған ішкі жиынын оқиға десек онда көптеген қиындыққа кездесеміз.

Сондықтан мұндай жағдайда оқиға болу үшін арнайы ішкі жиындар класын құрудың қажеттігі туады. Элементтері оқиға болатын сондай жиындар класын құрайық. Мұның үшін §1-ші енгізілген оқиғалар алгебрасы ұғымын кеңейтейік.

Элементар оқиғалар кеңістігі Ω болсын. Мұның ішкі жиындар системасы F болсын. Сонда оқиғалар алгебрасы болу үшін мына аксиомалар /шарттар/ орындалатыны айтылғанды. Олар:

1. 
   Элементар оқиғалар кеңістігі Ω-ның өзі F жиынында элемент ретінде жатады, яғни Ω€F
   
2. 
   Егер де А оқиғасы және В оқиғасы элемент ретінде F системасында жатса, онда бұл системада олардың бірігуі де, қиылысуы да жатады, яғни А€F және В€F-тен АUВ€Fжәне А шығады.
   
3. 
   Егерде А оқиғасы элемент ретінде F системасында жатса,онда оған қарама-қарсы Ā оқиғасы да сол F системада жатады, яғни А€F болса, онда Ā€F
   

2мен3 қасиеті бірігу, қиылысу және толықтыру операцияларының орындалуы деп ұғылады.

Біз оқиғалар саны шекті болғанда /мысалы екеу болғанда/ F системасының қалайша жасалуын қарастырдық /§1-ді қара/. Ал егерде оқиғалар саны шексі болса, онда Колмогогов аксиоматикасында тағы да бір талап қойылады.

4 аксиома /2-ішінің кеңейтілген түрі/ F системасына А₁, А₂……. тізбектер жиыны жатса онда оған олардың бірігуі мен қилысуы да жатады, яғни

Сонымен оқиғалар алгебрасы деп бірігу, қиылысу және толықтыру операциялары сан рет орындалған және бұларға қарағанда жабық жиындар класын жасайтын алгебралар системасын айтқан болатынбыз /§1-ді қара/. Бұл операциялар саналымды шексіз орындалғанда жабық жиындар класын жасаса , онда мұндай жиындар класы F системасын δ-алгебра немесе оқиғалардың борельдік өрісі немесе оқиғалар өрісі деп атайды. Fсистема элементтері оқиға болады. Бұдан былай Ω жиыны мен δ-алгебра құруға F системасы берілсе, өлшенетін кеңістік берілген дейміз, <Ω,F> пен белгілейміз. Сонымен қандайда ықтималдықтар есебін формалдау қажеттігі туралы болса онда оны /экспериментті/ өлшенетін кеңістікке, яғни <Ω,F>-ге сәйкестендіру керек.

Айтылғандарды мынандай бір мысалмен түсіндірейік [0,1] кесінді нүктелері континиум. Бұл кесіндіні шекті кесінді я интервалдарға бөліп жиын /система/ жасасақ, онда бұл система оқиғалар алгебрасын құрайды, бірақ δ-алгебра жасамайды.

Ал егер де бұл кесіндінің барлық ішкі жинағын алсақ ол δ-алгебра жасайды.Әрине,F системасында жатпаған Ω жиынын қалған барлық ішкі жиындары оқиға болмайды.

Сонымен Ω-ны ақиқат оқиға дейміз 1,3 аксиома бойынша бос жиын ϑ€F-ны мүмкін емес оқиға дейді .Ā-ны А-ға қарама-қарсы немесе А-ны толықтаушы оқиға дейді.

АВ=U болса, онда А мен В-ны үйлесімсіз дейді. Енді ықтималдықты анықтайтын аксиомаларды беруге болад.

§19. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары.

Ықтималдық кеңістік.

Бұдан былай<Ω, F кеңістігінде өлшенетін F системасының δ алгебрасында анықталған және төмендегі аксиомаларды қанағаттандыратын сандық функция P ны ықтималдық дейміз.

Аксиома І. F өрісіндегі әрбір кездейсоқ А оқиғаға ықтималдық деп аталатын теріс емес сан Р(А)-ны сәйкес қоюға болады, яғни P(A)»0-ны оқиға ықтималдығы дейміз.

Аксиома 2. P(Ω)=1

Аксиома 3. /қосу аксиомасыя/. Егер де А және В үйлесімсіз болса, онда

P(A

Осы сияқты егер де оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болса, онда

Классикалық тұрғыдан қарағанда бұл аксиоманы теорема күйінде беріледі, сондықтан 3-ші аксиоманы қосу теоремасы немесе ықтималдықтардың қосу заңы деп те атаймыз.

P(A)=P(