Найти производную функции
жүктеу/скачать 287,51 Kb.
|
производная сложной функции
Пример №3 Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Решение Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то: y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1) Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37: ((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′ Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат: y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2) Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x: (sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′ Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем: y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3) Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т.е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3.3): y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x. Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме: y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Ответ: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Пример №4 Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы. Решение В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим: (u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1) Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных. Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:
Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде: (u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′ Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α. Пример №5 Найти y′, если y=arcsin2x. Решение Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах. 
Ответ: y′=2xln21−22x−−−−−−√. Пример №6 Найти y′, если y=7⋅lnsin3x. Решение Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением. 
Ответ: y′=21⋅ctgx. Пример №7 Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)). Решение  жүктеу/скачать 287,51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|