Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

плоскость, которой принадлежит одна и толь
ко одна образующая цилиндра.
Следствие.
Если касательная плоскость
к прямому круговому цилиндру (см. рис. 46)
и осевое сечение проходят через одну и ту же
образующую, то они перпендикулярны друг
к другу.
Напомним, что впредь из круговых цилин
дров будут рассматриваться только прямые
круговые цилиндры.
1.3. Примеры решения задач
Задача 1.
S — площадь боковой поверхности цилиндра, Q — площадь
осевого сечения. Докажите самостоятельно, что
S
Q
= p
.
Задача 2.
Н — высота цилиндра, R — радиус основания, площадь бо
ковой поверхности равна сумме площадей оснований. Докажите са
мостоятельно, что H
=
R.
Задача 3
(рис. 47). В цилиндр помещен квадрат, две его противопо
ложные вершины находятся в центрах оснований, две другие — на
боковой поверхности. Докажите самостоятельно, что цилиндр яв
ляется равносторонним.
Задача 4
(42, а, рис. 48).
Построения. 1) Строим образующую цилиндра — отрезок АА
1
. Так
как образующая перпендикулярна плоскости основания, то отрезок
—
37
—
Рис. 47
А
А
B
M
М
O
O
Т
β
α
d
1
1
1
1
Рис. 48
Рис. 46
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

А
1
В
1
— ортогональная проекция отрезка АВ
1
на плоскость основания
цилиндра;
2) тогда
Ð
АВ
1
А
1
— угол наклона отрезка АВ
1
к плоскости основания
цилиндра, синус которого надо найти;
3) так как АА
1
|| OO
1
, то
Ð
А
1
АВ
1
— искомый угол между АВ
1
и осью
цилиндра OO
1
;
4) осталось указать на чертеже расстояние d между прямыми АВ
1
и OO
1
. Для этого необходимо через прямую АВ
1
провести плоскость,
параллельную прямой OO
1
. Такой плоскостью является уже построен
ная плоскость АВ
1
А
1
. Тогда расстояние между скрещивающимися пря
мыми АВ
1
и OO
1
равно расстоянию между параллельными прямой OO
1
и плоскостью АВ
1
А
1
;
5) для нахождения последнего достаточно из точки O
1
провести
перпендикуляр к плоскости АВ
1
А
1
. Нетрудно установить, что О
1
М
1
=
d
(М
1
— середина отрезка А
1
В
1
).
Вычисления. 6) из прямоугольного
D
А
1
О
1
М
1
по теореме Пифагора
А
1
М
1
=
R
d
2
2
-
;
7) тогда А
1
В
1
=
2А
1
М
1
=
2 R
d
2
2
-
;
8) из прямоугольного
D
АВ
1
А
1
по теореме Пифагора имеем:
АВ
1
=
АА
А В
Н
R
d
1
2
1
1
2
2
2
2
4
+
=
+
-
(
);
9) введем обозначения:
Ð
АВ
1
А
1
= a
,
Ð
А
1
АВ
1
= b
. Тогда
sin
a =
cos
b =
АА
АВ
Н
Н
R
d
1
1
2
2
2
4
=
+
-
(
)
.
Ответ:
АВ
1
=
Н
R
d
2
2
2
4
+
-
(
), sin
a =
cos
b =
Н
Н
R
d
2
2
2
4
+
-
(
)
.
Задача 5.
Диагональ прямоугольника развертки боковой поверхно
сти цилиндра равна 100 и наклонена к стороне этого прямоугольни
ка под углом в 60
°
(см. рис. 45). Найдите высоту и радиус основания
цилиндра. (Решите самостоятельно.)
§ 2. ПРИЗМА
2.1. Теория
Призма — это цилиндр, в основании которого лежит многоугольник
(рис. 49). Иначе можно сказать, что призма — это цилиндр, который яв
—
38
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

ляется многогранником. Грани ABCDE...
и A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
... называются основаниями призмы.
Остальные грани призмы называются боковы
ми. Ребра, заключенные между параллельными
основаниями, называются боковыми ребрами.
В зависимости от числа сторон основания приз
ма может быть треугольной, четырехугольной,
пятиугольной, ... , nугольной.
Различные виды призм представлены на схе
ме, приведенной на рисунке 50.
Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой пер
пендикулярны к плоскостям оснований (рис. 51, а). В противном слу
чае призма называется наклонной (рис. 51, б).
Высотой призмы называется любой перпендикуляр к плоскостям
оснований призмы, концы которого лежат на этих плоскостях (рис. 51,
а—г).
—
39
—
Рис. 50
А
B
С
D
E
А
B
C
D
E
1
1
1
1
1
Рис. 49
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Высота прямой призмы равна боковому ребру. (Заметим, что боко
вое ребро наклонной призмы не является высотой.)
На рисунке высоту обычно строят, опуская перпендикуляр из ка
койлибо вершины верхнего основания к плоскости нижнего основания.
Правильной призмой называется прямая призма, в основании кото
рой лежит правильный многоугольник.
На рисунке 51, г изображена правильная шестиугольная призма: ее
боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и в основании
лежит правильный шестиугольник.
Одним из распространенных видов призмы являются параллелепи
педы. Заметим, что в стереометрии параллелепипеды играют такую же
роль, как и параллелограммы в планиметрии.

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: