Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

5) искомое расстояние ОМ найдем по формуле высоты прямоуголь
ного треугольника, предварительно найдя по теореме катет РО из пря
моугольного
D
РОА:
РО
=
РА
ОА
l
R
2
2
2
2
-
=
-
, ОМ
=
РО ОА
РА
R l
R
l
×
=
-
2
2
.
Ответ:
R l
R
l
2
2
-
.
Задача 3
(64, в, рис. 81, а).
Замыслы решения. 1й способ. Так как
D
АРВ — прямоугольный, то
S
РA РВ
РА
РАВ
D
=
×
=
1
2
1
2
2
. Поэтому для решения задачи достаточно най
ти образующую конуса. Нельзя ли при этом воспользоваться правиль
ной треугольной пирамидой, помещенной в конус? Нельзя ли непо
средственно сравнить длину образующей РС (рис. 81, б) и данное
расстояние h?
2й способ. Нельзя ли вначале найти площадь
D
АОВ, а для нахожде
ния площади
D
АРВ воспользоваться формулой, связывающей площа
ди данной фигуры и ее ортогональной проекции?
3й способ. Ввести обозначение: ОА
=
х. Выразить через х стороны
D
РОТ, затем воспользоваться формулой высоты прямоугольного тре
угольника, проведенной к гипотенузе.
Приведем решение задачи первым способом.
Решение.
1) Проведем перпендикуляр из точки О к плоскости АРВ (см. рис.
81, б). Так как луч РО образует равные углы с лучами РА и РВ, то луч РО
—
64
—
Рис. 81
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

ортогонально проектируется в биссектрису РТ угла АРВ. Так как
D
АРВ — равнобедренный, то биссектриса РТ является его медианой
(Т — середина хорды АВ). Поэтому точка О ортогонально проектирует
ся в точку М, принадлежащую медиане РТ
D
АРВ, и ОМ
=
h — данное
расстояние от точки О до плоскости РАВ;
2) так как
Ð
АОВ
=
120
°
, то на хорде АВ можно построить правиль
ный
D
АВС, вписанный в окружность основания конуса. Тогда четырех
гранник РАВС — правильная треугольная пирамида;
3) (РС
^
РА и РС
^
РВ)
Þ
РС
^
РАВ;
4) (РС
^
РАВ и ОМ
^
РАВ)
Þ
РС || ОМ;
5) поэтому
D
ТРС
D
ТМО и на основании подобия треугольников
РС
МО
ТС
ТО
РС
РА
МО
h
=
= Þ
=
=
=
3
3
3 ;
6) приходим к искомому ответу.
Ответ:
S
h
РАВ
D
=
9
2
2
.
Задача 4.
На рисунке 74 указаны некоторые размеры развертки ко
нуса. Найдите радиус основания конуса. (Решите самостоятельно.)
§ 6. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ТЕЛ
ВРАЩЕНИЯ
6.1. Теория
Многогранник называется вписанным в сферу (сфера — описанной око
ло многогранника), если его вершины принадлежат сфере (рис. 82, а, б).
—
65
—
Рис. 82
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Многогранник называется описанным около сферы (сфера — вписан
ной в многогранник), если все его грани касаются сферы (рис. 83, а, б).
Цилиндр называется вписанным в сферу (сфера — описанной около ци
линдра), если окружности его оснований принадлежат сфере (рис. 84, а).
Цилиндр называется описанным около сферы (сфера — вписанной
в цилиндр), если его основания касаются сферы, а боковая поверхность
имеет со сферой только одну общую окружность (рис. 84, б).
Конус называется вписанным в сферу (сфера — описанной около ко
нуса), если его вершина и окружность основания принадлежат сфере
(рис. 85, а).
Конус называется описанным около сферы (сфера — вписанной в ко
нус), если основание конуса касается сферы, а боковая поверхность
имеет со сферой только одну общую окружность (рис. 85, б).
—
66
—
Рис. 83
Рис. 84
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Призма называется вписанной в цилиндр (цилиндр — описанным около
призмы), если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис.
86, а).
Призма называется описанной около цилиндра (цилиндр — вписан
ным в призму), если основания призмы описаны около оснований ци
линдра (рис. 86, б).
Усеченная пирамида называется вписанной в усеченный конус
(усеченный конус — описанным около усеченной пирамиды), если ее
основания вписаны в основания усеченного конуса (рис. 87, а).
Усеченная пирамида называется описанной около усеченного конуса
(усеченный конус — вписанным в усеченную пирамиду), если основания
пирамиды описаны около оснований конуса (рис 87, б).
Для дальнейшего изложения необходимы новые понятия. Введем их.
—
67
—
Рис. 85
Рис. 86
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Пусть дан двугранный угол
b
a
g
, ребро которого а (рис. 88, а). Прове
дем полуплоскость
a
(с этим же ребром а), разбивающую этот двугран
ный угол на два равных двугранных угла. Полуплоскость
a
называется
(по аналогии с планиметрией) биссектором двугранного угла.
В стереометрии возможно еще одно обобщение планиметрического
понятия «биссектриса угла». Это обобщение связано с трехгранными
углами.
Геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равно
удаленных от его граней, называется пространственной биссектрисой
угла (рис. 88, б).
Рассмотрим теоремы, связанные с комбинациями пространствен
ных фигур.
—
68
—
Рис. 87
Рис. 88
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Теоремы 8
1. Около треугольной пирамиды можно описать сферу, и причем
единственную.
2. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, и при
чем единственную.
3. В конус можно вписать сферу, и причем единственную.
4. Для того чтобы в пирамиду можно было вписать прямой круго
вой конус, необходимо и достаточно, чтобы ее основанием был
описанный многоугольник, а ее высота проходила бы через центр
вписанной окружности.
5. В правильную четырехугольную пирамиду можно вписать сфе
ру, и причем только одну.
6. Около цилиндра можно описать сферу, и причем только одну.
Доказательство.
1. 1) Рассмотрим треугольную пирами
ду РАВС (рис. 89). Выясним, что представ
ляет собой геометрическое место точек,
равноудаленных от всех четырех вершин
данной пирамиды;
2) вначале найдем геометрическое место
точек пространства, равноудаленных от
трех точек — точек A, В и С. Проведем через
точки A, В и С плоскость
a
. В плоскости
a
точкой, равноудаленной от точек A, В и С,
является центр описанной окружности —
точка O
1
;
3) через точку O
1
к плоскости
a
прове
дем перпендикулярную прямую а. Нетрудно видеть, что каждая точка
этой прямой равноудалена от точек A, В и С;
4) обратимся теперь к четвертой вершине пирамиды — вершине Р.
Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек Р и A, есть
плоскость симметрии этих точек — плоскость
b
;
5) плоскость
b
и прямая а не могут быть параллельными (почему?).
Поэтому они пересекаются в некоторой точке О, равноудаленной от
всех четырех вершин данной пирамиды;
—
69
—
Рис. 89
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

6) если теперь мысленно построить сферу с центром О и радиусом
OA, то она пройдет через все вершины пирамиды РАВС. Тем самым мы
нашли центр и радиус искомой сферы;
7) единственность докажите самостоятельно.
На основании теоремы 1 можно сформулировать ряд интересных
следствий.
Следствия.
В треугольной пирамиде (тетраэдре) пересекаются
в одной точке (О): а) 6 плоскостей, перпендикулярных ребрам и прохо
дящих через их середины; б) 4 прямые, перпендикулярные граням и про
ходящие через центры описанных около них кругов.
2. 1) Прежде всего, нетрудно установить, что пространственная бис
сектриса трехгранного угла есть луч, принадлежащий трем биссектор
ным плоскостям двугранных углов данного трехгранного угла (дока
жите это самостоятельно, рис. 90);
2) пусть РАВС (рис. 91) — данная треугольная пирамида. Требуется
найти точку О, равноудаленную от всех четырех граней этой пирами
ды. Рассмотрим вначале трехгранный угол с вершиной Р. Внутренние
точки этого трехгранного угла, равноудаленные от его граней, лежат на
пространственной биссектрисе а, выходящей из вершины Р;
3) обратимся теперь к четвертой грани — грани AВС. Точки, равно
удаленные от граней AВС и РАВ, лежат на биссекторе двугранного угла
с ребром АВ — полуплоскости
a
;
4) полуплоскость
a
и луч а пересекаются (почему?). Пусть О — точ
ка пересечения полуплоскости
a
и луча а. Точка О равноудалена от
всех четырех граней данной пирамиды;
—
70
—

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: