Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Индивидуальные задания

Пособие разработано ст. преп. Смышляевой Т. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Образец решения варианта

1. 
   Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.
   

Рис. 1

Уравнение медианы AD: .

Составим уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ  АС, следовательно . Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле . Следовательно, . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ (x₀,y₀) в данном направлении .

Уравнение высоты из вершины В: , .

Для нахождения координат точки пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты, проведенной из вершины В нужно решить совместно из уравнения . Точка О (4; ).

Длина медианы определяется по формуле расстояния d между точками А (x₁,y₁)и D (x₂,y₂) на плоскости .

А (1,-3), D (5,3) .

2. 
   Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой .
   

Рис. 2

Решая каждое из получившихся уравнений, находим, что угловой коэффициент одной из прямой , а другой . Уравнения искомых прямых .

3. 
   Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD  BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному.
   

От общего уравнения прямой ( ) перейдем к уравнению с угловым коэффициентом ( ).

Средняя линия трапеции параллельна ВС и проходит через середину отрезка АВ. Е – середина АВ, следовательно Е ( ).

Так как прямые параллельны, то . Используем уравнение прямой

Уравнение средней линии трапеции: .

Уравнение прямой в отрезках:

Рис. 3

Перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим . Деля обе части равенства на -5, будем иметь . Следовательно, (Рис. 4).

Рис. 4

Рис. 5

Находим нормирующий множитель (знак минус берется потому, что С = 5  0). Таким образом, нормальное уравнение полученной прямой имеет вид .

Направляющие косинусы . Длина перпендикуляра из начала координат к прямой .

4. 
   Найти расстояние между параллельными прямыми .
   

5. 
   Даны точки М₁ (-3; 7; -5) и М₂ (-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной вектору .
   

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М ( ). Перпендикулярно данному вектору : .

Искомое уравнение плоскости: .

6. 
   Через точку пересечения плоскостей провести плоскость, параллельную плоскости . Найти расстояние точки М₁ (1; -1; -1) до построенной плоскости.
   

Плоскости пересекаются, следовательно . Решив систему уравнений , получим точку М (3; 5; 7).

Так как искомая плоскость параллельна плоскости , то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор данной плоскости ( - условие параллельности двух плоскостей).

Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно данному вектору , получаем . Это и есть искомое уравнение.

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле . В данном случае .

7. 
   Плоскость  проходит через точки: . Плоскость  проходит через ось ОХ и точку . Найти угол между плоскостями  и .
   

Раскрывая этот определитель, получим - уравнение плоскости . Если плоскость проходит через ось ОХ, А = 0, D = 0(общее уравнение плоскости ) т. е. . Плоскость  проходит через ось ОХ и точку М₄ (9,-3, 8). Подставляем в это уравнение координаты точки М₄ получим или , таким образом, имеем , т. е. - уравнение плоскости .

Угол между плоскостями определяется по формулам , где . Нормальный вектор плоскости : . Для плоскости : . Определяем острый угол между плоскостями  и :

.

8. 
   Общее уравнение прямой преобразовать к каноническому виду.
   

Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что , откуда .

Умножая первое уравнение на (2), а второе на ,(-3) и складывая их почленно, получим , откуда или .

Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой в каноническом виде .

Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим . Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .

Второй способ. Найдем направляющий вектор прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей и , то в качестве его можно взять векторное произведение векторов : .

Таким образом, l = -3, m = 8, n = -15. За точку , через которую проходит искомая прямая, можно принять точку её пересечения с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью ХOY. Поскольку при этом , координаты определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них

9. 
   Написать уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m прямая l перпендикулярна прямой .
   

Прямая l: . Подставляем в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно находим: ; ; . Следовательно, Kl, Ml, Ll. Условие перпендикулярности двух прямых - . В данном случае для прямой .

Тогда

При прямые перпендикулярны.

10. 
    При каких значениях n и А прямая и плоскость будут перпендикулярны? При n = -1 и А = 3 найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
    

Рис. 6

При А = -4; n = прямая и плоскость перпендикулярны.

Если n = -1, то прямая имеет вид .

Если А = 3, то плоскость имеет вид .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: . Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем , откуда . Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: , М (5; 5; -2).

Острый угол между прямой и плоскостью определяется по формуле . Учитывая, что получаем

11. 
    Дана прямая и вне её точка М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную М относительно данной прямой.
    

Найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: . Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, получим , отсюда