Перспектива и проективная геометрия

Доказательство теоремы следует непосредственно из построения. Действительно, пять точек из шести данных полностью определяют конику. Проводя построение шестой точки, получаем прямую Паскаля. Это та самая прямая р, которая не проходит ни через одну из начальных пяти точек.

Паскаль доказал эту теорему, когда ему было всего 16 лет. Это случилось по крайней мере за 250 лет до того, как Штейнер сформулировал проективное определение коники. Нет сомнения, что доказательство Паскаля использовало только «классические» теоремы евклидовой геометрии.

Чтобы лучше разобраться с теоремой, рассмотрим щесть точек, лежащих на окружности. Соединяя их одну за другой, получим шестизвенную ломаную ABCMDN. Паскаль назвал ее «Hexagramma mysticum», мы назовем ее шестиугольником Паскаля.

Эту же формулировку можно оставить и для случая, когда ломаная не является выпуклой. «Противоположными сторонами шестиугольника» будем считать такие звенья ломаной, которые разделены ровно двумя другими звеньями с каждой стороны.

Здесь становится особенно хорошо видна связь между теоремой Паскаля и теоремой Паппа. В обеих теоремах речь идет о точках пересечения противоположных сторон шестиугольника. И в обеих теоремах эти точки лежат на одной прямой. И это, конечно же, не случайность.

Мы назвали коникой множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Если эти пучки находятся в перспективном соответствии, то соответствующие прямые пересекаются на оси перспективы. Кроме того прямая, которая соединяет вершины пучков переходит сама в себя. Так что в этом случае под определение коники вполне подходят две пересекающиеся прямые.

Если давать определение конического сечения, как пересечения плоскости и конической поверхности, то рассмотрев плоскость, проходящую через вершину конуса, опять получим две пересекающиеся прямые. Естественно, поэтому, считать пересекающиеся прямые особым, «вырожденным» случаем коники. Теорема Паппа теперь становится частным случаем теоремы Паскаля.