Рабочая программа составлена на основе проекта федерального компонента Государственного образовательного стандарта общего образования

жүктеу/скачать 6,08 Mb.

бет	26/59
Дата	01.02.2020
өлшемі	6,08 Mb.
	#56897
түрі	Рабочая программа

1 ... 22 23 24 25 26 27 28 29 ... 59

Байланысты:
УМК 63 группа

1. Немного из истории.

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках и узлами на веревках (на рисунке на титульном листе изображен счетовод-казначей, один из коренных жителей Южной Америки (инки), у которого в руках веревочный прибор для узелкового счета). Это и была простейшая и самая древняя – так называемая, унарная система. В ней для записи любых чисел используется всего один символ – палочка, узелок, камушек. Используя именно эту систему счисления, вас научили считать (сами того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст).

Н

о с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало не удобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Так, например, в Древнем Египте около 4000 лет назад для обозначения чисел использовали иероглифы, показанные на рисунке.

Единица изображена колом, десяток – как бы парой рук, сотня – свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, символом изобилия, сто тысяч – лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила.

ак, например число 5736 записывалось следующим образом

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Например, 1232 руб. 24 коп. изображались так как показано на рисунке. Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках: «Чтобы на каждой квитанции кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания. Употребляемые в квитанции знаки означают:

везда – тысяча рублей

Колесо – сто рублей

Квадрат – десять рублей

Х - рубль

| - копейку.

«Дабы неможно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями».

запишите свой год рождения при помощи иероглифов Древнего Египта.
запишите с помощью старинной русской системы счисления сумму 2357 руб. 53 коп

2. Римская система.

До наших дней сохранилась известная вам римская система счисления. В этой системе цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50

C = 100 D = 500 M = 1000

Для записи промежуточных чисел используется правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, но не более трех одинаковых подряд, прибавляются к его значению, а меньшие знаки, поставленный слева от большего, вычитаются из него, при этом невозможно ставить более одного меньшего слева от большего.

Пример1. Записать число 444 в римской системе.

Решение:

444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV

Пример2. Записать число 2986 в римской системе счисления.

Решение:

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.

Пример3. Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.

Решение:

CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963

Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, обозначения веков, разделов и глав в книгах.

1. Запишите числа в римской системе:

2007
448
1954

2. Запишите числа в десятичной системе:

MCDXXIII
LXXIX
MMCXLI

3. Развернутая форма числа

Из курса математики вам известно, что цифры десятичной записи числа – это просто коэффициенты его представления в виде суммы степеней числа – основания системы счисления:

25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*104 +5*103 + 0*102 +7*101 +6*100

При переводе чисел из десятичной системы счисления в римскую мы и воспользовались этим правилом (444 = 400 + 40 + 4; 2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1.

Определение. Развернутой формой записи числа называется такая запись:а4а3а2а1а0 = а4*q4 + a3*q3 + a2*q2 + a1*q1 + a0*q0 , где а4,а3,а2,а1,а0 –цифры числа, q –основание степени.

Пример4. Получить развернутую форму числа 7512410.

Решение:

а4 = 7, а3 = 5, а2 =1 ,а1 =2, а0 =4, q=10

4 3 2 1 0

75 12410 = 7*104 + 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100.

Пример5. Получить развернутую форму числа 1123.

Решение:

2 1 0

1123 = 1*32 + 1*31 +2*30

1. Запишите в развернутом виде числа:

А8=143511,62
А2=100111
А10=143,511
А16=1А3,5С1

2. Запишите в свернутой форме число:

9*10¹+1*10⁰+5*10^-1+3*10^-2
A*16²+1*16¹+C*16⁰+3*16^-¹

4. Основные понятия.

Мы увидели, что есть множество способов представления чисел. В любом случае число изображается группой символов. Будем называть такие символы цифрами, символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами счисления (кодирования).

Определение. Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Все рассмотренные нами нечисловые системы счисления являются непозиционными.

Определение. Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и IX “вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.

Система счисления, которой мы пользуемся в настоящее время, носит название десятичной, так как она основана на счете десятками. Исключительная роль десятка восходит к древнейшим временам и, несомненно, связана со счетом по пальцам на двух руках. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Поэтому ее и называют десятичной.

Определение. Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

Давайте рассмотрим число 55. Из двух написанных рядом цифр левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Таким образом, для написания цифр в десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной.

Определение. Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.

5. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые несколько целых чисел

В десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

В шестнадцатеричной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,1А,1В,..

1. Запишите первые 35 чисел троичной системы

2. Запишите первые 25 чисел двоичной системы

6. Системы счисления, используемые в компьютерах.

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.
Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.

Таблица соответствия систем счисления.

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	С
13	1101	15	D
14	1110	16	Е
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
…	…	…	…
26	11010	32	1А

7. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

Пример1. Перевести 2610 в двоичную систему счисления. А10→А2

Решение:

Ответ: 2610=110102

П
¹⁹

¹⁸

¹

³
ример2. Перевести 1910 в троичную систему счисления. А10→А3

Решение:

⁶

⁶

⁰

³

²

Ответ: 1910=2013
Пример3. Перевести 24110 в восьмеричную систему счисления. А10→А8

Решение:

Ответ: 24110=3618
Пример4. Перевести 362710 в шестнадцатеричную систему счисления. А10→А16

Решение:
Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В16.
Ответ: 362710=E2B16

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 24510→А2                        д) 40410→А8

б) 198710→А2                      е) 67310→А16

в) 16110→А3                          ж) 4534810→А16

г) 33310→А5                           з) 44410→А7

8. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части на q до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.
Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Пример1. Перевести 0,562510 в двоичную систему счисления. А10→А2

Решение:

Ответ: 0,562510=0,10012

Пример2. Перевести 0,562510 восьмеричную систему счисления. А10→А8

Решение:

Ответ: 0,562510=0,528

Пример3. Перевести 0,66510 в двоичную систему счисления. А10→А2

Р
^{0, 665}

^{* 2}

^{1 330}

^{* 2}

^{0 660}

^{* 2}

^{0 320}

^{* 2}

^{0 640}

^{* 2}

^{1 280}

^{…………..}

^{* 2}

^{0 5000}

^{* 2}

^{1 0000}
ешение:

Процесс умножения может продолжаться до бесконечности. Тогда его прерывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа

Ответ: 0,66510=0,100012

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 0, 6562510→А16

б) 0,710→А2 с точностью до 4 знаков после запятой

в) 0,412510→А8 с точностью до 6 знаков

9. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую

Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Пример1. Перевести 26,2510 в двоичную систему счисления. А10→А2

Решение:

переводим целую часть переводим дробную часть

Ответ: 26,2510=11010,012

Пример2. Перевести 123,562510 в двоичную систему счисления. А10→А8

Решение:

переводим целую часть переводим дробную часть

Ответ: 123,562510=173,448

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

а) 173,562510→А2

б) 404,6562510→А16

в) 125,2510→А8

10. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример1. Перевести число 1101102 из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

5 4 3 2 1 0

1 1 0 1 1 0 2 = 1*25 + 1*24 + 0*23+1*22+1*21+0*20 =32+16+4+2=5410

Ответ: 1101102 = 5410

Пример2. Перевести число 101,012 из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

2 1 0 -1 -2

1 0 1,0 1 2 = 1*22 + 0*21 + 1*20+0*2-1+1*2-2 =4+0+1+0+0,25=5,2510

Ответ: 101,012 = 5,2510

Пример3. Перевести число 1221003 из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

4 3 2 1 0

1 2 2 0 1 3=1*34 + 2*33 + 2*32 + 0*31 + 1*30 = 81+54+18+1 = 15410

Ответ: 122013 = 15410

Пример4. Перевести число 1637 из семеричной системы счисления в десятичную.

Решение: 1637 = 1*72 + 6*71 + 3*70 = 49+42+3= 9410.

Ответ: 1637 = 9410.

Пример5. Перевести число 234,68 из восьмеричной системы в десятичную:

Решение:

2 1 0 -1

2 3 4, 68 = 2*82 +3*81 + 4*80 +6*8-1= 2*64+3*8+4+6*0,125= 128+24+4+0,75 =156,7510

Ответ: 234,68 = 156,7510.

Пример6. Перевести число 2Е16 в десятичную систему счисления.

Решение:

2 1

2 Е16 = 2*161 +14*160 = 32 +14 = 4610.

Ответ: 2Е16 = 4610.

Перевести из различных систем счисления в десятичную:

а) 1111001112 г) 367,28

б) 1001110,112 в) АВ2Е,816

11. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод целых чисел.

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=23) систему счисления необходимо:

разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;
рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Пример1. Перевести число 111010102 в восьмеричную систему счисления.

Решение:

11101010

3 5 2

Ответ: 111010102 = 3528

Пример2. Перевести число 111100000101102 в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111110000010110

7 6 0 2 6

Ответ: 111100000101102= 760268

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную (16=24) систему счисления необходимо:

разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;
рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Пример3. Перевести число 111000102 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11100010

Е 2

Ответ: 111000102 = Е216

Пример4. Перевести число 111100000101102 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11110000010110

3 С 1 6

Ответ: 111100000101102= 3С1616

Перевод дробных чисел.

Правило Чтобы перевести дробное двоичное число в восьмеричную(шестнадцатеричную) систему счисления необходимо:

разбить данное число, начиная от запятой влево целую часть и вправо дробную часть на группы по 3 (4) цифры в каждой;
рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной)системы счисления.

Пример5. Перевести число 0,101100001112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

0,10110000111

В 0 7

Ответ: 0,101100001112 = В0716

Пример6. Перевести число 111100001,01112 в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111100001,0111

7 4 1 3 1

Ответ: 111100001,01112= 741,318

Пример7. Перевести число 11101001000,110100102 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11101001000,11010010

7 4 8 D 2

Ответ: 11101001000,110100102 = 748,D216

Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

а) 11010001010112

б) 100000011,0001011102

в) 10010111011101,111010112

г) 111110000000111111111,0000011111000001111101012

12. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления.

Правило Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.

Пример1. Перевести число 5288 перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

5 2 3

101 010 011

Ответ: 5288 = 1010100112

Пример2. Перевести число 4ВА35,1С216 перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

4 В А 3 5 , 1 С 2

100 1011 101000110101 0001 1100 0010

Ответ: 4ВА35,1С216 = 10010111010001101010001 110000102

жүктеу/скачать 6,08 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 22 23 24 25 26 27 28 29 ... 59