Сабақтың тақырыбы: Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері

Ғылым мен техниканың түрлі-түрлі салаларындағы көптеген мәселелерді шешу туындысы берілген функцияны табуға әкеліп соқтырады. Сондықтан математикада жаңа бір операция, интегралдау операциясы қарастырылады. Ізделіп отырған F(x)функциясының берілген туындысы f(x) бойынша сол F(x) функциясын табу мәселесі тек интегралдау операциясының  жәрдемімен шешіледі. Міне осы  F(x)-ті берілген функция f(x)-тің алғашқы функциясы деп атайды.

Анықтама. Егер бір аралықтың әрбір нүктесінде функция F(x) үшін

dF(x)=f(x)dx

теңдігі орындалса, F(x) функциясы f(x)-тің сол аралықтағы алғашқы функциясы деп аталады.

Мысалы:  F(x)=x⁷   бүкіл сандар осі бойында  f(x)=7x⁶  функциясының алғашқы функциясы болады, өйткені х-тің кез келген мәнінде   (x⁷)’=7x^6.

Ал функция   F(x)=lnx  функция    f(x)=1/x  үшін алғашқы функция болады

өйткені

Функциясыда (C- кез келген тұрақты) ол функция үшін сол аралықта алғашқы функция болады.

Сонымен бірге

Демек F(x)+C функциясы да f(x) үшін алғашқы функция болады.

яғни алынған аралықта F(x) пен   функцияларының туындылары бірдей болады. Олай болса,   айырымы тұрақты болуы тиіс, яғни: 

Бұдан  

Дәлелденген екі теоремадан мынадай қорытынды шығады: егер  F(x) функциясы белгілі аралықта f(x)–тің алғашқы функцияларының бірі болса, оның барлық алғашқы функцияларының жиыны f(x)+С қосындысымен өрнектеледі. Қосындының геометриялық мағнасы:f(x)-тің алғашқы функциясы F(x)-тің графигін жоғары не төмен жылжыту арқылы кез келген алғашқы функцияның графигін сала аламыз (1 сызба).