Лопиталь ережесі.
Шешімі Мұндағы анықталмағандық , Онда Лопиталь ережесі бойынша
.
Мысал. Есепте .
Шешімі Мұндағы анықталмағандық . .
Онда Лопиталь ережесі бойынша:
.
Мысал. Есепте .
Шешімі Мұндағы анықталмағандық .
Мысал. Есепте .
Шешімі Мұндағы анықталмағандық . Мұнда функцияны логарифмдаймыз: , Онда Итак, , откуда , т.е. .
Мысалдар.
;
Лопиталь ережесін бірнеше рет қолдануға да болады:
.
Мысал.
=.
Мысал. , мына шекті есептейміз:
,
Мысал. , мына шекті есептейміз:
,
Жоғары ретті туындылыры. Тейлор және Маклорен қатарлар
Мысал. Мына функцияның дифференциалын тап
Шешімі. Дифференциалдың формула бойынша
Мысал. x=0 абциссасы болатын нұктесінде жүргізілген қисығына жанаманың теңдеудің жазу керек.
Шешімі. Жанаманың теңдеуі . Туындысын табамыз Онда . Және Онда жанаманың теңдеуі Немесе
Мысал. Екінші ретті және n ші ретті туындысын тап
Шешімі. Туындысын табамыз, , , ,...,
Мысал № 1. f(x) = ex функциясының кез келген n үшін Маклорен формуласы бойынша жіктелуін жазыңдар:
f(x) = ex, f(0) = 1, f(x) = ex, f(0) = 1, …, f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1
Онда:
Мысал №2. е –ны табу керек.
Жағары формулада
Егер 8 мүшесін алсақ : e = 2,71827876984127003
Егер 10 мүшесін алсақ: e = 2,71828180114638451
Егер 100мүшесін алсақ: e = 2,71828182845904553
Мысал № 3. Функция f(x) = sinx. Есептейміз
f(x) = sinx; f(0) = 0
f(x) = cosx = sin( x + ); f(0) = 1;
f(x) = -sinx = sin(x + 2); f(0) = 0;
f(x) = -cosx = sin(x + 3); f(0)=-1;
…………………………………………
f(n)(x) = sin(x + n); f(n)(0) = sin(n);
f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1) ); f(n+1)() = sin( + (n + 1) );
Онда:
Мысал № 4. Есепте sin200.
200 радиан түрінде жазамыз: 200 = /9.
Тейлор формуласына қойғанда:
Мысал № 5. Есепте sin2801315.
10 = ; 280;
1; ;
; ;
рад
sinx = .
Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла,
sin= 0,472869017612759812,
видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.
Мысал. Есепте ln1,5. 0,0003 дәлілдекпен
ln1,5 = 0,405465108108164381
Достарыңызбен бөлісу: |
