Лецбниц мектебі. Лопитальдің оқулығы

Ең бастысы Ньютон математикалық анализді дамытуда символдардың роліне мән бермеген. Ол ұсынған флюксиялар мен флюенттердің таңбалаулары аса сәтті болмайды. Ол символдар кейде механикада, кейде нүкте арқылы бірінші және екінші туындыларды белгілеу үшін ғана қолданылады. Бұған керсінше байыппен ойластырылған Лейбництің символикасы ұғымдар мен амалдардың түп мәнісін дәл бейнелеп қана қоймай, өте қарапайым да қолайлы болып шыққан, тіпті кез келген санды айнымалысы бар функцияларды көп еселі дифференциялдау және интегралдауға да әдемі үйлескен. 1694 жылы Лейбниц өзінің қабылдаған символдарының болашағы туралы берген бағасын математиканың даму тарихы толық растады. Ньютон мен Лейбниц жоғары математика негіздерін өз беттерінше, бір – біріне тәуелсіз таппқан, тек Ньютон бәраз бұрынырақ ашқан, ал Лейбниц бұрын жариялап, аса қолайлы символика енгізген.

Алғашқы кезде Лейбництің ізбасарлары көп болмаған. Алайда оның алғашқы шәкірттері қатарында швейцарлық Яков пен Иоганн Бернулли сияқты аса дарынды ғылым қайраткерлерінің болуы Лейбництің ғылыми мектебінің өркендеуіне баға жетпес бастама жасады. 1687 жылы сол кездің өзінде профессор атағы бар Я. Бернулли Лейбницке хат жазып шексіз аздар анализінен консультация беруін өтінеді, бірақ Лейбниц сыртта жүргендіктен жауап үш жылдан кейін беріледі. Бұл арлықта ол Лейбниц еңбектерін мұқият оқып дифференциялдық және интегралдық есептеуді өзі терең түсініп қоймай, оған інісі Иоганнды да тартады. Көп ұзамай олар Лейбницке қосылып үшеуі триумврат құрып, жиырма жылға жетпейтін уақыт ішінде жаңа анализді айрықша байытып тастайды. Математикалық анализді дамытуда И. Бернулли ( 1667 – 1748 ), әсіресе оның шәкірттері – Лопиталь, Вариньон, өзінің ұлдары: Николай және Даниил Бернулли, Г. Крамер және XVIII ғасырдың аса ұлы математигі Лернард Эйлер аса зор үлес қосты.

Шексіз аздар анализі тарихында француз математиктері маркиз Франсуа Антуан де Лопитальдің (1661 -1704) өзіндік орны бар. 1691 жылы Францияда бір жылдай уақытын өткізген И. Бернулли шексіз аздар анализін кең насихаттап, бұл елде Лейбниц мектебінің бір бұтағының пайда болуына шешуші қызмет атқарады. Лопиталь оның ең таңдаулы шәкірті болады. Бернулли оның бір өзіне ғана дәріс береді, бұл тарихта сирек кездесетін жағдай. Еліне кетерде, Бернулли осы дәрістер бойынша жинақталған дифференциалдық және интегралдық есептеудің бүтін курсының қолжазбасын Лопитальға тастап кетеді, содан бері олар бір-біріне хат жазатын болған. Лопиталь өз бетінше шексіз аздар анализін қолданып, математика мен техниканың кейбір дербес есептерін шешіп, дифференциалдық геометрияда кейбір жаңалықтар ашады; дүниеге әйгілі «Лопиталь ережелерін» әкеледі. Алайда оның ең негізгі жетістігі 1696 жылы жарық көрген математика тарихында тұңғыш рет дифференциалдық есептеу және оның геометрияға қолданылуы туралы «Шексіз аздар анализі» атты оқулық шығаруы болады.

Бұл оқулық И. Бернуллидің дәрістерінің негізінде жазылған. Мұнда баяндалған әдістердің барлығы дерлік Лейбниц пен ағайынды Бернулли, әсіресе И. Бернулли еңбектерінен алынған. Мұны Лопитальдің өзі кітабында ашық айтады. Алайда айқындық, тартымдылық, тәптіштеп талданған есептердің көптігі, сөз қолданыс шеберлігі сияқты оқулықтың ерекше дидактикалық жетістіктері Лопитальдің тамаша методист оқымысты болғанын танытады. Лопитальдің бұл еңбегі француз тілінде тағы да төрт рет қайта басылған, ағылшын, латын тілдеріне аударылған. Осыдан басқа оған бірнеше түсініктемелер жазылады. Солардың бірі Лопитальдің досы И. Бернуллидің шәкірті механик Пьер Вариньон (1654 – 1722) еді. Лопитальдің «Шексіз аздар анализі» ғылым сүйер көпшілік қауым үшін ашқан тұңғыш шығарма болды. Ол 1935 жылы орыс тілінде аударылып басылды.

XVIII ғасырда Математиканың басқа да көптеген бөлімдері сияқты, математикалық анализдің дамуына да Л. Эйлер мен К.Ф. Гаусс (1777 – 1855) теңдесі жоқ үлес қосты. Академик Михаил Васильевич Остроградскийдің атауы бойынша, қазіргі анализдің пайда болуына Эйлердің қосқан үлесі зор. Өйткені математикалық анализ үшін бағасы жоқ жаңалықтар ашты.















Кейбір жағдайларда, қосылғыштардың шектеусіз санын ескермей тастап кетіп, көпмүшелермен берілген функциялар жуықтау беретін формула шығарып алуға болады екен.

Шығарылатын есептер шеңберін кеңейтуге мүмкіндік беретін қуатты жаңа әдістердің пайда болуынан туған ынта XVIII ғасырда анализдің қарқынды дамуына себепші болады. Алайда осы ғасырдың соңында дифференциалдық және интегралдық есептеулерді жасаушыларда аса өткір проблемалар пайда болды.

Негізгі қиыншылық мынада еді: шек, үздіксіздік, нақты сан сияқты негізгі терминдердің дәл анықтамалары болмады. Бұған тән мысал – үздіксіздік анықтамасы. Эйлер, Лагранж, тіпті Фурье (ол XIX ғасырдың бас кезінде жұмыс істеген) өзінің анықталу облысында бір ғана аналитикалық өрнекпен берілетін функцияны үздіксіз деп атады.

Осы жағдайлардан «жаңа» математика грек математиктерінің классикалық үлгісінде тәрбиеленген ғалымдар үшін үйреншікті қатаңдық стандартына сай келе алмады. Математиктерге аса қажетті интуиция математикалық ғылымның бөлінбейтін сипатамасы болып табылатын логикадан едәуір озып кетті. Ньютон, Лейбниц, Эйлер сияқты алыптардың данышпандық интуициясы оларды қателесуден сақтап қалды. Бірақ қалайда берік логикалық негіз қажет болды.

XVIII ғасырға қатысты ерекше екі пікір болды. Белгілі математик М. Ролль жаңа есептеу данышпандық қателердің жиынтығы деп жазды. Ал француздың ұлы ойшысы Вольтер бұл есептеу дегеніміз есептеп шығаруға және бар жоғын дәлелдеуге болмайтын затты дәл өлшеу өнері екенін ескерткен-ді.







Анализдің берік іргетасын қалауға шешуші қадамды XIX ғасырдың 20-жылдарында француз ғалымы О. Коши (1789-1857) жасаған еді, ол функция мен тізбектің шектерінің дәл анықтамаларын ұсынды және соларды негіз ете отырып, анализдің көптеген іргелі теоремаларын дәлелдеді. Бұдан біршама бұрын (1821 ж.) чех математигі Б. Больцано (1781 – 1848) шек пен үздіксіздіктің анықтамаларына, басқа да бірқатар тамаша нәтижелерге (соның ішінде аралықта үздіксіз, бірақ оның ешбір нүктесінде туындысы болмайтын функцияның мысалы бар) қол жеткізген еді, бірақ оның жұмыстары көбі кейіннен белгілі болды.