Xii ғасырда математикалық анализдің пайда болуы «Туынды» ұғымының шығу тарихы


Исаак Ньютон және оның флюксиялар теориясы



бет2/10
Дата18.02.2018
өлшемі0,72 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Исаак Ньютон және оның флюксиялар теориясы
XVII ғасырдың екінші жартысында математиканың жаңа саласы – шексіз аздар анализі қалыптаса бастады. Анализдің қалыптасуына себепші болған дифференциалдық және интнгралдық есептеулердің шығуы еді. Бұл есептеу матемаиканың дербес тарауы ретінде алғашқыда екі түрде: И. Ньютон және ағылшын ізбасарлары еңбектерінде флюксиялар теориясы, ал Г. Лейбниц және оның европалық шәкірттерінде дифференциалдарды есептеу түрінде беріледі.

Анализдің уақыт жөнінде алғашқы ашылған түрі – флюксиялар теориясы. Бұл бізге «Ньютон заңдары», «Ньютон биномы», «Ньютон формалары», «Ньютон әдісі» деп жадымызға жастай сіңіскен кәдімгі, танымал есім. Тарихи тұрғыдан алып қарағанда, Ньютон XVII ғасырдағы бүкіл жаратылыстану ғылымдарындағы ең көрнекі тұлға. Оның еңбектері қазіргі кездегі басты-басты төрт ғылымға – механика, математика, физика, астрономияға іргетас болып қаланды.

Исаак Ньютон 1642 жылы Кембридждің ( Англия ) маңында орналасқан Вуастроп деревнясында, фермердің семьясында дүниеге келген. 1665 жылы Кембридж университетін бітіріп, бакалавр деген ғылыми дәреже алады. 1668 жылы Ньютон магистр дәрежесіне ие болады. 1669 жылы өзінің ұстазы және досы, жоғарыда айтылған Барроудың орнына математика профессоры болып тағайындалады. Барроу сол кездегі ағылшын оқымыстылары ішіндегі ең көрнектілерінің бірі болып саналатын. Алайда ол шәкіртті Ньютонның таланты мен білімпаздығын бағалап, мойындап оған өз орнын, кафедрасын талассыз, қызғанышсыз, өз еркімен босатып берген. Бұл бұрын соңды ғылым мен өнер тарихында сирек кездесетін ізгілік, адамгершілік үлгісі болып саналады.

Ньютонның ғылымдағы ең ұлы үш жаңалығы бар: олар бүкіл әлемдік тартылыс заңы, ақ жарықтың жіктелуі, дисперсиясы, флюксиялар теориясы, яғни математикалық анализдің негізі. Мұның барлығының да бастапқы идеясын ол 24 жаста толмай-ақ білген. Кейін толыса келе оларды дамытып, кемелдендіріп ғылыми жұртшылыққа жариялаған. Бұл шақтағы өзінің ақыл – ой әрекетінің ғажап жемісі туралы Ньютон өмірінің соңына таман мынадай мағлұмат береді: «1665 жылдың бас кезінде мен математикада жуық қатарлар әдісін және екі мүшеліктің (биномның) кез келген дәредесін осындай қатарға жіктеу ережесін (Ньютон – Биномы формуласы. А. К.) таптым. Дәл осы жылдың мамыр айында Грегори мен Слузияның жанамалар әдісін жетілдірудіңғ қарашада флюксияның тура әдісін ұсындым (Дифференциалдық есептеу, А. К.), келесі жылдың қаңтарында жарық түстері (дисперсия) теориясы идеясына келдім: ал мамыр айында флюксияның кері әдісіне (интегралдық есептеу, А. К.) кірістім. Осы жылы Ай орбитасына дейін әсер ететін ауырлық әсері туралы ойлаумен болдым: сфера ішінде айналушы дененің сол сфера бетіне әсер күшін есептей келіп, планеталардың айналу периодтарының өзара қатынасы, олардың орбита центрінен қашықтықтарымен біржарым қатынаста болатыны жөнінде Кеплер заңын, планеталарды орбиталарында ұстап тұратын күш центрден қашықтықтарының квадратына кері пропорционал болатынын шығардым: сонымен қабат, Айды орбитасында ұстап тұрарлық күшті Жер бетіндегі ауырлық күшімен салыстырып, олардың жуық түрде тең болатынын анықтадым. Мұның барлығы 1665-1666 жылдары оба ауруы кезінде жасалды. Осы кезде мен жастығымның ең бір жақсы жағын басымнан кешірген едім, математика және философиядан кейін мұндай шабытпен шұғылданған емеспін.»

Мұнда Ньютонның «оба ауруы кезі» деп отырғаны Англияла 1665 жылы басталған сұрапыл, жойқын індет. Осы аурудан бір ғана Лондонның өзінде жүз мыңдай кісі опат болған. Көп адам бас сауғалап, қалалардан қашып деревняларды паналайды. Ньютон да туған ауылы Вульстропқа барып, екі жыл тапжылмай отырып жемісіті еңбек еткен.

Ньютонның ғылыми жүйесінеде математика – табиғат туралы жалпы ғылым – натурфилософияның бөлінбес бір бөлігі болып енеді. Ньютонның ең басты еңбегі «Натурфилософияның математикалық негіздерінде» математика жетістіктері мейлінше мол пайдаланылады. Әсіресе, аспан денелерінің қозғалыс теориясы қатаң математика тілінде баяндалады. Ол математикалық әдістерді қолданып, Кеплер заңдарынан бүкіл әлемдік тартылыс заңын қорытып шығарды. Бұл үшін өзіне дейінгі математика аппаратын білу жеткіліксіз болды, математиканың оның табиғат құбылыстары заңдылықтарын (қозғалыс, жылдамдық, үдеу) білуге қолданудың көп мәселелерін жаңаша, тыңнан шешуге тура келді.



Ньютонның флюксиялар әдісі бастапқы механиканың математикалық аппараты ретінде пайда болады. Мұнда үздіксіз механикалық қозғалыстың сан алуан түрлерінің абстракциялары болып еңгізілген айнымалы шамалар зерттеледі. Олар флюенталар, яғни ағымдағылар (латынның fluere – ағу деген сөзінен алынған) деп аталады. Барлық флюенталар тәуелді айнымалылар, олардың жалпы аргументі – уақыт , онан кейін ағу жылдамдығы, яғни уақыт бойынша туынды еңгізіледі. Олар флюксиялар деп аталады. Айнымалы шама болғандықтан, флюксиядан флюксия табуға болады. Флюксияны у деп белгілейді, ол бірінші, екінші тағы сол сияқты флюксиялар символдары   , т.с.с. болады. Лездік жылдамдықтарды – флюксияларды есептеу үшін Ньютон оларды моменттер деп атаған. Флюенталардың шексіз өзгерістері қажет болады. Уақыт моменттің таңбасы. Сонда  флюентасының моменті  , яғни лездік жылдамдықтан уақыт моментіне көбейтіндісі. Негізінде флюентаның моменті қазіргіше айтқанда, оның дифференциалы.

Флюксиялар теориясында механикалық, сондай-ақ математикалық терминдер арқылы тұжырымдалған екі басты есеп шешіледі:

I. Берілген жол бойынша берілген уақыттағы қозғалыс жылдамдығын анықтау, басқаша айтқанда, флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау;

II. Берілген қозғалыс жылдамдығы бойынша берілген уақыт ішінде жүріп өтілген жолы анықтау. Басқаша айтқанда, флюсиялар арасындағы берілген қатыстар бойынша флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау.

Флюксиялар теориясының тура есебі деп аталатын бірінші есеп, жалпы алғанда, функцияны дифференциалдау есебі және табиғаттағы қарапайым (элементтер) заңдылықтарды өрнектейтін дифференциалдық теңдеуді табу болып табылады. Екіншісі – флюксиялар теориясының кері есебі – жалпы түрде қойылған дифференциалдық теңдеулерді интегралдау есебі болады. Дербес жағдайда бұл есепте алғашқы функциялар табу қарастырылады. Сонымен, флюксиялар теориясында интегралдау ең әуелі анықталмаған интегралдау түрінде еңгізіледі.

Тік есеп үшін Ньютон бірыңғай ереже – функцияларды дифферениалдаудың алгоритмін еңгізеді. Ньютон оны мысал арқылы түсіндіреді. Флюенталар арасында  қатысы берілген. Енді осы қатысты лездік өзгеріске түскен флюенталар үшін, яғни әрбір флюентаға оның моменті қосылған жағдайда лайықтап жазайық:



Бином формуласы бойынша жіктесек, келесі формула шығады:

Бірінші бағана шарт бойынша нөлге тең, қалған мүшелерін 0-ге бөлеміз, сонан кейін шексіз аз уақыт моменті (0) бар мүшелерді алып тастаймыз. Қалған мүшелер флюксиялар арасындағы қатысты береді.

Бұл әдісті Ньютон ереже түрінде тұжырымдаған:

  • Айнымалыларының дәрежелері бойынша орналастыр;

  • Арифметикалық прогрессия мүшелеріне және немесе  - ке сәйкес көбейт;

  • Көбейтінділер қосындысы флюксиялар арасындағы қатысты береді:


 
 



Дифферециалдық есептеуді әрі қарай кемелдендіру – полиномалдық емес функцияларды дифференциалдау, функциялардың экстремумын іздестіру, геометриялық және механикалық қолданулар Ньютонға елеулі қиындық келтірген жоқ. Иррационал функциялардан флюксиялардың флюксиялары күрделі функцияны дифференциялдау ережесі бойынша алынды: мысалы, егер  болса, онда  ,

Мұнан күрделірек жағдайда Ньютон функцияларды дәрежелік қатарлар арқылы кескіндеп, сол қатарларға амалдар қолдануға ұмтылған. Ол қарастырған функциялар шеңбері шектеулі болғандықтан, бұл сияқты жіктеулер күмән туғызбаған.

Флюксиялар теориясының кері есебі: флюксиялар арасындағы белгілі қатынас бойынша флюенталар арасындағы қатыстарды табу – өзінің қойылысы жөнінен өте жалпы проблема. Ол кез келген дифференциялдық теңдеулерді интегралдау есебімен пара-пар. Ньютон бұл жалпы проблеманы біртіндеп шешкен және шешу әдістерін де біртіндеп қолданған. Флюксияларды табу нәтижелерін тікелей айналдыру жолымен – ақ Ньютон көп квадратураларды табады. Кейіннен оған тұрақты шаманы қосу қажеттігін байқайды. Одан кейін  функциялары бүтін рационал болып келген қарапайым  теңдеуін айналдыру амалы бастапқы, алғашқы фукцияға келтірілмейтіні мәлім болады.

Тура әдісті айналдыру нәтижесі бермеген кезде Ньютон флюксия теориясының әмбебап құралы ретінде функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеп бағады. Бұл үшін ол өзіңе дейінгі бұл тұрғыда жинақталған әдіс – тәсілдердің барлығын пайдаланып, толықтырып, көп тәжірибе жинақтайды. Олардың ішінде математикалық анализ де көп қолданылатындары:



  1. дәреже көрсеткіші бөлшек және теріс болып келген жағдайда  жіктелу теоремасын жалпылау;

  2. бөлшек рационал функциялардың алымын бөліміне тікелей бөлу;

  3. әртүрлі түр өзгерістердегі (модификация) ауыстыру;

  4. айнымалыларды ауыстыру;

  5. қатарларды айналдыру;

Кейінгі әдісті мысалмен түсіндіру қолайлы болу үшін Ньютон центрі координаттың бас нүктесі болатын бірлік шеңбердің доғасының ұзындығын есептей келіп, доға элементін табады. Біздің таңбалау бойынша 
 немесе биномдық теореманы
 пайдаланып, қатарға жіктесе

 Мүшелеп интегралдасақ:

Ендігі мәселе кері функция үшін, яғни  үшін қатар табуға тіреледі. Бұл айналдыру , яғни  қатарға жіктеу анықталмаған коэффиценттер әдісін біртіндеп жуықтау әдісіне ұштастыра қолдану арқылы табылады.

Ньютон флюксиялар теориясының аса қиын мәселелерін  деп қозғайды. Мәселен, ол 1676 жылы жазылған бір хатында биномалды дифференциалдың интегралдану шарттарын келтіреді:



Интегралдану үшін  немесе  бүтін оң сан болуы қажет.

Ньютон флюксиялар теориясы туралы нәтижелердің көпшілігін XVII ғасырдың 60 – 70 жылдары алған. Алайда бұл тақырыпқа жазған жұмыстарын бірден жариялауға асықпаған. Мұның басты себептері кері есептерді шешу әдістерінің кемелсіздігі мен флюксиялар теориясының негізгі ұғымдарының логикалық жағынан негізделуінің әлі де жеткіліксіздігі еді. Мысалы, бірде нөл, бірде шекті – шексіз болып келетін аз шамаларды ескермей кете оперативтік амалының мәнісі түсініксіз, негізсіз еді. Бұл қайшылықтан құтылу үшін Ньютон қазіргі шектер теориясының алғашқы түрі болып саналатын бірінші және соңғы қатынастар әдісін жасайды. Дегенмен, флюксиялар теориясының оперативтік – алгоритмдік жағы мен оның логикалық негізі арасындағы алшақтық толық жойылмайды. Қазіргі қалыптасқан логикалық жағы бекем негізделген шек ұғымын шартты бағалау тәртібі, ( болатындай т.с.с. ) тек XIX ғасыр аяғында барып еңгізілген. Флюксиялар теориясы К. Маркс өзінің «Математикалық қолжазбаларында» көрсеткендей, математикалық анализдің дамуындағы «жүзеге асырылып барып, соңынан түсіндірілетін», түп негіздері, іргетасы әлі құпия, «мистикалық» кезеңін бейнелейді.

Xii ғасырда математикалық анализдің пайда болуы «туынды» ұғымының шығу тарихы
Готфрид лейбниц және оның дифференциалдарды есептеу әдісі
Лецбниц мектебі. лопитальдің оқулығы

Каталог: uploads -> doc
doc -> Тақырыбы: Ғарышты игеру (аудандық семинар)
doc -> Ғарыш әлеміне саяхат
doc -> Сабақ тақырыбы: Шерхан Мұртаза «Ай мен Айша» романы Сабақ мақсаты: ҚР «Білім туралы»
doc -> Сабақтың тақырыбы Бала Мәншүк ( Мәриям Хакімжанова) Сілтеме
doc -> Ана тілі №2. Тақырыбы: Кел, балалар, оқылық Мақсаты
doc -> Сабақ жоспары «Сәулет және дизайн» кафедрасының арнаулы пән оқытушысы, ҚР «Еуразиялық Дизайнерлер Одағының» мүшесі: Досжанова Галия Есенгелдиевна Пәні: Сурет және сұңғат өнері
doc -> Сабақ Сабақтың тақырыбы : Кіріспе Сабақтың мақсаты : «Алаштану» курсының мектеп бағдарламасында алатын орны, Алаш қозғалысы мен Алашорда үкіметі тарихының тарихнамасы мен дерекнамасына қысқаша шолу
doc -> Тәрбие сағаттың тақырыбы: Желтоқсан жаңғырығы
doc -> Сабақтың тақырыбы : Әбунасыр Әл- фараби Сабақтың мақсаты
doc -> Сабақ жоспары Тақырыбы: Үкілі Ыбырай Мектеп:№21ом мерзімі


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


©engime.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

енгізу | тіркеу
    Басты бет


материалдарды жүктеу