Исаак Ньютон және оның флюксиялар теориясы

Анализдің уақыт жөнінде алғашқы ашылған түрі – флюксиялар теориясы. Бұл бізге «Ньютон заңдары», «Ньютон биномы», «Ньютон формалары», «Ньютон әдісі» деп жадымызға жастай сіңіскен кәдімгі, танымал есім. Тарихи тұрғыдан алып қарағанда, Ньютон XVII ғасырдағы бүкіл жаратылыстану ғылымдарындағы ең көрнекі тұлға. Оның еңбектері қазіргі кездегі басты-басты төрт ғылымға – механика, математика, физика, астрономияға іргетас болып қаланды.

Исаак Ньютон 1642 жылы Кембридждің ( Англия ) маңында орналасқан Вуастроп деревнясында, фермердің семьясында дүниеге келген. 1665 жылы Кембридж университетін бітіріп, бакалавр деген ғылыми дәреже алады. 1668 жылы Ньютон магистр дәрежесіне ие болады. 1669 жылы өзінің ұстазы және досы, жоғарыда айтылған Барроудың орнына математика профессоры болып тағайындалады. Барроу сол кездегі ағылшын оқымыстылары ішіндегі ең көрнектілерінің бірі болып саналатын. Алайда ол шәкіртті Ньютонның таланты мен білімпаздығын бағалап, мойындап оған өз орнын, кафедрасын талассыз, қызғанышсыз, өз еркімен босатып берген. Бұл бұрын соңды ғылым мен өнер тарихында сирек кездесетін ізгілік, адамгершілік үлгісі болып саналады.

Ньютонның ғылымдағы ең ұлы үш жаңалығы бар: олар бүкіл әлемдік тартылыс заңы, ақ жарықтың жіктелуі, дисперсиясы, флюксиялар теориясы, яғни математикалық анализдің негізі. Мұның барлығының да бастапқы идеясын ол 24 жаста толмай-ақ білген. Кейін толыса келе оларды дамытып, кемелдендіріп ғылыми жұртшылыққа жариялаған. Бұл шақтағы өзінің ақыл – ой әрекетінің ғажап жемісі туралы Ньютон өмірінің соңына таман мынадай мағлұмат береді: «1665 жылдың бас кезінде мен математикада жуық қатарлар әдісін және екі мүшеліктің (биномның) кез келген дәредесін осындай қатарға жіктеу ережесін (Ньютон – Биномы формуласы. А. К.) таптым. Дәл осы жылдың мамыр айында Грегори мен Слузияның жанамалар әдісін жетілдірудіңғ қарашада флюксияның тура әдісін ұсындым (Дифференциалдық есептеу, А. К.), келесі жылдың қаңтарында жарық түстері (дисперсия) теориясы идеясына келдім: ал мамыр айында флюксияның кері әдісіне (интегралдық есептеу, А. К.) кірістім. Осы жылы Ай орбитасына дейін әсер ететін ауырлық әсері туралы ойлаумен болдым: сфера ішінде айналушы дененің сол сфера бетіне әсер күшін есептей келіп, планеталардың айналу периодтарының өзара қатынасы, олардың орбита центрінен қашықтықтарымен біржарым қатынаста болатыны жөнінде Кеплер заңын, планеталарды орбиталарында ұстап тұратын күш центрден қашықтықтарының квадратына кері пропорционал болатынын шығардым: сонымен қабат, Айды орбитасында ұстап тұрарлық күшті Жер бетіндегі ауырлық күшімен салыстырып, олардың жуық түрде тең болатынын анықтадым. Мұның барлығы 1665-1666 жылдары оба ауруы кезінде жасалды. Осы кезде мен жастығымның ең бір жақсы жағын басымнан кешірген едім, математика және философиядан кейін мұндай шабытпен шұғылданған емеспін.»

Мұнда Ньютонның «оба ауруы кезі» деп отырғаны Англияла 1665 жылы басталған сұрапыл, жойқын індет. Осы аурудан бір ғана Лондонның өзінде жүз мыңдай кісі опат болған. Көп адам бас сауғалап, қалалардан қашып деревняларды паналайды. Ньютон да туған ауылы Вульстропқа барып, екі жыл тапжылмай отырып жемісіті еңбек еткен.

Ньютонның ғылыми жүйесінеде математика – табиғат туралы жалпы ғылым – натурфилософияның бөлінбес бір бөлігі болып енеді. Ньютонның ең басты еңбегі «Натурфилософияның математикалық негіздерінде» математика жетістіктері мейлінше мол пайдаланылады. Әсіресе, аспан денелерінің қозғалыс теориясы қатаң математика тілінде баяндалады. Ол математикалық әдістерді қолданып, Кеплер заңдарынан бүкіл әлемдік тартылыс заңын қорытып шығарды. Бұл үшін өзіне дейінгі математика аппаратын білу жеткіліксіз болды, математиканың оның табиғат құбылыстары заңдылықтарын (қозғалыс, жылдамдық, үдеу) білуге қолданудың көп мәселелерін жаңаша, тыңнан шешуге тура келді.











Флюксиялар теориясында механикалық, сондай-ақ математикалық терминдер арқылы тұжырымдалған екі басты есеп шешіледі:

I. Берілген жол бойынша берілген уақыттағы қозғалыс жылдамдығын анықтау, басқаша айтқанда, флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау;

II. Берілген қозғалыс жылдамдығы бойынша берілген уақыт ішінде жүріп өтілген жолы анықтау. Басқаша айтқанда, флюсиялар арасындағы берілген қатыстар бойынша флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау.

Флюксиялар теориясының тура есебі деп аталатын бірінші есеп, жалпы алғанда, функцияны дифференциалдау есебі және табиғаттағы қарапайым (элементтер) заңдылықтарды өрнектейтін дифференциалдық теңдеуді табу болып табылады. Екіншісі – флюксиялар теориясының кері есебі – жалпы түрде қойылған дифференциалдық теңдеулерді интегралдау есебі болады. Дербес жағдайда бұл есепте алғашқы функциялар табу қарастырылады. Сонымен, флюксиялар теориясында интегралдау ең әуелі анықталмаған интегралдау түрінде еңгізіледі.

Тік есеп үшін Ньютон бірыңғай ереже – функцияларды дифферениалдаудың алгоритмін еңгізеді. Ньютон оны мысал арқылы түсіндіреді. Флюенталар арасында _ қатысы берілген. Енді осы қатысты лездік өзгеріске түскен флюенталар үшін, яғни әрбір флюентаға оның моменті қосылған жағдайда лайықтап жазайық:

• 
  Айнымалыларының дәрежелері бойынша орналастыр;
  
• 
  Арифметикалық прогрессия мүшелеріне және _немесе _ - ке сәйкес көбейт;
  
• 
  Көбейтінділер қосындысы флюксиялар арасындағы қатысты береді:
  

















Тура әдісті айналдыру нәтижесі бермеген кезде Ньютон флюксия теориясының әмбебап құралы ретінде функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеп бағады. Бұл үшін ол өзіңе дейінгі бұл тұрғыда жинақталған әдіс – тәсілдердің барлығын пайдаланып, толықтырып, көп тәжірибе жинақтайды. Олардың ішінде математикалық анализ де көп қолданылатындары:

1. 
   дәреже көрсеткіші бөлшек және теріс болып келген жағдайда _ жіктелу теоремасын жалпылау;
   
2. 
   бөлшек рационал функциялардың алымын бөліміне тікелей бөлу;
   
3. 
   әртүрлі түр өзгерістердегі (модификация) ауыстыру;
   
4. 
   айнымалыларды ауыстыру;
   
5. 
   қатарларды айналдыру;
   











Ньютон флюксиялар теориясының аса қиын мәселелерін _ деп қозғайды. Мәселен, ол 1676 жылы жазылған бір хатында биномалды дифференциалдың интегралдану шарттарын келтіреді: