Жұмыс бағдарламасы «Математикалық логика және дискретті математика»

2.1. Лекция сабағының тақырыптары

tL, векторының басы О нүктеде, t=1 t=2

Көптеген қолданбаларда векторлар үстіндегі сызықтық амалдардың жеткіліксіз екендігі байқалады. Күш жұмысы ұғымы, сол сияқты сызықтық жылдамдық пен айналатын қатты дене нүктесінің радиус-векторы арасындағы байланысты тек (векторларға қолданылатын) бинар операциясы көмегімен өрнектеуге болады. Мұндай операциялардын қасиеттері сандар көбейтіндісі операциясының қасиеттеріне ұқсас.

Келтірілген жағдайдың бірінде операция нєтижесі сан болса, екіншісінің нєтижесі вектор. Осы операциялардың жақсы танымалы анықтамаларын келтірейік.

Анықтама. жєне векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады.

Скаляр көбейтіндісін (,) арқылы белгілеп, бұл анықтаманы

(,) (11) түрінде жазуымызға болады.

Нөлдік көбейткіштері үшін (,) (12)

1. 
   (,)=(,) (13)
   

3. (,) (15)

4. (16) – үлестірімділік қасиеті

5. (17)

Скаляр көбейтінді өзінің әрбір көбейткішіне қатысты сызықты.

Сонымен бірге нольден өзгеше векторлардың скаляр көбейтіндісінің нольге айналуы сол векторлардың перпендикулярлығының айғағы. Бұдан

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013

01.09.2013 №1 басылым

10 –ші беті 48 беттің

(18) шығады.

Шынында, (,)теңдігінен (11) формула бойынша екендігі шығады.

Керісінше,

Анықтама. Нольден өзгеше және векторларының векторлық көбейтіндісі деп төмендегі үш қасиетпен анықталатын векторын айтады:

1) атап айтқанда көбейтінді көбейткіштерге перпендикуляр;

3) (19)

Бұл анықтамадан векторлық көбейтіндінің нольге тең болуы олардың коллинеарлығын білдіретіні шығады.

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:

1. 
   (20) - антикомутативті
   
2. 
   ()= (21)
   
3. 
   (22) - үлестірімділік заңы
   

(17), (20),(23) формулаларына сүйене отырып скаляр және векторлық көбейтінділерінің, көбейткіштердің координаталары арқылы өрнектелуін шығарып алу қиын емес.

векторларына қолданып

формулаларына келеміз. Соңғы формуланы

түрінде жазуға болады.

(27)

векторын қарастырайық. векторын арқылы белгілеп

көбейтіндісін есептейік. (26) және (24) формулаларын пайдаланып мынаны аламыз:

Мұнан = шығады, сондықтан

(28₁)

анықтамысын енгізген орынды.

Әдетте үш вектордың мұндай көбейтіндісін аралас немесе векторлы-скаляр көбейтінді дейді.

Үш вектордың сызықтық тәуелділігі олардың компланарлығын білдіретіндіктен, сонымен бірге (28) анықтауышы жолдарының сызықтық тәуелділігін білдіретіндіктен, үш вектордың аралас көбейтіндісінің нольге айналуы олардың компланарлығымен мәндес деп айтуымызға болады.

Соңында аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасын ашайық.

мұнда V-сөз етіліп отырған параллелепипедтің көлемі.