Мектеп: «Қақпақ» жалпы орта

{3;6;…;33}. Демек, ізделінді ықтималдық тең

Оныншы мысал. Эйлер-Венн диаграммасы.

Группадағы 25 студенттің 20-сы спортсмен, (А оқиғасы), 9-ы музыкамен (Воқиғасы), 6-ы музыкамен және спортпен (АВ оқиғасы).

Эйлер-Венн диаграммасын құрып, ^ , ^ ,    оқиғаларының не білдіретіндігін көрсетелік.

айналысатындығын көрсетеді. Демек музыкамен немесе спортпен 23 студент айналысады, сондықтан да    оқиғасы студенттердің ішінде тек екеуінің мұндай әуестенуі жоқтығын көрсетеді.

25 минут

ережесінің көмегімен анықталуы мүмкін. m элементтердің біріншісінің орналастырулары n тәсілмен алынуы мүмкін, екіншісі (n-1) тәсілмен. Онда бірінші алынған элемент қайталанбайтын болғандықтан, осыған ұқсас үшінші үшін (егер m>2) (n-2) тәсіл қалады, т.б.

отыратын көбейтінділерден тұрады. Басқаша

1)
_{A4 } 7! _ 7! _ 3!4  5  6  7 _{ 840;}

2)
_{A2 } 7! _ 7! _ 5!6  7 _{ 42;}

3)
_{A5 } 7! _ 7! _ 2!3  4  5  6  7 _{ 2520;}

4)
_{A1 } n! _ (n 1)!n _{ n;}

Егер m=1,онда

Егер m=n-1,онда

алынса, онда қалған бір элемент бір тәсілмен алынуы мүмкін және бұл

алмастыру Р_n =n! (n,m) қайталанбалы орналастырулар – кортеждер, басқаша айтқанда n элементті алфавиттегі ұзындығы m-ге тең деген сөз. Көбейтінді ережесін қолдана отырып, қайталанбалы орналастырудың (n,m)

әр түрлі саны ⁿ екендігін оңай көрсетуге болады. Шынында,

басқаларына байланысты емес әрбір n мүшелердің ретті тізбектен алынуы мүмкін, ал олардың саны m-ге тең болады. Мысалдар:

• 
  {0,1} алфавитіндегі m ұзындықты сөздердің саны 2^m-ге тең m элементті барлық бөліктерінің саны осындай, сондықтан жиын бір мәнді характеристикалық функция арқылы беріледі. m-мәнді екілік сандардың саны 2^m-1 тең, себебі бірінші сан 1-ге тең болуы керек.
  

• 
  Қайталанбайтын терудің (n,m) саны ⁿ не ^m символымен
  

(x  y)ⁿ  _C ^m x ^m y ^nm

(1.4.1)
m nm

Шынында, ^{x y} мүшесінің коэффициенті (х+у)(х+у)...(х+у), бірдей

n көбейткіштердің х-тің алынуы m рет, у-тің алынуы (n-m) рет

көбейткіштермен бірігіп ^{x y} көбейтіндіге тең болады. (n,m)

қайталанбайтын теруді қайта есептеу үшін (n,m) қайталанбайтын орналастырудың құрамы бірдей элементтер эквиваленттік класс қатынаста

болуы тиіс, ал өзгешелігі бар элементтер құрамын теру әр түрлі класқа

(1.4.2)
_С m

m-ның аз мәні үшін соңғы өрнекке ⁿ болуы қолайлы, себебі алымы

да, бөлімі де m көбейткіштер алымында n-нен басталып бірге азайып отыратын натурал қатар, бөлімінде бірден басталып бірге отыратын натурал қатар [1,k] кездейсоқ түрі

, ,
_{С 2 } n! _ (n  2)!(n 1)n _ n(n 1)

Егер m>n болса, онда ⁿ деген қолайлы.

8 10

Биномдық коэффициенттердің кейбір қасиеттерін келтірейік.

1. 
   ^{n n} . Бұл (1.4.2)-формуладан шығады, себебі n
   

2. 
   ^m0 - бұл (1.4.1)-формула х=у=1 қойсақ, осы қасиет шығады. Мысалы,
   

1+5+10+10+5+1=32=2⁵,

1+6+15+20+15+6+1=64=2⁶

n

_(1)^т С ^m  0

n

3. 
   ^m0 (1.4.1)-формулаға х=1, у=-1 қойсақ, осы шығады: мысалы, n=6 үшін:
   

{a , a ,..., a }

әрбір теру үшін жеке карточкаға ^{i1 i2 im} символдар жазылған

сәйкес элементтерге осы m элементінің теруі көрсетіледі, екінші қасиет бойынша барлық карточкалар саны 2ⁿ болады. Сондықтан, барлық карточкалардағы символдардың қосындысын екі түрлі есептелуі мүмкін:

а) m символдарды ұстайтын ⁿ карточкасының саны ⁿ -ға тең;

қарастырылған теңдіктің сол жағы барлық карточкалардағы символдардың жалпы саны үшін k=0,1,…,n.
б) Егер барлық карточкалардағы жазылған кейбір ^аi символын сызып тастасақ, онда олардың әр түрлі теруі қалған (n-1) элементтерінің саны 2^n-1, демек ^аi жазылған карточка 2^n-1 тең. Теңдіктің оң жағындағы символдардың жалпы саны n∙ 2^n-1.

Мысалы, n=5 үшін: 0∙1+1∙5+2∙10+3∙10+4∙5+5∙1=80=5∙16=5∙2⁴.

n=6 үшін: 0∙1+1∙6+2∙15+3∙20+4∙15+5∙6+6∙1=192=6∙32=6∙2⁵
_С m _{ C} m1 _{ C} m

₅₎ n n1 n1

Теңдік мынадай пікірден шығады: n элементті жиынның кейбір х элементін жазып қоямыз. m элементті соңғы жиынның бөлігінің бәрі (олардың саны – теңдіктің сол жағы) екі қиылыспайтын кластарға бөлінеді: х элементін ұстайтын және ұстамайтын.

Бірінші класта ^n1 жиын бөліктері. Олар х-ті (n-1) элементтердің

қалғандарынан (m-1) элементтерді ұстайды. Екінші класта

_C m

^n1 элементтердің болуы айқын. Соңғы тепе-теңдік (сурет 1) Паскаль

үшбұрышы¹ деп аталатын схемамен байланысты.

Егер үшбұрыштың жолдарын рет бойынша 0,1,2,... сандармен

С ⁰ ,C¹,..., C ⁱ

нөмірлесек, онда і-жолда ^{i i i} құратын сандар болады. 5-ші

қасиет бойынша бірге тең. Шеткісінен басқа әрбір жолдағы сан тұрған сандардың қосындысы болуы мүмкін. Бұл Паскаль үшбұрышының жабайы (канондық) құрамын көрсетеді және одан берілген n-ші жолдағы бином (х+у)ⁿ коэффициенттерін оңай табуға болады.

5 минут

«Басбармақ» әдісі

Үйге тапсырма: №668-672

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақта саралау дұрыс жүргізілді ме? Сабақтың уақыттық кезеңдері сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

элементтерін қолдану

Қосу есептері Задачи на сложение Addition problems нәтиже Результат Outcome

Көбейту кестесі Таблица умножении Product table Ағаш диаграмма Диаграмма дерева Tree diagram көбейту умножение Multiрlication

Орналастыру функциясы Функия распределения Permutation function Биномиальды жіктеу Биномиальное Binomial expansion

разложение

Паскаль үшбұрышы Треугольник Паскаля Paskal”s triangle Ықтималдықтар ержесі Правила вероятности Rules of probability

тәрбиелеу

материалдар, көрнекі-демонстрациялық құралдар, фигуралар

5 минут

Математикалық логикалық есептер беру арқылы «Миға шабуыл»

  ⁴  ¹ ;

а) Ө, Н, С, Е, Д, У әріптері бөлек карталарға жазылған. Содан кейін карталар араластырып кез-келген ретпен бір қатарға орналастырылған. Сонда сәндеу сөзінің пайда болуының ықтималдығы қандай?

б) Әрқайсысында бір әріп жазылған карталардан “Жарлық”сөзі құрылған.Карталарды араластырып, содан кейін бір-бірлеп алған ретімен сөз құрастырылады.Сонда ЖАҚ сөзінің пайда болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі: а) Берілген алты карталардың бір қатарға әртүрлі орналасуларының бір-бірімен айырмашылығы олардың қандай ретпен орналасқандығында болады.Сондықтан ондай орналасулардың жалпы саны мына формуламен анықталады, яғни

n= ₆  6! 720

Берілген алты картаның әрбір орналасу комбинацияларын оқиға ретінде қарастырсақ, онда олар тең мүмкінді, үйлесімсіз оқиғалар болады. Ал бізге қолайлы элементарлық оқиғалар саны m=1.

Себебі карталар әртүрлі комбинациямен орналасқанда “Сәндеу” сөзі бір-ақ рет кезігеді.Сонда ^{  1  1 ;}

б) Берілген алты карталардан үш карта бойынша орналастырулар саны n= ³ . Ал үш әріптен тұратын комбинациялардың бізге керегі біреу-

6

ақ, яғни ЖАҚ, олай болса m=1.Сөитіп

6

Ал 3 әйелді табельдік нөмерлері бойынша 4 әйелдің ішінен таңдап

m =C ⁴  ^6!

Енді көбейту ережесін пайдалансақ таңдап алынған 7 адамның ішінде 3 әйел 4 ер адам болу мүмліндіктерінің жалпы саны m  m₁  m₂ тең.

10

Бұдан былай ықтималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелі оқиғаны белгілі бір әріп арқылы белгілеп алу қажет. Содан кейін тең мүмкінді, үйлесімсіз элементарлық оқиғалардың жалпы санын, сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн.

а) кітаптар бірінші томнан бесінші томға дейін дұрыс ретпен орналасуының ықтималдығын табу керек;

б) ең болмағанда бір томның ретті орнында тұрмаған жағдайдың ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Сынақ ретінде кітап сөресінде кітаптардың кез-келген ретпен қойылуын қарастырайық. Сонда кітаптардың бұлай орналасуларының жалпы саны

n=P ₅ =5!=120

1. 
   А әріпі арқылы кітап сөресінде кітаптардың том нөмірлерінің өсу ретімен орналасуын білдіретін оқиғаны белгілейік. Бұл оқиғаға қолайлы элементарлық оқиға біреу-ақ.
   

P(A)= ¹

120

2. 
   В әріпі арқылы, ең болмағанда бір том ретті орнында болмауын білдіретін оқиғаны белгілейік. Мұндай оқиғалар саны m=n-1, яғни m=119. Себебі кітаптардың том нөмірлері бойынша дұрыс орналасуы бірге тең, ал қалған орналасулар В оқиғасын анықтайды. Сонымен Р(В)=119/120;