Басылым: төртінші -бет

1. 
   Сандық интегралдаудың мәселесі неде?
   
2. 
   Квадраттық формулаларды құрған кезде интерполяциялау функциясының әдісінің ролі қандай?
   
3. 
   Тік бұрыштар формулалары және олардың қалдық мүшелері? Қандай функциялар үшін тік бұрыштар формуласы интегралдың нақты мәнін береді?
   
4. 
   Трапеция формуласы мен оның қалдық мүшесі. Қандай функциялар үшін трапеция формуласы интегралдың нақты мәнін береді?
   

Егер интеграл теңдеудің аппроксимацияда ƒ(х) парабола функциямен алмастырсақ, ол (x_i, ƒ(х)), j = i-1, i-0.5, I нүктелерде өтеді, яғни ƒ(х) жуық түрде қарастырсақ онда:

ƒ(x_i) ≈ L_2,i(x), х Є[x_i-1, х_і], мұндағы L_2,i(x) – интерполяциялық екінші дәрежедегі Лагранж көпмүшесі:

L_2,i(x) = 2/ h²{(x-x_i-1/2)(x-x_i)* ƒ_i-1- 2*(x-x_i-1)*(x-x_i)* ƒ_i-1/2+(x-x_i)*(x- x_i-1/2 )* ƒ_i) } (13)

Енді дәл теңдеуге келеміз:

(14) теңдеуі Симпсон формуласы немесе парабола формуласы деп аталады.

|φ| ≤ h⁴(b-а)/2880*М_4, h*N = b-a, M₄= sup |ƒ^IV(x)|;

XЄ [X_i-1,X_X].

Осыдан көруге болады, Симпсон формуласы негізінен тікбұрыш және трапеция формуласынан дәл келеді. Жарты бөлігінің кесіндісінде 0 (h⁵) дәлдігі болады, ал түгел кесіндіде 0 (h⁴).

Экстраполяция әдісі келесі күйінде болады. Екі есептеу трапеция (12) формуласымен өткізейік, бірінші h қадамымен есептейік, онда қосындысы:

h=(b-a)/N, ал екіншісін 0,5 h қадамымен есептелінетін қосындысы:

ƒ_i-1/2= ƒ(x_i-0.5*h).

Тейлор формуласының ыдырауын қолдансақ, тегіс ƒ(x) функцияның әділетті теңдігі:

I _h = I +с₁ h ²+0(h⁴)

Мұндағы:

I _h – бастапқы интеграл (1);

С – тұрақты, h –қа байланыссыз.

Сол сияқты:

I _h/2 = I +с₁ (h²/2)²+0(h⁴),

осыдан

J_h=(4/3)*I_h/2-(1/3)*I_h

I интегралмен дәл 0(h⁴) тең келеді.

Осы мысалда екі тордың есептеудің қажетті жоқ, өйткені J_h қосындының құру арқылы болады. Шындығында,

Σ^N_i=1((ƒ_i-1+4* ƒ_i-1/2+ƒ_i)/2)*h,

J_h= Σ^N_i=1((ƒ_i-1+4* ƒ_i-1/2+ƒ_i)/6)*h,

Осындай сипаттауымен, Симпсон квадраттық формуласын қайтадан алуға болады.

1. 
   Симпсон формуласы мен оның қалдық мүшесі. Қандай функциялар үшін Симпсон формуласы интегралдың нақты мәнін береді?
   
2. 
   h қадамының өлшемі сандық интегралдаудың дәлдігіне қалай ықпал етеді?
   
3. 
   Жуықтап интегралдаудың қажеттілігі қай уақытта пайда болады?
   

Бұл әдіс сызықтық диференциалдық теңдеу шешуде қолданылады. Оны қолданатын алгоритімін екінші ретті диференциалдық теңдеу шешу ретінде қарастырылады.

y”+p(x)y’+g(x)y’=r(x) (2.3)

Бұл қарапайым теңдеудін бастапқы шарттары мынадай:

y(0)=y₀

y’(0)=y₀ (2.4)

Ал белгісіз функциясын мынадай қатарға жіктейміз.

Мұндағы С_n коэффицентті анықтау үшін теңдеуді х бойынша екінші ретті диференциалдаймыз

Алынған қатынастардың өрнектерін өзгертсек х-терін біріктірсек мынадайды аламыз:

x⁰ 2C₂+C₁p₀+C₀y₀=r₀

x¹ 3*2C₃+2C₂p₀+C₁p₁+C₁g₀+C₀g₁=r₁

x² 4*2C₄+3C₃p₀+2C₂p₁+C₁p₂+C₁g₁+C₀g₂=r₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xⁿ (n+2)(n+1)C_n+2+L(C_n+1, C_n…C₀)=r_n (2.7)

Мұндағы L аргументтері С₁,...,С_n құрылған сызықтық функцияны анықтайды. Мұнда әрбір теңдеу құралған өзінің алдынғы теңдеуге қарағанда бір белгісізге артық. Мұнда С₀,С₁ бастапқы шартқа сәйкес табылады.

Ал қалғаны (2.7) теңдеуін тізбектеп анықтаймыз.

Эйлер әдісі

Эйлер әдісінде жуық мәндерін тізбектеп мынадай формулалармен анықтаймыз:

y_i+1=y_i + h f(x_i, y_i) (i=,1,2,…,) (4.3)

Сонымен белгісіз функция y=y(x) интегралдық қисықты анықтайды. Ол интегралдың қисық M₀ нүкесі арқылы өтіп M_i(x_i, y_i) нүктелері арқылы өтетін сынықпен алмастырылады.