Басылым: төртінші -бет



бет22/47
Дата29.06.2017
өлшемі19,22 Mb.
#20661
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   47
Бақылау сұрақтары:

  1. Сандық интегралдаудың мәселесі неде?

  2. Квадраттық формулаларды құрған кезде интерполяциялау функциясының әдісінің ролі қандай?

  3. Тік бұрыштар формулалары және олардың қалдық мүшелері? Қандай функциялар үшін тік бұрыштар формуласы интегралдың нақты мәнін береді?

  4. Трапеция формуласы мен оның қалдық мүшесі. Қандай функциялар үшін трапеция формуласы интегралдың нақты мәнін береді?

Дәріс 12

Тақырыбы: Интегралды жуықтап есептеу: Симпсон формуласы және оның қалдық мүшесі.

Мақсаты: Симпсон формуласын беру және оның қалдық мүшесін көрсету.

Егер интеграл теңдеудің аппроксимацияда ƒ(х) парабола функциямен алмастырсақ, ол (xi, ƒ(х)), j = i-1, i-0.5, I нүктелерде өтеді, яғни ƒ(х) жуық түрде қарастырсақ онда:

ƒ(xi) ≈ L2,i(x), х Є[xi-1, хі], мұндағы L2,i(x) – интерполяциялық екінші дәрежедегі Лагранж көпмүшесі:

L2,i(x) = 2/ h2{(x-xi-1/2)(x-xi)* ƒi-1- 2*(x-xi-1)*(x-xi)* ƒi-1/2+(x-xi)*(x- xi-1/2 )* ƒi) } (13)



Интегралдансақ, онда аламыз:

L2,i(x)) dx = h/6(ƒi-1+4* ƒi-1/2i), h=xi-xi-1.

Енді дәл теңдеуге келеміз:



dx ≈ h/6(ƒi-1+4* ƒi-1/2i) (14).

(14) теңдеуі Симпсон формуласы немесе парабола формуласы деп аталады.



Симпсоның (15) формуласының дәлдігінің қателігі бағаланады:

|φ| ≤ h4(b-а)/2880*М4, h*N = b-a, M4= sup IV(x)|;

XЄ [Xi-1,XX].

Осыдан көруге болады, Симпсон формуласы негізінен тікбұрыш және трапеция формуласынан дәл келеді. Жарты бөлігінің кесіндісінде 0 (h5) дәлдігі болады, ал түгел кесіндіде 0 (h4).



Симпсон формуласының шығуын көрсетейік, ол экстрополяция әдісіне негізделеді.

Экстраполяция әдісі келесі күйінде болады. Екі есептеу трапеция (12) формуласымен өткізейік, бірінші h қадамымен есептейік, онда қосындысы:



I h= , ƒi = ƒ(xi), xi = a+ih,

h=(b-a)/N, ал екіншісін 0,5 h қадамымен есептелінетін қосындысы:



I h/2= [(ƒi-1i-1/2)/2)+( ƒi-1/2i)/2]*h/2 =

ΣNi=1i-1+2ƒi-1/2+ ƒi)* h/4;

ƒi-1/2= ƒ(xi-0.5*h).

Тейлор формуласының ыдырауын қолдансақ, тегіс ƒ(x) функцияның әділетті теңдігі:

I h = I +с1 h 2+0(h4)

Мұндағы:

I h – бастапқы интеграл (1);

С – тұрақты, h –қа байланыссыз.

Сол сияқты:

I h/2 = I +с1 (h2/2)2+0(h4),

осыдан


I h/2 – (1/4)* I h = (3/4)*І+0(h4), яғни

Jh=(4/3)*Ih/2-(1/3)*Ih

I интегралмен дәл 0(h4) тең келеді.

Осы мысалда екі тордың есептеудің қажетті жоқ, өйткені Jh қосындының құру арқылы болады. Шындығында,



4*ІҺ/2һ = )*h - ΣNi=1((ƒi + ƒi-1)/2)*h =

ΣNi=1((ƒi-1+4* ƒi-1/2i)/2)*h,

Jh= ΣNi=1((ƒi-1+4* ƒi-1/2i)/6)*h,

Осындай сипаттауымен, Симпсон квадраттық формуласын қайтадан алуға болады.



Бақылау сұрақтары:

  1. Симпсон формуласы мен оның қалдық мүшесі. Қандай функциялар үшін Симпсон формуласы интегралдың нақты мәнін береді?

  2. h қадамының өлшемі сандық интегралдаудың дәлдігіне қалай ықпал етеді?

  3. Жуықтап интегралдаудың қажеттілігі қай уақытта пайда болады?

Дәріс 13

Тақырыбы: Кәдімгі дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістері: дифференциалдық теңдеулер туралы түсінік.

Мақсаты: Дифференциалдық теңдеулер туралы түсінік беру.Коши есебі

Анықталмаған коэффицент әдісі.

Бұл әдіс сызықтық диференциалдық теңдеу шешуде қолданылады. Оны қолданатын алгоритімін екінші ретті диференциалдық теңдеу шешу ретінде қарастырылады.

y”+p(x)y’+g(x)y’=r(x) (2.3)

Бұл қарапайым теңдеудін бастапқы шарттары мынадай:

y(0)=y0

y’(0)=y0 (2.4)



(2.3) теңдеуінің коэффицені х дәрежесі бойынша мынадай қатарларға жіктейміз

P(x)=

g(x)= (2.5)

r(x)=

Ал белгісіз функциясын мынадай қатарға жіктейміз.



y(x)= (2.6)

Мұндағы Сn коэффицентті анықтау үшін теңдеуді х бойынша екінші ретті диференциалдаймыз



y’(x)=

y”(x)=

Алынған қатынастардың өрнектерін өзгертсек х-терін біріктірсек мынадайды аламыз:

x0 2C2+C1p0+C0y0=r0

x1 3*2C3+2C2p0+C1p1+C1g0+C0g1=r1

x2 4*2C4+3C3p0+2C2p1+C1p2+C1g1+C0g2=r2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn (n+2)(n+1)Cn+2+L(Cn+1, Cn…C0)=rn (2.7)

Мұндағы L аргументтері С1,...,Сn құрылған сызықтық функцияны анықтайды. Мұнда әрбір теңдеу құралған өзінің алдынғы теңдеуге қарағанда бір белгісізге артық. Мұнда С01 бастапқы шартқа сәйкес табылады.

Ал қалғаны (2.7) теңдеуін тізбектеп анықтаймыз.

Эйлер әдісі

Эйлер әдісінде жуық мәндерін тізбектеп мынадай формулалармен анықтаймыз:

yi+1=yi + h f(xi, yi) (i=,1,2,…,) (4.3)

Сонымен белгісіз функция y=y(x) интегралдық қисықты анықтайды. Ол интегралдың қисық M0 нүкесі арқылы өтіп Mi(xi, yi) нүктелері арқылы өтетін сынықпен алмастырылады.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   47




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет