Дәріс Ұқсастық және алгебралық әдістер. Ұқсас түрлендірудің теориялық негізі

Берілгені (N,r) шеңбері, гомотетия коэффициенті к.

1°. Гомотетия түзуді өзіне параллель түзуге көшіреді, ал гомотетия центрі арқылы өтетін түзуді өзіне - өзін көшіреді.

3°. Гомотетия бұрышты өзіне тең бұрышқа көшіреді.

4°. Гомотетия шеңберді шеңберге көшіреді. Жалпы, кез келген екі шеңберді өзара гомотетиялы деп қарастыруға болады. Мұнда ұқсастық коэффициенті олардың радиустарының қатынасына тең.

5°. Егер  нүктесі ОА сәулесінде жатса, онда центрі О болатын және А- ны А₁нүктесіне бейнелейтін бір ғана гомотетия табылады.

6°. Әрбір ұқсастық түрлендіруін қозғалыс пен гомотетияны бірінен кейін бірін қолдану арқылы алуға болады. Мұнда ұқсастық түрлендіруі мен гомотетияның ұқсастық коэффициенттері бірдей болады.

Мысалы, 2-суретте ABC үшбұрышын А₁В₁С₁ үшбұрышына ұқсастық түрлендіруі қарастырылған. Бұл ұқсастық түрлендіруін алу үшін, алдымен ABC үшбұрышына гомотетиялы А₁В₁С₁ үшбұрышын тұрғызып, сонан соң бұл үшбұрышты А₁ төбесінің маңында сағат тілінің бағытымен α бұрышына бұрамыз.

Сурет-2

Ескерту. Гомотетияның анықтамасы бойынша А және А₁ нүктелері ОА сәулесінде жатады деп айтылған. Енді А₁ нүктесін ОА сәулесінің толықтауыш ОА сәулесін алып,  = к шарты орындалсын делік (3-сурет). Бұл түрлендіруді кері немесе теріс гомотетия деп те атайды. Ал біз бұл түрлендіруді гомотетияға қоспай, жай ұқсастық түрлендіруі ретінде қарастырамыз. Өйткені, әуелі ABC үшбұрышын (3-суреттегі) онымен гомотетиялы А₂В₂С₂ үшбұрышына көшіріп, сонан соң бұл үшбұрышқа центрлік симметрияны қолданып, А₁В₁С₁ үшбұрышын аламыз [7].

Сурет-3

Ұқсас түрлендірудің анықтамасын енгізген соң, гомотетия ұқсас түрлендіру болатындығы дәлелденеді. Теорема координаттар әдісін қолдану арқылы дәлелденеді. Центрі О нүктесі, коэффициенті к болатын гомотетия аламыз.

Координат жүйесін оның бас нүктесі гомотетия центрімен дәл келетіндей етіп таңдап аламыз. А.В. Погореловтың оқулығында бірдей ұқсас фигуралардың анықтамасы беріледі, содан соң үшбұрыштардың ұқсастығы қарастырылады.

А.С.Атанасянның және т.б. оқулығында әуелі ұқсас көпбұрыштаp оқытылады, содан соң ұқсас фигуралардың жалпы анықтамасы беріледі. Жалпы алғанда, түрлі оқулықтардағы ұқсас фигуралар анықтамаларының бір-бірінен айтарлықтай алшақтығы жоқ: «Егер Ғ және Ғ₁ екі фигуралары бір-біріне ұқсас түрлендірулер арқылы көшетін болса, онда олар ұқсас деп аталады».

Ұқсас түрлендірулер қасиеттерінен, ұқсас көпбұрыштардың сәйкес бұрыштары тең, ал сәйкес қабырғалары пропорционал екендігі шығады. Жеке алғанда, ABC және A₁B₁C₁ ұқсас үшбұрыштарында  A=  A₁,  В=  В₁,  С=  С₁,

 ;

Үшбұрыштардың ұқсастық белгілерін тұжырымдайық:

1) Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы, екінші үшбұрыштың сәйкес екі бұрышына тең болса;

2) Егер біреуінің екі қабырғасы, екіншісінің сәйкес екі қабырғасына пропорционал, ал олардың арасындағы бұрыштар тең болса;

3) Егер бір үшбұрыштың қабырғалары, екінші үшбұрыштың қабырғаларына пропорционал болса, онда ол үшбұрыштар ұқсас болады.

Бұл белгілер гомотетияны қолдану арқылы жиі дәлелденеді.

Бірінші дәлелдеудің сатыларын көрсетейік:

1) Центрін қалауымызша алып, к коэффициентімен ∆А₁В₁С₁ үшбұрышына үшін гомотетия орындаймыз. Гомотетия нәтижесінде алынған үшбұрышты А₂В₂С₂ деп белгілейміз.

2) ∆А₂В₂С₂ = ∆АВС және _∆А₂В₂С₂ = ∆А₁В₁С₁ екендігі дәлелденеді.

3) ∆А₁В₁С₁ үшбұрышы ABC үшбұрышынан ұқсас түрлендіру және қозғалыс нәтижесінде алынғандықтан, олар ұқсас болады.

Кез келген (х;у) нүктесі (кх;ку) нүктесіне көшетіндей түрлендіру қарастырамыз, осы түрлендірудің гомотетия екендігін дәлелдейміз.

Қандай да болмасын f фигурасының кез келген А(х₁,у₁) нүктесін алайық, ол А₁(кх₁;ку₁) нүктесіне ауысады.

ОА түзуі координат басынан өтеді, демек оның теңдеуі ах+ву=0 түрінде болады. Ол А нүктесінің координаталарын қанағаттандырады, яғни ах₁ + ву₁ =0. А₁ нүктесінің де координаталары да осы теңдеуді қанағаттандыратындығын көрсетейік:

Демек, А₁ нүктесі де ОА түзуінде жатады.

ОА=  , ОА₁=  .

Онда, ОА=к∙ОА₁ ол гомотетия анықтамасы бойынша біздің түрлендіру центрі О нүктесі, коэффициент к болатын гомотетия.

Осы түрлендірудің ұқсас түрлендіру болатындығын дәлелдейік. Ол үшін A₁ B₁ = к∙АВ екендігін көрсетеміз. Мұндағы А және В - берілген нүктелер, ал А₁ және В₁нүктелері осы гомотетияда А және В нүктелері көшетін нүктелер.

Қозғалыстағы сияқты ұқсас түрлендіру кезінде бір нүктеде жататын A, В, С нүктелері, бір түзуде жататын А₁ В₁ С₁ нүктелеріне көшеді. Егер В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жатса, онда В₁ нүктесі А₁ және С₁ нүктелерінің арасында жатады. Бұдан ұқсас түрлендіру кезіңде түзудің түзуге, жарты түзудің жарты түзуге, кесіндінің кесіндіге көшіретіндігі шығады.

Гомотетияны қолдану арқылы ұқсас түрлендіру кезінде сәулелер арасындағы бұрыштардың өзгермейтіндігі дәлелденеді.

Ұқсастық түрлендіру жәрдемімен ұқсас фигуралар ұғымына анықтама беріледі.

Геометрия курстарында ұқсас фигуралар ұғымы қарастырылады. Кейде ұқсас фигуралардың жалпы анықтамасы мүлдем берілмейді, тек үшбұрыштар мен көпбұрыштардың ұқсастығы қарастырылады.

Кеңістіктегі гомотетия және ұқсас түрлендіру жазықтықтағы секілді анықталады. Кеңістіктегі гомотетия ұқсас түрлендіру болатындығы дәл осылай дәлелденеді [30