Дәріс Ұқсастық және алгебралық әдістер. Ұқсас түрлендірудің теориялық негізі
жүктеу/скачать 379,67 Kb.
|
Дәріс 4.
Есеп (3). С бұрышы сүйір болып келген ABC үшбұрышының АЕ мен BDбиіктіктері жүргізілген. (12 - сурет). Сонда ∆ABC ∞ ∆EDC болатынын дәлелдеңдер. Ill е ш у i. ABC мен EDC үшбұрыштарының С төбесіндегі бұрыш екеуіне ортақ. Осы бұрышпен іргелес жатқан қабырғалардың пропорционал болатынын дәлелдейік. Сонда, ЕС꞊AСcosγ, DC꞊ВСcosγ. Яғни үшбұрыштардың Сбұрышына іргелес жатқан қабырғалары пропорционал болады. Демек, eкi қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша ∆ABC ∞ ∆EDC болады. Есеп шығарғанда гомотетия әдісін пайдалануды мынадай ретпен жүргізген тиімді болады. Есепке анализ жасап, іздеп отырған фигурамыздың өлшемдерін сипаттайтын шарттардың бірін алып тастайды. Мысалы, іздеп отырған үшбұрыштарымыздың қабырғасы жазықтықтың белгілі бір нүктесі арқылы өту керек деген немесе оның кез-келген бір төбесі берілген шеңбердің бойында жатуы тиіс деген шартын алып тастап, алдымен іздеп отырған Ф фигурасын емес, оған гомотетиялы Ф' фигурасын салу мүмкіндігін анықтайды. Сонан соң Ф' фигурасын салып, оны - түрлендіріп болған соң, бұрын тастаған шарт орындалатындай етіп, гомотетиялы түрлендірулер жасайды, сонда іздеп отырған Ф фигура шығады. Жоғарыда айтылғандардан, гомотетия методымен шығарылатын есептер қатарына ең алдымен берілгендерінің ішінде тек біреуі ғана кесіндімен бейнеленіп, ал қалғандарының не бәрі бұрыштар, не бұрыштардың не кесінділердің қатынастары болып келген есептер жататындығы шығады. Бұл типтес есептерді шешкенде мыналарды еске алу қажет. 1) Гомотетия центрі ретінде жазықтықтың кез-келген нүктесін алуға болады, ал іс жүзінде гомотетия центрін дұрыс таңдап алу салуды оңайлата түседі. Есепті оңай және тез шешуге келтіретін алдын ала таңдап алу есептің шарты мен талабына байланысты. Гомотетия центрі ретінде көбінесе берілген фигураға көмекші фигураның бір төбесін немесе сызықтық элементінің бір ұшын алатындығын байқауға болады. Мысалы, А төбесіндегі бұрышты және сырттай сызылған шеңбердің R радиусы бойынша тең бүйірлі ВАС үшбұрышын салу үшін ұқсас А төбесіндегі бұрышы мен тең бүйірлі В 'А' С' үшбұрышын салып, сонан соң осы үшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центрін гомотетия ретінде алып және k = R деп жоримыз да В 'А' С' үшбұрышын іздеп отырған үшбұрышқа түрлендіреміз. 2) Ұқсас екі фигураның сәйкес сызықтық элементтерінің қосындысының (айырмасының) қатынасы. Олардың ұқсас (сәйкес) сызықтық элементтерінің қатынасына және гомотетияның k коэффициентіне тең, мысалы, ұқсас үшбұрыштардың периметрлері олардың сәйкес қабырғаларының гомотетия коэффициенті ретінде алынады. Ұқсас екі фигураның аудандары олардың сәйкес элементтерінің квадраттарының қатынасындай болады [30]. Әртүрлі коэффициентті гомотетияға мысалдар қарастырайық. 53 - суретте центрі М0 нүктеде және коэффициенті k=2 болған гомотетиядағы АВСүшбұрышының бейнесі құрылған, ал екіншіде центрі М0 нүктеде және коэффициенті k= - 2 болған гомотетия мысалы көрсетілген. Бұл сызбалардан байқайтынымыз суреттерде жұп ұқсас үшбұрыштар бейнеленген. Екі жағдайда да ұқсастық коэффициенті 2 және де АВС және А1В1С1үшбұрыштарының сәйкес қабырғалары өзарапараллель.  
Сурет - 53.Центрі М0 нүктеде және Сурет - 54. Центрі М0 нүктеде және коэффициенті k=2 болған гомотетия коэффициенті k=-2 болған гомотетия.
коэффициенті Дәлелдеу.55-суреттегі сызбаны қарастырайық.Үшбұрыш медианасының белгілі қасиеті бойынша, медианалар қиылысу нүктесі оларды төбеден бастағанда 2:1 қатынасында бөледі. Сонымен, центрі М нүктеде және коэффициенті  
Сурет -55. 27 мысалға. Ескерту. АВС және А1В1С1үшбұрыштар гомотетиялы. Мысал 28. Үшбұрыштың биіктіктері бір нүктеде қиылысады. Дәлелдеу.А1В1С1үшбұрышын қарастырайық.Оның төбелері арқылы қарама-қарсы қабырғаларынапараллель түзулер жүргізейік. Берілген үшбұрышқа гомотетиялы АВС үшбұрышын аламыз. Бірінші үшбұрыштың төбелері екінші үшбұрыштың қабырғаларының орталары болатынын дәлелдеуді оңай көрсетуге болады (өздерің көрсетіңдер). Берілген үшбұрыштың А1Н1, В1Н2 и С1Н3 төбелеріАВСүшбұрыш қабырғаларының орталарынан өтеді. Қарастырылып жатқан үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының параллельдігінен, А1Н1, В1Н2 және С1Н3 түзулері АВСүшбұрыштың сәйкес қабырғаларына перпендикуляр болады. Басқаша айтқанда бұл түзулер АВСүшбұрыш қабырғаларының ортасына жүргізілген перпендикулярлар болады. Орталық перпендикулярлар бір нүктеде қиылысатындығы белгілі және оны дәлелдеу қиын емес. А1Н1, В1Н2 және С1Н3 қарастырылып жатқан түзулердің бір нүктеде орталық перпендикулярлар ретінде қиылысатындығынан А1В1С1үшбұрыштың биіктіктері ретінде де қиылысатындығы келіп шығады. Осыны дәлелдеу керек еді. Практикада екі гомотетиялы фигураның гомотетия центрін табу білігі үлкен маңызға ие ( мысалы олар екі параллель кесінді, сәйкес қабырғалары параллель екі үшбұрыш, екі шеңбер және т.б. болуы мүмкін). Бұндай салуды орындау оңай: сәйкес екі нуктеден түзулер жүргізу керек, осы түзулердің қиылысу нүктесі гомотетия центрі болады. 57-суретте АВ и А1В1 кесінділері үшін екі гомотетия центрін салу көрсетілген. 
Сурет 57. Екі параллель кесінділер үшін гомотетия центрін салу. Егерсәйкеснүктелер ретіндеА және В1, В және А1 нүктелеріналатын болсақ, онда О1центрі алынады. Егерсәйкеснүктелер ретіндеА және А1, В және В1 нүктелеріналатын болсақ, онда О2 центрі алынады. Екі әртүрлі центрге ие, тең емес шеңберлерде екі гомотетия центрлеріне ие болатындығына оңай көз жеткізуге болады. Осы центрлерді салу мысалдарын қарастырайық. Мысал 4. Екі шеңбер үшін гомотетия центрін салу. Салу. 1) Бірінші шеңбер үшін кезкелген О1А радиусін саламыз. Екінші шеңбердің центрі арқылы О1А кесіндісіне параллель етіп шеңбердің ВВ’ диаметрін жүргіземіз. 2) Центрлер сызығын құрамыз (О1О2 түзуін). 3) АВ және О1О2 – лардың қиылысуы О бірінші гомотетия центрін береді.
Ал АВ’ және О1О2 - лардың қиылысуы О’ екінші гомотетия центрі болады. Екі шеңбердің гомотетия центрін салу – салудың күрделі есептерін шешуде маңызды басқыш: екі шеңбердің ортақ жанамасын салуда. Бұл салуды орындау үшін бізге бір тұжырымды дәлелдеуге тура келеді. жүктеу/скачать 379,67 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
гомотетиядағы осы үшбұрыштың төбелері қарсы жатқан қабырғаларының ортасына өтеді.
Сурет 58. Екі шеңбер үшін гомотетия центрін салу.