Математика ғылым ретінде есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды. Тарихқа жүгінсек, ең көне математикалық ескерткіштер Ринд және Мәскеу папирустарында есептер қарастырылып, оларды шығару жолдары берілген

Мектеп математикасындағы мәтіндік есептерді шешудің әдістемесі

Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп - басты қызметші болып табылады. Есептің міндеттері өте көп: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау т.б. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша айтқанда кез-келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім алады, шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әр түрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп барады. Бір кезеңдерге есептер жинағы көпестердің сауда саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, құмарлық ойындарда ұту т.с.с. мазмұнда болады.

Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймайды, оларды есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты қасиеттердің тәрбиеленуіне тигізетіні аян.

Есеп оқушылардың логикалық ойлау, кеңістікті елестеу, жеке бас қабілеттерін дамытуға бірден-бір себебші болатын басты құрал болып табылады. Оқушылардың білімін, біліктілігін және дағдысын анықтауды бақылау міндеттері де көбінесе есепке жүктеледі.

Есеп шығару-ерекше жұмыс, дәлірек айтсақ ой жұмысы. Ойлаудың негізгі формулаларының бірі-ой қорыту. Оқушыларды ой қорытулар жасау мен дұрыс қорытынды шығаруға үйрету – мектептегі барлық пәндерді оқытудағы басты педагогикалық мәселелердің бірі. Мұнда математика пәнінің, әсіресе есеп шығарудың маңызы ерекше, Себебі математикадағы жаңа білімдерді алу мен оларды игеру, түрлі есептерді шығару барысының әрбір қадамы сайын ой қорытулар жасау және қорытынды шығарып отыруға тура келеді.

Ой қорыту-бір-бірімен мағыналық байланыста болатын, бір немесе бірнеше пайымдар негізінде жаңа пайым (қорытынды пайым) алынатын ойлау үрдісі. Мұндағы пайда болған жаңа пайым да берілген пайымдармен қандай да бір мағыналық байланыста болады.

Оқушы әрбір есепті ой қорыту нәтижесінде шығарады. Ал есеп шығару дегенде нені түсінетіндігімізді анықтайық. Кез-келген жұмысты дұрыс атқару үшін, оның неден тұратындығын және оны орындау үшін қандай құрал, әдіс керек екендігін алдын ала анықтап алу қажет. Кез-келген есеп шарттардан және талаптардан құралады.

Мәтіндік есептерді шығартып үйрету барысында оқушылардың деңгейлері анықталуы тиіс және соның нәтижесін ескере отырып, мәтін есептерді шығаруда қиыншылыққа кездесетін оқушыларға қарапайым жеңіл есептерді шығартудан бастаған дұрыс. Есептің мағынасын, есепте берілген іс-әрекеттерді толығымен түсінуге, есептің шартын жазуға оқушыларды қалыптастыру керек. Содан кейін шығару тәсілдерін бекіткен дұрыс болады. Оқушылар қарапайым есептерді жақсы түсінгендіктен, олардың игерген білімдері білмейтін материалдарды игеруге жетектейді. Сонымен қатар математика пәнінен алынған білімді өмірде жиі қолдануға тура келетіндіктен, оқушыларға өмірмен байланысты есептерді шығаруға беруді ескерген жөн, бұл оқушылардың танымдылығы мен қызығушылығын арттыруға ықпал етеді. «Есепті жеңу - ой жеңісі, жігерлік жеңісі» болып табылады. Оқушыға нұсқау жасауда, мұғалім ең төменгі деңгейде нұсқау жасағаны дұрыс болар еді. Мұғалім мен оқушы арасындағы қарым-қатынас «өзім жасауға көмектесіңіз» түрінде болуы керек. Қиындатылған есептер шығарылмаса, онда сыныптың потенциалын жоғалтып алуымыз мүмкін.

Мәтіндік есептерді шығару барысында есептер әр түрлі болып көрінгенімен көптеген есептерді бір жүйеге жатқызуға болады, яғни ол есептерді шығаруда ортақ тәсіл қолданылады.

Мәтіндік есептерді шығару көптеген оқушыларда қиындық туғызады. Мәтіндік есептерді шығарудың универсал (әмбебап) тәсілдері жоқ, бірақ, мұндай есептерді шешкенде төмендегі келтірілген схеманы пайдалануға болады:

1 Белгісізді таңдап алу.

Көптеген жағдайларда есептің шартында берілген анықталуға тиісті шаманы белгілеген тиімді. Сондықтан мұндай нұсқаны бірінші кезекте қарастыру керек, бірақ бұл ереже қатал емес, кейде есептің шартына енетін басқа шамаларды қатыстыру арқылы теңдеу құрған тиімді. Негізгі мәселе белгісіздердің санын анықтау болып табылады: белгісіздердің саны неғұрлым көп болса, соғұрлым теңдеуді (немесе теңсіздікті) оңай құруға болады, бірақ мұнда есепті шешудің өзі қиындай түседі: егер қандай да бір шама бұрын белгіленген шама арқылы оңай өрнектелетін болса, онда жаңа айнымалы шамаларды енгізудің қажеті жоқ.

2 Теңдеу (кейде теңсіздікті) құру қажет. Теңдеулер жүйесін құрғанда есептің шартын толық пайдаланған (шамалардың өзін емес, олардың арасындағы арақатысты анықтау қажет болмаған жағдайда) маңызды. Сонда теңдеулердің саны ондағы белгісіздердің санымен бірдей болуы керек.

3 Қажетті белгісізді немесе қажетті белгісіздердің комбинациясын анықтау керек. Егер есепті шешу барысында кейбір түбірлерді алып тастау қажет болса, оны есептің шартына сәйкес орындау қажет. Сонымен, теңдеу құрып мәтіндік есептерді шешу мынадай жүйемен жүзеге асырылады:

1) айнымалылар енгізіледі, яғни ізделінді белгісіз шамаларды х, у, z, ... деп белгілейді;

2) енгізілген айнымалыларды, сондай-ақ есептің шартында берілген сандар мен олардың арасындағы арақатысқа сүйеніп, теңдеу немесе олардың жүйесін құрады;

3) осы теңдеуді (немесе олардың жүйелерін) шешеді;

4) табылған шешімдердің ішінен есептің шартына сәйкес келетінін (іріктеп) таңдап алады.

Қазіргі кезде емтихандарда көптеген мәтіндік есептер ұсынылуда. Ең бастысы, мұндай есептердің түрін біріктіретін нәрсе, есептің шарты формуласыз және белгісіздер әріпсіз белгіленеді, ал есептің шарты кейбір мәтін түрінде тұжырымдалады.

Мәтіндік есептерді іскерлікпен шешу оқушылардың дағдысына байланысты анықталады. Көптеген оқушылардың кез келген мәтіндік есептерді теңдеу құруға берілген есептер деп қарастыру оларды адасушылыққа әкеліп соқтырады. Оқушылар психологиялық тұрғыдан алып қарағанда оған дайын емес, өйткені есепті шешу үшін тек теңдеу құру жеткіліксіз немесе оларды теңдеусіз шешуге болады.

Мәтiндiк есептердi шығару оқушылардың ойлау қабiлетiн дамытуға, функционалдық тәуелдiлiктiң идеяларын терең түсiнуге, есептеу мәдениетiнiң артуына қолайлы жағдай жасайды. Мұндай есептердi шығару нәтижесiнде оқушылардың нақтылы объектiлер мен құбылыстарды модельдеу бiлiгi мен дағдылары қалыптасады.

5-9 сынып математика курсында мәтiндiк есептердi шығарудың негiзгi екi тәсiлi қарастырылады: арифметикалық және алгебралық. Арифметикалық тәсiл iзделiндi шаманың мәндерiн тiкелей сандық өрнек (сандық формула) құрып, нәтиженi есептеу арқылы анықтайды. Алгебралық тәсiл есептi шығару үшiн құрылатын теңдеулер мен олардың жүйелерiн қолдануға негiзделген.

Теңдеу құруға берiлген есептердi шығару мектепте алгебра курсындағы негiзгi мәселелердiң бiрi болып саналады. Оқушылар бiр белгiсiзi бар бiрiншi дәрежелi теңдеулердi шешудiң техникасын оңай игередi, бiрақ есеп шығару, оның iшiнде есептi теңдеу құру арқылы шығару оқушыларға қиын тиетiндiгi тәжiрибеден белгiлi. Мұның негiзгi себебi мынада сияқты.

Оқушылар бастауыш сыныптарда есептегi шамалардың арасындағы тәуелдiлiктi аңғаруға, оларды пайдаланып есеп шығаруға жөндi дағдыланбайды. Сондықтан жоғары сыныптарда есептiң шартын жете түсiнiп, талдай алмайды.

Бағдарлама бойынша оқушылар теңдеу құруға берiлген есептердi 5-сыныптан бастап шығаруы тиiс. Бiрақ мектеп тәжiрибесiне қарағанда оқушылар теңдеуге берiлген мысалдарды шығарғанымен, мәтiндiк есептердi аз шығарады, тiптi кейбiр мұғалiмдер мәтiндiк есеп шығаруға жөндi көңiл бөлмейдi.

Озат мұғалiмдердiң тәжiрибелерi теңдеу құруға берiлген есептердi шығару процесi мына кезеңдерге бөлiнетiнiн көрсетедi:

1Есептiң шартын талдау.

2 Белгiсiз шамаларды анықтап, олардың есептiң шартындағы белгiлi шамалармен арасындағы тәуелдiлiктерiн табу.

3Теңдеу құру.

4 Теңдеудi шешу.

5 Теңдеудiң шешiмдерiн зерттеу.

6 Есептi тексеру.

7 Есептiң жауабын жазу.

Теңдеу құруға берiлген есептердi шығару процесiнiң көрсетiлген осы кезеңдерiнiң әрқайсысына оқушыларды үйрету мақсатымен жүргiзiлетiн түрлi жаттығу жұмыстары болады.

Есеп шығаруға үйрету – математиканы оқытудың ең қиын әрі күрделі мәселелерінің бірі. Шынында әрбір есеп мазмұнының өзі проблемалық сипаттағы белгілі бір тапсырма-сұрақтар жүйесін қамтиды да оны шығару процесінде сәйкес талдау, талқылаулар жүргізе отырып тиісті жауапты іріктеп алу және іздеу сияқты күрделі ақыл ой операцияларын орындауды талап етеді.

1-тапсырма

1-есеп

1 Есепті талдау

Есепте 2 объекті сөз болып тұр.

Олар: бірінші және екінші жұмысшы. Олардың жұмыс істеу шапшандығы әр түрлі. Егер жұмыс істеу шапшандығы бірдей болса, онда бірінен кейін бірі істегенде, барлық жұмысты 24 сағатта (12*2) бітірер еді.

Жұмысшының жұмысты қанша уақытта бітіретіндігін, яғни уақытты табу қажет.

2 Схемалық түрде жазу

Жұмыс көлемін кесіндімен белгілесек, онда схемалық жазу былай болады:

1-мен 2 бірігіп, 12 сағ.

1-ші содан соң 2-ші 25 сағ.

3 Есеп шығару тәсілін іздестіру

Әрбір жұмысшының жұмысты қанша уақытта бітіретіндігін табу керек. Жұмыс көлемі белгісіз. Жұмыс көлемін 1 өлшем деп алсақ, онда екі жұмысшы бір сағатта жұмыстың 1/12 бөлігін бітіреді. Бұл, екеуінің жұмыс істеу шапшандығының қосындысы. Бірінші жұмысшының жұмысты бітіру уақытының жартысы мен екінші жұмысшының жұмысты бітіру уақытының жартысының қосындысы 25-ке тең болады.

4 Есепті шығаруды жүзеге асыру

Егер бірінші жұмысшы барлық жұмысты Х сағатта, ал екінші У сағатта бітіреді десек;

І-ші жұмысшының жұмыс істеу шапшандығы 1/Х

ІІ-ші жұмысшының жұмыс істеу шапшандығы 1/У болады.

Сонда 1/Х+1/У=1/12

Бірінші жұмыстың жартысын Х/2 сағатта, екінші У/2 сағатта бітіреді.

Олай болса: Х/2+У/2=25

Сонымен мына системаны аламыз:

Х/2+У/2=25

1/Х+1/У=1/12

Бұл системаны мына түрге келтіреміз:

У=50-Х

Осыдан

12 50-Х(50-Х) =0

Соңғы теңдеуді қарастырайық Х²-50Х+600=0

Х₁=30; Х₂=20

Сонда У₁=50-30=20; У₂=50-20=30

5 Есеп шығарылуын тексеру

(1/30+1/20=2+3/60=5/60=1/12):

(30/2=15 сағ): (20/2=10) сағ 15+10=25 сағ.

6 Есепті зерттеу

Есепте айтылған мағынадан шығып тұр, мұндағы Х=0? У=0.

7 Жауабы

Жұмысшылардың біреуі (мүмкін бірінші, мүмкін екінші) жұмысты 30сағ., ал екіншісі 20 сағ бітіреді.

8 Есептің шығарылуына талдау жасау

Бұл есептің шығарылуы екі белгісізі бар екі теңдеулер системасын шешуге келтірілді.

2-тапсырма

Есепті әр түрлі тәсілмен шығар

2-есеп

Есепті әр түрлі тәсілмен шығару дегеніміз – бір процесте алуан түрлі, ақыл-ой әрекетін орындау арқылы берілген есепті шешудің бірнеше мүмкін варианттарын тағайындау және оны жүзеге асыру, оны шешу логикалық талқылау жүйесін орындау керек.

Есепке қысқаша шарт құрамыз.

Бірінші амалды шығарамыз.

1.

2. 7200:6=1200

Екінші. Өрнек құру арқылы

1.

Жауабы: 1200 теңге.

Үшінші. Теңдеу құру арқылы шығарамыз.

Түсініктемесін жаза отырып, біртіндеп теңдеу құрамыз

Х – бір бәтеңкенің бағасы

- туфлидің құны.

(теңге) – бәтеңкенің құны

Мына түрдегі теңдеу шығады.

Х=1200

Жауабы: 1200 теңге.