Химиялық анализдегі маңызы өте зор. Химиялық анализ метрологиясы стандарттауда, өнеркәсіпті интенсивтендіруде, өнімнің сапасын жоғарылатуда, қоршаған ортаны қорғауда және т б

S  S ² 

 . (2.5)

Бұл мәнді орташа квадраттық (немесе квадраттық) ауытқу немесе жеке нәтиженің орташа квадраттық қатесі деп атайды. Оны мына теңдеумен есептеуге болады:

S  ^S
. (2.6)

Осылайша, анализ нәтижесін өңдеу кезінде әдетте басты орташаны μ -ді емес, орташа таңдамалыны x , таңдамалы стандартты ауытқуды емес таңдамалы дисперсияны, σ² –ты емес басты жинақтылықты сипаттайтын σ –ны анықтайды. Дегенмен кездейсоқ таңдаулардың нәтижесі басты жинақтылықтың параметрін анықтауға мүмкіндік береді.

n

Қайталанымдылықты бағалау үшін орта мәннің таңдамалы дисперсиясын
_x_i  x²

x
S ² 
i 1
nn 1
(2.7)

және стандартты ауытқуды немесе орташа нәтиженің орташа квадратты қатесін есептейді:

S_x  ^S 


(2.8)

2.5 – теңдеуіндегі квадраттар қосындысын былайша түрлендіруге болады:


i 1
2
x_i  x  


n

_ 2
x_i  2x_i x  x
i 1
²  x²  2x x  x
²  …  x²  2x x  x
² 

i i

n n
 ^{2 2}     ²

2 _{ }n 2 _ 2

 x_i  …  x_n  2x x₁  …  x_n  x
 …  x
 x_i  2x x_i  nx

n
i 1 i 1

Осыған 2.2 қатынасын қойсақ, онда:





n
ⁿ  ⁿ ^{2  n 2}





n

n

n
2_x_i
 _xi 
_xi 

x_i  x ² 


_x² _ i 1
_{x  n} ^{i 1}  _
x2 _ ^{ i 1  . (2.9)}

  ⁱ

_{n } i
 _n  ^{ i} _n

i 1
i 1
i 1 _


_ i 1i



Немесе қысқартып жазсақ:

n n

  ⁱ

x_i  x ²  x²  nx ²
i 1 i 1
(2.10)

_S ² _ i1
n 1
(2.11)

және стандартты ауытқуды келесі теңдеумен есептеуге болады:

S  S ² 

(2.12)

Орташа мәнді, дисперсияны және орташа нәтиженің стандартты ауытқуын есептесек (құйманың құрамындағы Pb-ды анықтағандағы (%)): 14,50; 14,43; 14,54; 14,45; 14,44; 14,52; 14,58;
14,40; 14,49.
2.3 – теңдігі бойынша А=14,50 болғанда


_{c  14,50 } 0,00  0,07  0,04  0,05  0,06  0,02  0,08  0,10  0,01 _
 14,50  0,0166  14,50  0,017  14,483

2.5 – теңдігіне сәйкес дисперсия мынаған тең болады:

S ² 
0,017²   0,053²  0,057²   0,033²   0,043²  0,037² 
9 1

 0,097²   0,083²  0,007² _ 2,700 10^2 _

3,375 10^3

9 1 8

2.11 – теңдігі бойынша S² – сандық мәні мынаған тең:

S ² 
14,50²  14,43²  14,54²  14,45²  14,44²  14,52²  14,58²  14,40²  14,49²
9  1

_ 14,50  14,43  14,54  14,45  14,44  14,52  14,58  14,40  14,49² _
9  1
3,375 10^3

Бұл бұған дейін есептелген нәтижелермен сәйкес келеді және квадратты алмай тұрып, ( x_i  x )
табуды қажет етпейді.
2.10 – теңдеуін қолданғанда S² орташа арифметикалық мәні дөңгелектеуге байланысты өзгереді:
S ²  ^{1887,9295  914,483}2  0,0142 ; ( x =14,483 болғанда);
8
^{S 2  4,475103} ( x =14,4833 болғанда);


^{S 2  3,488103} ( x =14,48333 болғанда);


^{S 2  3,385103} ( x =14,483333 болғанда).

Келтірілген нәтижелерден дисперсияның осы жағдайдағы шынайы мәні тек орташа арифметикалық мәнді, яғни үтірден кейін 6 санды алғанда ғана дұрыс болатынын көруге болады, сондықтан 2.10 теңдігін қолданып жүргізілетін есептеулерге қарағанда 2.9 теңдігін қолданған дұрыс сияқты. Стандартты ауытқуды (квадраттық қатені) 2.5 – теңдігі арқылы есептейді:

S_x 
 0,05809

және 2.8 – теңдігі бойынша орташа нәтиженің стандартты ауытқуын анықталады:
S_x  ^0,05809  0,01936
9
Микрокалькуляторлардың қайсыбірінде, мысалы «Электроника МК-51» статистикалық есептеу режимі қарастырылған. Олар ∑x ², x , S және x шамасын енгізу арқылы алынатын басқа да мәндерді
i i
алуға болады.

5. Қалыпты таралу

Экспериментальдық нәтижелерді талдай отырып, кіші қателермен салыстырғанда мәні үлкен болатын қателердің аз болатындығын байқауға болады. Сонымен қатар, байқаулар санын арттырған сайын таңбалары әртүрлі және мәндері бірдей қателер жиі кездеседі. Осы және бұдан да басқа кездейсоқ қателердің қасиеттері қалыпты таралумен немесе Гаусс теңдігімен өрнектеледі:
_x ²

бұндағы ^{ x} – ықтималдылық жиілігі;

x – кездейсоқ шаманың мәні;
μ – басты орташа (математикалық күтім);
σ – дисперсия.
y  x 
¹ _e 2 ²
(2.13)

2.4 – суретте аудандары бірдей болатын қалыпты таралу қисығы берілген. Суреттен стандартты ауытқу (дисперсия) үлкен болған сайын, қисықтың жалпақ дөңесті болатынын көруге болады. μ және σ шамалары таралу параметрлері деп аталады. Ықтималдылық жиілігі (2.13) теңдеуімен өрнектеледі.
2.4-сурет. Әртүрлі орташа квадратты қателіктер кезіндегі қалыпты таралу қисықтары

x
¹ коэффициентін таңдағанда кездейсоқ x мәнінің ықтималдығы бірге тең болатындай мәнін алады.

  x  

интервалына түсу


1 _e

_ x 2 2 ²


dx  1

(2.14)

μ мен σ – ның кез-келген мәнінде 2.13 теңдеуі қисығымен және абсцисса өсімен шектелетін ^{аудан бірге тең болады. Егер x}1 ^{және x}2 ^{мәндерін ордината өсіне салсақ, онда кездейсоқ x шамасының x}12 ^{интервалына түсу ықтималдығы төмендегідей}