И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

7
а + 2 + а - 2 + 2-Ja2
 - 4 = 
2а;
а2-
 4 = 0;
а, = 2 , а , = - 2 < 0.
а = 2, х 2 + 
4х
 + 
6
 = 2; 
х2
 + 
Ах
 + 4 = 0; 
х
 = - 2 .
Ответ:
 {-2}.
Многие иррациональные уравнения решаются проще, если ввести две вспо­
могательные переменные с последующим переходом к рациональной системе.
Решение:
■j2x-3
+ 
у/4х + \
= 4.
Обозначим:
■J2x~3
= 
а, а >
 0; 
л/4х + 1 = 6 , 6 > 0;
Га2 = 2дс-3, 
, 
,
4 
=> 
2а 
-Ь =
 - 7 .
(ft2 = 4 х + 1;
Тогда можно записать следующую систему уравнений:
Метод разложения на множители
Для решения иррациональных уравнений данным методом следует пользо­
ваться 
правилом
:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из мно­
жителей, входящих в это произведение, равен нулю, а остальные при этом 
имеют смысл.
140
9. 
Задание:
 Решите уравнение 
-J2 х - 3
 + 
J
4х + 1 = 4 .
2 а 2 - (4 - а )2 + 7 = 0;
2 а 2
- а 2
 
+ 8 а - 1 6 + 7 = 0; 
а 2 + 8а - 9 = 0;
а, = 1, а , = - 9 < 0.
а = 1, л / 2 х -3 = 1; 
х - 2 .
Ответ:
 {2}.

/(*) = о, 
2
JsO
0 = 0,
g(x) -
определена; 
[/(х)> 0.
flc + 2
10. 
Задание:
Решите уравнение 
(х2 ~5х~ 6)л]
------ = 0.
М х-5
Уравнение 
-Jf(x) 
• 
g(x)
 
= 0 равносильно совокупности двух систем:
Решение:
(х2 - 5х-
6 )J ——j = 0;
V x - 5
г ,
[х2- 5 х - 6 = О,
о — Г = 0; 
2) i х +2 . 
г
‘
х 
]------ > 0; 
1 х € (-а»;-2]и(5;оо);
х, = - 2 ; 
U - 5
х2
= 6, х3 = -1, 
* € ( -
Х , = 6
Ответ:
{-2; 6}.
11. 
Задание:
Решите уравнение Vx-З
-х2 * 4>/х - 3
. 
Решение:
л / х -3 -х 2 = 4л/х-3; 
л
/
х
- 3 (
х
2 - 4 ) = 0;
1) х - 3_= 0; 
fx2- 4 = 0, fx2 =2, х, » - 2 ,
х, = 3; 
” 
(х - 3 > 0; 
(х> 3;
система решений не имеет.
Ответ:
{3}.
12. 
Задание:
Решите уравнение:
л/х2- 5 х + 6-Зл/х-З -5л/х-2 + 15 = 0- 
Решение:
ОДЭ:х*3;
Vx2 - 5х + 6 - Зл/х - 3 - 5^х - 2 + 15 = 0; 
Л/ (х -З К х -2 )-3 ^ х ^ З -5 л / ^ 2 + 15 = 0; 
л
/
х
^ З (
л
/
х
- 2 - 3) - 5(
л
/
х
^ 2 - 3 ) = 0;
(л/х^З 
- 5 )(4 ^ 2 -3)
= 0;

л/ x - 3 = 5; 
л/х- 2 = 3; 
х, = 28. 
х2 = 11.
Ответ:
{11;28}.
К дополнительным методам решения иррациональных уравнений отно­
сятся следующие методы:
- умножение на сопряженное;
- переход к уравнению с модулем;
- метод “пристального взгляда”;
- использование монотонности функции.
Рассмотрим на примерах каждый из этих методов.
М етод умножения на сопряженное 
В основе данного способа решения иррациональных уравнений лежит 
формула 
(yfa - yfbj(-Ja + -Jb) = a - b .
Иногда использование этой формулы облегчает решение.
13. 
Задание:
Решите уравнение л/х2 + 5х + 3 - л/х2 + Зх + 2 = 2х + 1. 
Решение:
л/х2 + 5х + 3 — л/х2 +Зх + 2 = 2х +1.
Умножим обе части уравнения на сум м у корней:
[л/х2 + 5х + 3 - л/х2 + 3х + 2][л/х2 + 5х + 3 + л/х2 +Зх + 2 ]=
= (2х +1 )(л/х2 + 5х + 3 + л/х2 + Зх + 2|;
/ х 2 + 5х + 3 - х 2 - Зх - 2 = (2х + 
ijyjx2
 + 5х + 3 + л/х2 +ЗХ + 
2
);
2х +1 = (2х + 
ф х 2
 + 5х + 3 + л/х2 + Зх + 2 );
(2х + l)(Vx2 + 5x + 3 + л/х2 + Зх + 2 - 1)= 0;
1) 2х +1 = 0;
Дополнительные методы решения
иррациональных уравнений
1
2 ) л/х2 + 5х + 3 + л/х2 +Зх + 2 = 1.
Выполним сложение двух иррациональных уравнений:
142
I

л
/
х
2 + 5
х
+ 3 +
л
/
х
2 + З
х
 + 2 = 1 
+
4
х
1 +5
х
+ 3 -
у
1
х
1 +З
х
 + 2 = 2
х
 + \;
2-Jx1 +5х + 3 = 2х+2;
л/х2 + 
Sx+З —
 х + 1;
х 2 - 1 ;
х2 + 5л+3 = jc2 
+2х+Л;
Зх
ч» -2;
2
^ ~ 3'
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению. 
Ответ:
I 3’ 2
. . , . 
_ 
ЛГ + л/х2 -1
х-л/х2-1.
14. 
Задание:
Решите уравнение------у..... - - н------- у •■■■ = 34.
х-Ых? — \ х + л/х2 — 1
Решение:
:£ ± 2 р , ; £ - р = 34. 
х
—
\1х~ —
1 x+Vj£.-1
Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби.
(х +л/? - 1)2+(х - л/х2 - 1)2 =34;
х2 + х2 -1 + 
2x4х1 
-1 + х2 + 
х2
-1 - 2хл/х2 -1 = 34;
4х2 = 36; 
ж, = 3, 
= -3 .
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению. 
Ответ:
{—
3; 3}.
Метод перехода к уравнению с модулем
Данный метод применяется, когда подкоренные выражения в иррацио­
нальном уравнении представляют собой полные квадраты.
15. 
Задание:
Решите уравнение V x - 6 x + 9 + л/х +8х + 16 = 11.
143

Реш ение:
•Jx2
- 6 х + 9 + 
yjx2
+8jc + 16 = 11;
V ( x - 3 ) 2 + V (x + 4 )2 =11; 
|x-3|+|x + 4| = l l ;
x-3
x+4
+
l ) x e ( - o o ; - 4 ) ;
2 ) x e [ - 4 ; 3 ] ;
3 )x e (3 ;a > );
- x + 3 - x - 4 = l l ;
- x + 3 + x + 4 = l l ;
x - 3 + x + 4 = l l ;
- 2 x - l = 11; 
7 * 1 1 ;
2 x = 10;
x2
= 5.
Ответ:
{-6; 5}.
,
решений нет;
л, = - 6 ; 
x , = 5
Метод анализа уравнения
Среди иррациональных уравнений встречаются такие, которые не реша­
ются с помощью приведенных выше приемов. В подобных случаях иногда 
может оказаться полезным анализ области определения функций, входящих 
в уравнение, а также использование свойств корней степени и.
Отметим следующие свойства корней, которыми мы постоянно будем 
пользоваться при решении уравнений данным методом:
1. Все корни четной степени являются арифметическими, т.е. если подко­
ренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное 
выражение равно нулю, то корень такж е равен нулю; если подкоренное выра­
жение положительно, то значение корня положительно.
2. Все корни нечетной степени определены при любом значении подко­
ренного выражения.
3. Функции 
у
= 
2у[х
и 
у
= 
2п*у[х
являю тся возрастающими на своей об­
ласти определения.
В ряде случаев можно установить, что уравнение не имеет решения, не 
прибегая к преобразованиям.
а)
 л/х+Т + л/20 = л/5;
л/х+Т = 
->l5.
Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому 
уравнение решений не имеет.
144

б) 
л/х2 + 
4 + 
-Jx2+9
= 4;
л/л2 +4 >2;
л/х2+9 >3.
Уравнение не имеет решений.
в) л/х2 + 1 -л/2х2 + 5 = 1;
х 2 +1 < 2х2 + 5.
Уравнение не имеет решений.
г) л/4- 
X 
- л/х - 6 = 2;
| 4 - х > 0, fx < 4,
{х - 6 > 0; [х > 6.
Уравнение не имеет решений.
Использование монотонности функций
Использование монотонности функций, входящих в уравнение, нередко 
значительно упрощает техническую часть решения.
Сформулируем два свойства монотонных функций и теорему о корне.
1. Сумма возрастающих (убывающих) функций - функция возрастающая 
(соответственно, убывающая) на их общей области определения.
2. Разность возрастающей и убывающей (соответственно, убывающей и 
возрастающей) функций - функция возрастающая (убывающая) на их общей 
области определения.
3. Теорема о корне.
Пусть у
- f i x )
- монотонная на некотором промежутке функция. Тогда 
при любом значении 
а
уравнение/(х) = 
а
имеет на этом промежутке не более 
одного корня.
Наглядный смысл теоремы о корне: горизонтальная прямая 
у - а
может 
пересечь график монотонной функции 
у  
=/(х) не более чем в одной точке 
(т.е. либо вообще его не пересекает, либо пересекает в единственной точке).
Рассмотрим примеры.
16. 
Задание:
Решите уравнение: л/37х + 12 -
-J
31 - бх = 2 .
Решение:
Данное уравнение можно решать стандартным способом, т.е. 
почленно возвести промежуточные иррациональные уравнения в квадрат, 
найти затем корни полученного квадратного уравнения с многозначными 
коэффициентами и произвести после этого отсев возможных посторонних 
решений.
145

Однако задача допускает решение “в одну строчку”. Левая часть уравне­
ния - возрастающая в своей области определения функция (первый радикал 
при увеличениих, очевидно, возрастает, а второй - убывает, но он вычитается 
из первого, поэтому их разность возрастает). Следовательно, уравнение имеет 
не более одного решения. Его легко найти: это 
х =
 1.
Ответ:
{1}.
17. 
Задание:
Решите уравнение V 2 х + 5 + 
- J x -
1 = 8 .
Р еш ение:
Левая часть уравнения - возрастающая функция. Поэтому су­
ществует не более одного решения данного уравнения. Корень 
х
 = 10 легко 
найти подбором.
Ответ:
{10}.
18. 
Задание:
Решите уравнение v 4 x —1 + 
\Jx 
+ 1 + 
У х
—6
= 6 .
Р еш ение:
Л евая часть данного уравнения - возрастающая функция.
Поэтому найденный подбором корень х = 7 является единственным.
Ответ:
{7}.
Иррациональные уравнения, содержащие корни высших степеней
Рассмотрим решение уравнений, содержащ их кубические радикалы . 
Основным методом решения таких уравнений является последовательное 
возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы:
(а
+ 
Ь)3
= 
а3 + Ь3
+ 3 
ab(a
+ 
Ъ
);
(а - Ь)3
= 
а 3
- Ь 3-
3 
аЬ(а
-
Ъ).
19. 
Задание:
Решите уравнение V 1 2 - х + V l4 + x = 2 .
Реш ение:
V l 2 - x + V l 4 + x = 2 ;
( V l 2 - x + V l 4 + 
x)f =23;
1 2 - x + 14 + 
x
+ 3^/(124jc)(14 + x)(> /12-x + V l4 + x )= 8 .
Заменив выражение в скобках на число 2, получим:
2 6 + 6 ^ / (1 2 -х )(1 4 + х ) = 8;
V( 1 2 - х ) ( 1 4 + х ) = - 3 ;
1 6 8 - 2 х - х 2 = - 2 7 ; 
х 2 + 2 х —195 = 0; 
х, = 13, х 2 = —15.
146

При замене суммы кубических радикалов на 2 мы получили следствие из 
данного уравнения, поэтому среди решений могут быть посторонние.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что посторонних корней нет.
Ответ:
{-15; 13}.
При решении уравнений, содержащих кубические радикалы, можно ис­
пользовать метод введения двух вспомогательных переменных для последую­
щего перехода к рациональной системе.
20. 
Задание:
Решите уравнение 
\J\3-x
+ 
\/22 + х
= 
5 ■
Решение:
Обозначим 
\J
13 -
х
= 
а
, V 22 + х = 
Ъ ■
13
-х = а\
22 + х = Ь3 =з> 
аг +Ь3=
35.
Составим систему:
Ja + b
= 5,
ja + b =
5,
J a + b = 5,
[а'+Ь1
= 35; 
а,
=3, I =2; 
а2
= 2, 
Ь2
=3;
[a 2 
- ab + b2
= 7; [(a + b)2 
-3ab
= 7; 
\
S
i
1 X и U)
Vl 3 - х = 2;
1 3 - х = 27;
13 - х = 8;
х, = -14.
х2
= 5.
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ:
{-14;5}.
21. 
Задание:
Решите уравнение V 2x-1 + V 
х-1
= 1.
Решение:
Данное уравнение может быть решено с помощью возведения 
в куб обеих частей уравнения или с помощью введения новых переменных, 
как в предыдущих примерах.
Но в данном случае можно обойтись без указанных сложных преобразо­
ваний.
Заметим, что 
х =
1 является корнем исходного уравнения. Левая часть 
уравнения представляет собой сумму двух возрастающих функций и, 
следовательно, сама является возрастающей функцией, принимающей 
каждое свое значение ровно один раз. Поэтому других корней данное урав­
нение не имеет.
Ответ:
{1}.
147

22. 
Задание:
Решите уравнение 
\jх
+ 41 + v 4 1 -
х -
4 . 
Решение:
Обозначим V * + 41 = 
а, >[л\ —
 х
= 
Ь
; 
а 2 0, 6 2 0 ;
ж + 41=
а*,
4 1 -х = Ь4 => а 4 + 6 4 = 82.
Составим систему:
Ja + b
= 4,
|а4 + 6 4 =82;
а, 
=1, 6, 
= 
3;
о2 = 3, 62 =1;
V * + 41 = 1; 
Vx + 41 = 3; 
х, = -40 . 
х2
= 40.
Ответ:
{-40; 40}.

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: