Лекция №2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Лекция жоспары
жүктеу/скачать 386,11 Kb.
|
2 ЛЕК
| Біртектес теңдеулер.
Анықтама 6. Егер кез келген к үшін теңдігі орындалса, онда функциясын m дәрежелі біртектес функция деп атайды. Мысалға, функциясы үш дәрежелі біртектес функция, өйткені . функциясы «0» дәрежелі біртектес функция, себебі кез келген . “0” дәрежелі біртектес функцияны қатынасының функциясы ретінде өрнектеуге болатынын көрсетейік. Айталық, “0” дәрежелі біртектес функция болсын. деп алайық. Сонда анықтама бойынша (1.13) Айталық, функциясы m дәрежелі біртектес функция болсын. Онда функциясы “0” дәрежелі біртектес функция болатыны көрінеді. Онда жоғарыдағы тұжырымның негізінде , осыдан . Бұл өрнектеу m дәрежелі біртектес функцияның жалпы түрі болып табылады. Анықтама 7. Егер және функциялары бірдей дәрежелі біртектес функциялар болса, онда теңдеуі бірінші ретті біртектес теңдеу деп аталады. Біртектес теңдеулер (немесе ) алмастыруы арқылы айнымалысы ажыратылатын теңдеуге келтіріледі. Шынында да (1.12) теңдіктің көмегімен (1.13) теңдеуді былай түрлендіреміз: болғандықтан, қысқарту арқылы теңдеуін аламыз. десек, осыдан, . Осыларды соңғы теңдеуге апарып қойсақ теңдеуін аламыз, немесе . Сөйтіп, айнымалысы ажыратылатын теңдеуге келтірдік. Енді айнымалысын ажырату арқылы теңдеуіне келеміз. Осыдан . Потенциалдау арқылы мына түрде жазамыз, немесе -бұл соңғы нәтиже. Біртектес теңдеудің интегралдық қисықтары бір-біріне ұқсас болады. Ұқсастық центрі координаттың бас нүктесінде орналасқан. Мысал-4. теңдеуін шеш. Мұнда . Бұл функциялар екінші ретті біртектес функциялар. Ендеше берілген теңдеу біртектес теңдеу болады. деп алып және шамаларын ауыстырамыз (алмастырамыз) интегралдау арқылы . Потенциалдап теңдігін аламыз. -ны -ке ауыстырсақ . Ары қарай түрлендірсек . Бұл теңдеу центрі нүктeсінде, ал радиусы -ке тең болатын шеңберлер үйірі болып табылады. теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеу біртектес теңдеуге келтірілетін теңдеу. Мұнда –тұрақтылар, ал –функциясы өзінің аргументі бойынша үзіліссіз функция. Егер болса берілген теңдеу біртектес болатыны көрініп тұр. Сондықтан мен -дің кемінде біреуі нольден өзгеше болады деп есептейміз. Екі жағдайды айырып қараймыз. 10. , осы жағдайда ауыстырымын енгізу арқылы берілген теңдеуді біртектес теңдеуге келтіруге болады. Мұнда (*) теңдеулер жүйесінің шешімі. Енді x,y және y/-ты жаңа айнымалылармен ауыстыру арқылы берілген теңдеу теңдеуіне түрленеді. Ал соңғы теңдеу біртектес, оның шешімін табуды білеміз. 20. . Бұл жағдайда (*) системасының жалпы алғанда шешімі болмайды. Егер деп алсақ, берілген теңдеу айнымалысы ажыратылатын теңдеуге айналады. жүктеу/скачать 386,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|