Лекция №2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Лекция жоспары
Толық дифференциалды теңделер. Интегралдаушы көбейткіш
жүктеу/скачать 386,11 Kb.
|
2 ЛЕК
Толық дифференциалды теңделер. Интегралдаушы көбейткіш.F(x,y) eкі айнымалы функцияның толық дифференциалы dF(x,y)= dx+ dy түрінде анықталатыны белгілі. Егер M(x,y)dx+N(x,y)dy (1.25) өрнегі берілсе, онда (1.25) өрнек қай жағдайда қандайда бір функцияның толық дифференциалы болады деген табиғи сұрақ өзінен-өзі туады. Басқаша айтсақ, =M(x,y) және =N(x,y) теңдіктері орындалатындай F(x,y) функциясы бар болатынын қалай білуге болады деген сөз. Бұл сұраққа төменде дәлелденетін теорема жауап береді. Біз былайғы жерде M(x,y) және N(x,y) функцияларының белгілі бір D облыста үзіліссіз дербес туындылары бар деп есептейміз. Теорема 2 (1.25) өрнек D облыста анықталған екі айнымалы функциясы F(x,y) -тің толық дифференциалы болу үшін = (1.26) теңдігінің осы D облысында орындалуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі 1) Алдымен (1.26) шарттың қажеттілігін дәлелдейік. Ол үшін (1.25) өрнек қандайда бір F(x,y) функциясының D облысында толық диффернциалы деп жорыйық, демек M(x,y) dx+N(x,y) dy =dF(x,y) Бұл жағдайда =M(x,y) және =N(x,y) болатыны белгілі. M(x,y) және N(x,y) функцияларының дербес туындысын табайық. және (1.27) Шарт бойынша және D облысында үзіліссіз. Ендеше екінші ретті аралас туындылар және D облысында үзіліссіз болады. Анализден белгілі теорема бойынша = , . Осыдан теңдігі шығады. (1.26) шарттың жеткіліктігін дәлелдейік. Айталық, = , . Осы жағдайда (1.25) өрнек қандайда бір функцияның толық дифференциалы болатынын көрсетейік. Ол үшін F(x,y)= + (1.28) деп белгілейік. Мұнда әзірше белгісіз функция. (1.28) формуладан =M(x,y), (1.29) болатынын көреміз. Eнді =N(x,y) (1.30) болатындай етіп, функциясын табамыз. (1.28) теңдікті y айнымалысы бойынша дифференциалдап (1.30) теңдікті мына түрде + = N(x,y) (1.31) жазамыз. М(x,y) және үзіліссіз функциялар болғандықтан (1.31) теңдікті мына түрде + =N(x,y) жазуға болады. Соңғы теңдіктен -ті табамыз. = N(x,y) - (1.32) Егер (1.32) теңдіктің оң жағы x-ке тәуелсіз болса, онда іздеп отырған функциямыз -ті (1.32) теңдіктің екі жағын интегралдау арқылы тауып аламыз. Шынында да, (1.32) теңдіктің оң жағы x-ке тәуелсіз екенін (1.26) теңдіктің негізінде көрсетейік: . Демек, (1.32) теңдіктің оң жағы x- ке тәуелсіз. Енді (1.29) және (1.30) теңдіктердің негізінде dF(x,y) = dx+ dy= M(x,y) dx +N(x,y) dy , екенін көреміз. Анықтама 10. Егер M(x,y) dx +N(x,y) dy =0 (1.33) теңдеуінің сол жағы екі айнымалы функциясының толық дифференциалы болса, онда (1.33) теңдеуді толық дифференциал теңдеу дейміз. Анықтамада айтылған функцияны F(x,y) деп белгілесек, (1.33) теңдеуді былай жазуға болады. dF(x,y)=0. Бұл теңдеудің шешімі F(x,y)=C болатыны белгілі. Осыдан толық дифференциал теңдеуді шешу, ол теңдеудің оң жағының толық дифференциалы болатын функцияны табуға келіп тіреледі екен. Мұндай функция жоғарыдағы дәлелденген теореманың дәлелдеу жолы бойынша табылады.Оны төмендегі мысалмен көрсетеміз. жүктеу/скачать 386,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|