Лекция №2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Лекция жоспары
Сызықты және оған келтірілетін теңдеулер
жүктеу/скачать 386,11 Kb.
|
2 ЛЕК
Сызықты және оған келтірілетін теңдеулер.Анықтама 8. у'+p(x)y=q(x) (1.14) түріндегі теңдеуді бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды. Мұнда р(х),g(х) үздіксіз функциялар. Байқасаңдар, у' туындысы функция у-тің сызықтық функциясы. Сондықтан да сызықтық теңдеу деп аталған. Егер g(x) 0 -са, онда (1.14) теңдеу айнымалысы ажыратылатын теңдеуге айналады. Жалпы жағдайда (1.14) теңдеудің айнымалысы ажыратылмайды. Сондықтан (1.14) теңдеудің өзіне тән шығару әдісін көрсетеміз. Ол үшін белгісіз функцияны у=uv (*) түрінде іздейміз, мұнда u(x) және v(x) дифференциялданатын функциялар.Туындыны табамыз. у'=u'v+uv' Енді осы өрнектерді (1.14) теңдеуге қойып, оны мына түрге келтіруге болады. u'v+u(v'+p(x))=q(x) (1.15) v-функциясын v'+p(x)v өрнегін x-ке қарағанда тепе–теңдікке айландыратындай етіп таңдап аламыз. Ондай функция v'+p(x)v=0 (1.16) теңдеудің шешімі бола алады. (1.16)- теңдеудің бір ғана шешімін табу жеткілікті . Мысалға, ондай шешім: (1.17) болады. Ал у=uv функциясы (1.15) теңдеудің шешімі болу үшін u-функциясы u'v0(x)=q(x) немесе (1.18) теңдеуінің шешімі болуға тиіс. (1.18) теңдеуді шешеміз Енді v және u фунцияларының өрнегін (*) теңдікке апарып қойсақ, (1.19) іздеп отырған шешімді табамыз. (1.19)-формуланы мына түрде де (1.19') жазуға болады. Бірақ бұл жағдайда формулаға кіретін әрбір анықталмаған интегралды бір ғана алғашқы функция ретінде қарастырған жөн болады. (1.19) немесе (1.19') формулаларын осылай қорыту әдісін Бернулли әдісі деп атайды. Сөйтіп сызықтық теңдеуді шешу ( шығару) үшін қорытылған (1.19) немесе (1.19') формулаларын пайдалануға болады. Алайда Бернулли әдісін әрбір теңдеуге тікелей қолдану арқылы да шешеді. Бернулли әдісін көрсету барысында байқағанымыздай сызықтық теңдеудің шешімін табу төмендегі дифференциалды теңдеулер системасына келіп тіреледі. (1.20) Системаны құрайтын теңдеулердің екеуі де айнымалысы ажыратылатын теңдеулер. Біріншісін шешіп v функциясын табамыз. Табылған функцияны екіншісіне қойып u функциясын анықтаймыз. Соңында y=u·v түріндегі берілген сызықтық теңдеуінің шешімі табылады. жүктеу/скачать 386,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|