Лекция №2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Лекция жоспары
жүктеу/скачать 386,11 Kb.
|
2 ЛЕК
| Мысал-9. (6 x2 y2 + 6 xy –1) dx +(4 x3 y +3 x2 +2 y ) dy=0
теңдеуінің жалпы шешімін тап. M(x,y) =6 x2 y2 + 6 xy –1 , N(x,y) =4 x3 y +3 x2 +2 y Берілген теңдеудің толық дифференциaл теңдеу екенін тексереміз, демек = көрсетеміз. =12 x2 y + 6x =12 x2 y + 6 x Осыдан толық дифференциал теңдеу екені шығады. (1.28) формулада интеграл шегі x0 -ді кез келген жолмен таңдап алатын болғандықтан, демек (1.28) формула М(х,у) функциясының кез келген алғашқы функциясы үшін орындалатындықтан анықталған интегралдың орнына сәйкес анықталмаған интегралды жазсақ та болады. Сонымен, F(x,y) = (6 x2 y2 + 6 xy –1)dx + = 2 x 3y2 + 3 x 2y – x + (*) -ті табу үшін ( 1.31) формуланы пайдаланамыз. 4 x3 y +3 x2+ =4 x3 y +3 x2 +2 y Осыдан =2y =y2+C1. Енді (*) теңдіктегі -тің орнына қойып F(x,y)= 2 x 3y2 + 3 x 2y – x+ y2+C1 теңдігін аламыз. Жалпы шешім 2 x 3y2 + 3 x 2y – x+ y2+C1 =C2 немесе 2 x 3y2 + 3 x 2y – x+ y2=C Айталық, P(x,y) dx +Q(x,y) dy =0 (1.34) теңдеу толық дифференциал теңдеу болмасын, алайда осы теңдеуді бір (x,y) функциясына көбейткеннен шыққан теңдеу. M(x,y) dx +N (x,y) dy =0 , M(x,y) =p(x,y) (x,y) N (x,y)= Q(x,y) (x,y) ; толық дифференциал теңдеу болып шықса, (x,y) функциясын (1.34) теңдеудің интегралдаушы көбейткіші деп атайды. Мысалға, M1(x) M2(y) dx +N1(x) N2(y) dy=0 айнымалысы ажыратылатын теңдеудің интегралдық көбеткіші (x,y)= функциясы болады. Демек осы көбейткішке көбейткеннен шыққан теңдеу толық дифференциал теңдеу болады. (өздерің дәлелдеңдер). Сондай-ақ yp(x)y = q(x) сызықтық теңдеудің интегралдық көбейткіші функциясы болатынын көрсету қиын емес. Сөйтіп, біз бұрынырақ қарастырған теңдеулерді толық дифференциал теңдеуге келтіру арқылы шығаруға болады екен. Тағы бір ескертетін жағдай бір ғана дифференциалдық теңдеу үшін бірнеше интегралдық көбейткіш бар болуы мүмкін. Мысалға 2ydx +xdy=0 теңдеуін алайық. Осы теңдеу үшін 1 (x,y)=x, 2 (x,y) = , 3(x,y) функциялары интегралдық көбейткіштер болады. (Осыны дәлелдеңдер). Өкінішке орай, кез келген теңдеу үшін интегралдық көбейткіштерді табудың ортақ әдісі жоқ. Кейбір дербес теңдеулер үшін интегралдық көбейткіш табудың дербес әдістері бар. жүктеу/скачать 386,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|