Лекция №2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Лекция жоспары
жүктеу/скачать 386,11 Kb.
|
2 ЛЕК
- Бұл бет үшін навигация:
- Анықтама 9.
| Мысал-6. y'+3y=e2х мұнда р(x)=3, q(x)=e2х. (1.19') формуласын пайдаланып шешейік.
y=e ( 2x·e dx+C)=e-3x( 2x·e3xdx+c)=e-3x(1/5e5x+C) Сөйтіп, y= e2x+Ce-3x Мысал-7. y'+2xy=xe-x -теңдеуінің жалпы шешімін табу керек . Мұнда p(x)=2x, q(x)=xe-x . Бұл теңдеуді (1.20) ситеманы құру арқылы шығарайық. Бірінші теңдеудің бір ғана шешімі жеткілікті. =-2xdx, lnv=-x2 v=e-x Екінші теңдеуге v функциясының өрнегін қойып, оны шешеміз. u/e-x =xe-x , u/=x u=x2/2+C Сөйтіп, берілген теңдеудің жалпы шешімі y= e-x (x2/2+C ) функциясы. Анықтама 9. y'+p(x)y=y q(x) (1.21) теңдеуді Бернулли теңдеуі дейді. Мұнда кез келген нақты сан . Егер =0 –болса, онда (1.21) теңдеу сызықтық теңдеуге, ал =1 болса, айнымалысы ажыратылатын теңдеуге айналады. Сондықтан 0,1 деп есептейміз. Бернулли теңдеуі сызықтық теңдеуге келтірілетін теңдеуге жатады. Егер (1.21) теңдеудің екі жағын y бөлсек, онда y- y'+p(x)y1- =q(x) (1.22) теңдеуін аламыз. z=y1- десек, z'=y- y'(1- ). Сонда y- y'= . Енді (1.22) теңдеуге қойсақ, (1.23) теңдеуі шығады. (1.23) теңдеудің z айнымалысына қарағанда сызықтық екені көрініп тұр. (1.21) теңдеудің де шешімін y=u·v түрінде іздейміз. Бернулли әдісі бойынша теңдеуді түрлендіріп (1.24) системасын алуға болады. Бірінші теңдеуді шешіп v -ны, екінші теңдеуді шешіп u–ды табамыз. Мысал-8. y'+y/x=-2x2y2 теңдеуінің жалпы шешімін тап. p(x)=1/x, q(x)=-2x2 , =2 (24) системаны құрамыз: y=u·v Бірінші теңдеуді шешсек , , , ; ; жүктеу/скачать 386,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|