1.2 Бездисперсионный нелинейное уравнение Шредингера
В этом подразделе будем рассматривать нелинейное уравнение Шредингера. Рассмотрим – зависимый НУШ
(1.6)
где . Перепишем это уравнение (1.6), используя преобразование Маделунга
(1.7)
где является плотностью, а является скоростью потока. Тогда в пределе можно привести в гидродинамическую форму [1]:
(1.8)
(1.9)
Это бездисперсионный нелинейное уравнение Шредингера (БНУШ) или УБ. Его представление Лакса имеет виде (1.3), но здесь и операторы определяются следующей формулой
(1.10)
Связанная пара Лакса задается формулой ( ):
(1.11)
(1.12)
Обратите внимание, что БНУШ может быть записан в более симметричной форме. Для этого введем инварианты Римана [69]
: . Инварианты Римана подчиняются следующим уравнениям
(1.13)
где . Мы можем линеаризовать эти уравнения с помощью преобразования годографа [67]. У нас есть
(1.14)
где . Эти уравнения можно переписать следующим образом
(1.15)
Это уравнения Царева [68]. Из уравнений Царева (1.15) следует, что
которого дает нам (1.16)
Здесь являются некоторая функция (потенциал). В терминах уравнение Царева принимает вид
(1.17)
или по другому (1.17) перепишем
(1.18)
где Это не что иное, как уравнение Эйлера-Пуассона [68].
1.3 Бездисперсионное уравнение Каупа-Ньюэлла
Уравнение Каупа-Ньюэлла выглядит следующим образом
(1.19)
Его бездисперсионный предел, т.е. бездисперсионное уравнение Каупа-Ньюэлла (1.19) задается формулой
(1.20)
(1.21)
Достарыңызбен бөлісу: | 
