Құрастырған: Математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасының оқытушысы Ахметқалиева А. С. 2014ж

Айталық, А - сіздің мектептегі барлық оқушылар жиыны, ал В - сіздің кластағы оқушылар жиыны болсын. Әрине, В жиыны А жиынынның бір бөлігі, немесе, басқаша айтқанда, В жиыны А жиынына кіреді. Мұндай жағдайда В жиынын А жиынының ішкі жиыны деп атайды. Дәлірек айтсақ: В жиынының әрбір элементі А жиынына тиісті болғанда және тек сонда ғана, В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады, оны ВÌА (немесе АÉВ) түрінде жазып, ²В жиыны А жиынының ішкі жиыны² деп оқиды. Ì белгісі жиындар арасындағы ²ішкі жиыны болады² деген мағынадағы байланыстықты көрсетеді.

Әрбір А жиыны өзінің ішкі жиыны болып табылады деп есептейді: АÌА. Сондай-ақ бос жиын Æ кез келген А жиының ішкі жиыны болады деп есептеледі: ÆÌА.

А жиынының бос емес В ішкі жиыны А жиынымен дәлме-дәл келмейтін болса, онда оны меншікті ішкі жиын деп атайды. А жиынының А және Æішкі жиындарын оның меншікті емес ішкі жиындары деп атайды.

Мысалы, А={2, 4, 8} жиынының алты меншікті ішкі жиыны бар. {2}, {4}, {8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}; екі меншікті емес ішкі жиыны бар: {2, 4, 8} және Æ.

Егер де АÌВ, ал ВÌС болса, онда АÌС екендігіне көз жеткізу қиын емес. Шынында да, А жиынының әрбір элементі В жиынына, ал сонымен қатар В жиынының әрбір элементі С жиынына тиісті.

Ұғымдар немесе нәрселер жиынтықтарының әр түрлі бөліктерін қарастырғанда біз әрдайым ішкі жиын ұғымын пайдаланым отырамыз. Қазақ тілінде сөйлемдегі барлық сөздер жиынының әр түрлі ішкі жиындарын - сын есімдері, зат есімдері, етістіктерді, т. с. с. қарастырамыз. География және тарих сабақтарында барлық елдер, барлық қалалар т. с. с. жиындарының әр түрлі ішкі жиындарын оқимыз. Осы сияқты күнделікті өмірде де ішкі жиын ұғымымен пайдаланамыз. Мысалы, қайсыбір елді мекендегі бір көше бойындағы үйлер сол елді мекендегі барлық үйлер жиынының ішкі жиыны болады; сіздің пәтердің тұрғындары сіздің үйдің барлық түрғындары жиынының ішкі жиыны, бір бөлмедегі орындықтар жиыны - сіздің пәтеріңіздегі барлық орындықтар жиынының ішкі жиыны болып табылады т. с. с.

Ішкі жиын ұғымы математикада кеңінен пайданылады. 1-ден 10-ға дейінгі сандар жиынын натурал сандар жиынының ішкі жиыны, ал натурал сандар жиынының өзін барлық бүтін сандар жиынының ішкі жиыны деп қарауға болады. Ромбылар, квадраттар, тік төртбұрыштар жиындары параллелограмдар жиынының әр түрлі ішкі жиындары болып табылады.

²Берілген сөйлемдегі барлық зат есімдерді сызыңдар²; ²Әр түрлі ағаштардың арасынан мәңгі көгеріп тұратындарын атаңыздар², ²1-ден 10-ға дейінгі сандардың 2-ге бөлінетіндерін көрсетіңіздер²; ²Берілген сандардың арасынан үш таңбалы сандарды көрсетіңіздер²; ²Әр түрлі фигуралардың арасынан үшбұрыштарын табыңыздар²деген сияқты тапсырмаларды орындату арқылы қазақ тілі сабағында да, табиғаттану сабағында да, математика сабағында да төменгі класс оқушыларын жиынның бөліктерін ажырата білуге үйретеміз.

Жиындарды осылай кескіндеу тәсілі Эйлер дөңгелектері немесе Венн диаграммалары деп аталады. Осындай кескіндеулерді біз Эйлер-Венн диаграммалары деп атайтын боламыз.

Универсал I жиынын тік төртбұрыш түрінде, ал оның ішкі жиындарын - осы тік төртбұрыштың ішіндегі дөңгелектер түрінде кескіндеуге келісейік. Онда біздің қарастырып отырған I, А, В, С жиындарын графикалық түрде мынадай (10-сурет) етіп кескіндеуге болады.

 

Жиындарға қолданылатын амалдар.

Жиындардың қиылысуы

 Екі жиынның элементтерінен жаңа жиындар құруға болады.

А={0, 2, 4, 6} және В={-2, -1, 0, 1, 2} екі жиын берілген болсын. Элементтері берілген А және В жиындарының екеуіне де тиісті жаңа С жиынын құрайық: С={0, 2}. Осылай құрылған С жиынын А және В жиындарының қиылысуы деп атайды. Сонымен:

А және В жиындарының қиылысуы деп А және В жиындарының екеуіне де енетін элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды атайды. А және В жиындарының қиылысуын А∩В өрнегімен белгілейді, мұндағы ∩ - жиындардың қиылысуы белгісі.

А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың қиылысуы бос жиын болады А∩В=Æ. Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп айтады.

  

Жиындардың бірігуі

Берілген екі жиыннан жаңа жиын құрудың тағы бір тәсілін қарастырайық.

А және В жиындарының бірігуі деп не А, не В жиындарының ең болмағанда біреуіне енетін элементтерден тұратын жиынды айтады.

А және В жиындарының бірігуін А∪В деп белгілейді, мұндағы ∪жиындардың бірігуінің белгісі. Мысалы, А={1, 3, 5} және В={2, 4, 6, 8} жиындарының бірігуі А∪В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,} жиыны болады.

А∩В¹Æ деп санап, А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндейік (12-сурет). Осы суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А∪В жиынын көрсетеді.Бірігу ұғымы геометрияда үлкен роль атқарады. Екі немесе бірнеше фигуралардың бірігуі деп осы фигуралардың ең болмағанда біреуіне тиісті нүктелер жиынын айтады. F₁ және F₂ фигураларының бірігуін F₁ ∪F₂ түрінде жазады. Мысалы, егер F₁ - ABC үшбұрышы, ал F₂ - ACDE төртбұрышы болса, онда олардың F₁∪F₂ бірігуі ABCDE фигурасы болады. (13-сурет).