Құрастырған: Математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасының оқытушысы Ахметқалиева А. С. 2014ж

Х жиынында А(х) және В(х) предикаттары берілген болсын. хÎХ үшiн А(х)ÞВ(х) предикатын берілген предикаттардыңимпликация деп атайды. БұлА(х)ÞВ(х) предикаты Х жиынының А(х) предикаты шын, ал В(х) предикаты жалған пiкірлер болатын х-тің мәндерінде ғана жалған пікірлерғе айналады. Х жиынындағы х-тiң басқа мәндерiнде А(х)ÞВ(х) предикаты шын болады.

Предикаттар импликацияларының мысалдарын қарастырайық.

Импликация анықтамасы бойынша «Егер х саны З-қе еселi болса, онда ол жұп сан болғаны» деген предикат х=3 және х=9 мәндерiнде жалған пікірге айналатындығын анықтаймыз. х-тiң Х жиынындағы басқа мәндерi үшiн берілген импликация шындық болады. Сонымен, Т₃={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10} жиыны Х жиынында анықталған «Егер х саны 3-ке еселi болса, онда ол жұп сан болғаны» деген импликацияның шындық жиыны болады екен. 5-суретте Т₃ жиыны штрихталып көрсетiлген. Т₃ жиыны Т₂ жиынының элементтерiнен жане Т₁ жиынына қосымша жиын элементтерiнен тұратыны көрiнiп тұр, яғни Т₃=Т₂È

Жалпы, А(х)ÞВ(х) предикатының шындық жиыны В(х) предикатының шындық жиынымен А(х) предикатының шындық жиынының қосымшасының бiрiгуi болып табылады.

Бастауыш мектепте натурал сандар жиындарында анықталған «Егер а>b болса, онда b<а»; «Егер а+b болса, онда а=с-b»;

«Егер а-b=с болса, онда а=с+b» т. с. с. әр түрлi импликациялар қарастырылады.

Қажетті және жеткiлiктi шарт

Х={1, 2, 3, ..., 10} жиынында А(х): «х саны 4-ке бөлiнедi» және В(х): «х саны жұп» деген екі предикатты қарастырайық.

Онда А(х)ÞВ(х) импликациясы «Егер х саны 4-ке бөлiнетiн болса, онда ол жұп» деген мағына бередi. Бұл импликацияныңмазмұнын былайша түсiндiруғе болады: Егер Х жиынынан қандай да бір х санын алып ол жұп сан деп тұжырымдау үшiн бiзғе оның жұп сан екенiн бiлүiмiз қажеттi. Дәлiрек айтсақ:

1. х саны жұп болуы үшiн оның 4-ке бөлiнуi жеткілікті.

2. х саны 4-ке бөлiнетiн болуы үшін оның жұп болғаны қажеттi.

Жалпы, Егер Х жиынында А(х) және В(х) екі предикаты берілген болса және В(х) предикаты А(х) предикатының логикалық нәтижесi екендігі белгiлi болса, онда В(х) предикаты А(х) предикаты үшін қажетті шарт, ал А(х) предикаты В(х) предикаты үшін жеткілікті шарт деп аталады.

Х={1, 2, 3, ..., 10) жиынында анықталған «Егер х саны 4-ке бөлiнетiн болса, онда ол жұп» деген импликацияға қайта оралайық. А(х): «х саны 4-ке бөлiнедi» деген предикатының шындық жиыны болып Т₁={4, 8} жиыны, ал В(х): «х саны жұп» предикатының шындық жиыны болып Т₂={2, 4, 6, 8, 10} жиыны саналады. Және де Т₁ÌТ₂ болғандықтан В(х) предикаты логикалық түрде А(х) предикатынан келiп шығады. Сондықтан « х саны жұп» предикаты «х саны 4-ке бөлiнедi» предикаты үшін қажеттi шарт, ал «х саны 4-ке бөлінеді» предикаты «х саны жұп» предикаты үшін жеткілікті шарт болып саналады.

Сонымен В(х): «х саны жұп» деген қажеттi шарт А(х) предикатының шын болуы үшін сөзсiз орындалуға тиiс талап екенiн қөремiз. Бiрақ В(х) шарты А(х) предикатының шын болуына қепiл бола алмайды, ол А(х) үшін жеткіліксіз, яғни кез келген жұп сан 4-ке бөлiнбейдi.

А(х) «х саны 4-ке бөлінеді» деген жеткілікті шарт В(х) предикатының шын болуы үшін керектi шарттан әлдеқайда артық талап болып саналады. Шындығында, мысалы, 14 саны 4-ке бөлiнбейдi, дегенмен ол жұп сан.

«Қажетті шарт» деген сездiң жиi «тек сонда», «тек сол жағдайда» деген сөздермен алмастырылатынына көңiл бөлу керек. Мысалы, «Егер сан 4-ке бөлінетін болса, онда ол жұп» деген импликациясын «сан, егер ол жұп болса, 4-ке теқ сол кезде бөлінетін болады» немесе «сан, егер, ол жұп болса, 4-ке тек сонда ғана бөлінетін болады», деп оқуға болады.

Кванторлар

Барлық натурал сандар жиынында «х - құрама сан» деген предикат анықталған болсын. Оған натурал сандар жиыннынан х-тiң мәндерiн қойсақ, бiз шын немесе жалған пікірлер аламыз.

Предикатты пікірге айналдырудың бұдан басқа да жолдары бар. Мысалы, жоғарыдағы берілген предикаттан және «барлық» деген сөзден «Барлық сандар құрама» деген пікір құруға болады. Бұл пікір жалған өйткенi құрама болмайтың натурал санды атауға болады. Егер «барлық» сөзiнің орнына «бар болады» сөзiң қоятын болсақ, онда басқа, «құрама сандар бар болады» деген жаңа пікір аламыз. Бұл пікір шындық.

Осындай пікірлердi жазу үшін " және $ түрлерiндегi арнайы белгiлердi пайдаланады. " символы «барлық», «әрбiр». «Кез келген», «әр түрлi» сөздерiнiң орнына пайдаланылады және оны жалпылық қванторы деп атайды. $ символы «бар болады», «қандай болмасын», «ең болмағанда бiр», «табылады» сөздерiнің орнына пайдаланып, оны бар болу (қолданылу) қванторыдеп атайды. Мысалы, С(х): «х²³0, хÎR» предикаты берілген болса, онда А(хÎR) С(х) түрiндегi жазба «кез келген х» нақты саны үшін х²³0 теңсiздігі орын алады» деген пікірдi бiлдiредi. Бұл пікір шындық, өйтқенi қандай да бiр х нақты санын алмайық барлық уақытта х²³0. $ (хÎR С(х) жазбасы» х²³0 болатын нақты сан х бар болады» деген пікірдi бiлдiредi. Бұл піқір де шындық.

Сонымен, егер Р(х) Х жиынында берілген қандай да бiр предикат болатын болса, онда " (хÎХ)Р(х) жазбасы «Х жиынындағы барлық х үшін Р(х) орын алады» деген пікір болып саналады. Бұл пікірдің шындық екендігіне көз жеткiзу үшін Х жиынының кез келген а элементi үшін Р(а) пікірiнің шын екенiн көрсету керек. Егер де Х жиынында ең болмағанда бiр а элементi үшін Р(а) жалған болатын болса, онда " (хÎХ)Р(х) пікірi жалған пікір болады.

Мысалға, барлықжай сандар жиынында Р(х): «х саны тақ» деген предикатты қарастырайық. Онда " (хÎХ)Р(х) жазбасын «Барлық жай сандар тақ» деп оқуға болады. Бұлпікір жалған. Өйткенi 2 саны жай сан, ал бiрақ ол тақемес, яғни Р(2): «2 саны тақ» пікірi жалған.

Ал егер Р(х) Х жиынында анықталған қандай да бір предикат болса, онда $ (хÎХ)Р(х) жазбасы «Х жиынында Р(х) орын алатын х элементi бар болады» деген пiкiрдi бiлдiредi. Осы жазбаны басқаша «Х жиынынан Р(х) орын алатын ең болмағанда бiр х элементi табылады» деп те оқуға болады.

$ (хÎХ)Р(х) пiкiрi шын болады, Егер Х жиынынан ең болмағанда бiр а элементi үшін Р(а) шын болатын болса. Егер де Х жиынында мұндай бiрде-бiр элемент болмайтын болса, онда ол жалған пікір болады.

Мысалға, Х барлық жай сандар жиынындағы Q(x): «х саны жұп» деген предикатты қарастырайық. Онда $ (хÎХ)Q(х) жазбасы «жұп болатын жай сан бар болады» деген пікірдi бiлдiредi. Бұл пікір шын, өйткенi жай сандар жиынынан әрi жұп әрi жай сан 2 үшін Q(x): «2 саны жұп» пікір шын.

Жалпылық және бар болу кванторлары екi, үш т. б. орынды предикаттарға да қолданылады.

Теорема құрылысы

Пiкiрлер, предикаттар ұғымдары және оларға қолданылатын амалдар көптеген тұжырымдардың логикалық структурасын айқындауға мүмкiндiк бередi. Бұған оларды логикадағы қолданылатын символдар арқылы жазуды пайдалану да мүмкiндiк тұғызады.

Математиканы оқығанда теорема деп аталатын сөйлемдердi карастыру жиi кездеседі. Теоремаларды дәлелдеу алгебрда да, геометрияда да және математиканың басқа бөлiмдерiнде де кездеседi. Олар әр түрлi сипатта болып келедi. Бiрақ теореманың мазмұны қандай болғанда да ол оның шындығын дәлелдеу арқылы анықтайтын пiкiр болып саналады.

Бiзге белгiлi математикалық логика ұғымдарын пайдалана отырып, теореманың құрылысына байланысты мәселелердi анықтайык. Мынадай теореманы қарастырайық: «Егер натурал санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетiн болса, онда оның өзi де 3-ке бөлiнетiн болады» Бұл сөйлемнiң - N натурал сандар жиынында берiлген екi предикаттың импликациясының формасында (турiнде) екені көрініп тұр. Егер х - кез келген натурал сан болатын болса, онда предикат А(х): «х санының цифрларының қосындысы 3-ке бөлiнедi», ал предикат В(х): «х саны 3-ке бөлiнедi» деп оқылатын болады. Сондықтан да теореманы А(х)ÞВ(х) түрiнде жазуға болады. Бiрақ бұл А(х)ÞВ(х)импликациясы натурал сандар жиынынан алынған барлықх үшiн шын болады. Оның барлык х үшiн екенiн көрсету үшiн А(х)ÞВ(х) импликациясының алдына жалпылықквантор белгiсiн қоямыз, сонда берiлген теореманы мына

" (хÎN)(А(х))ÞВ(х))

түрде жазуға болады және оны былай: «кез келген натурал сан х үшiн егер А болатын болса, онда ол үшiн В да болады» деп оқиды.

Тағы мынадай «Егер төртбұрышта қарама-қарсы қабырғалары екi-екiден конгруэнттi болса, онда ол төртбүрыш - параллелограмм» деген теореманы алайық. Бұл теорема барлық төртбұрыштар жиынында берілген предикаттардың импликациясы болып саналады. Осы жиынды Х, ал оның кез келген элементiн х арқылы белгілейiк. Сонда берілген импликацияның шартты болып А(х): «х төртбурышында қарама-қарсы қабырғалары екi-екiден конгруэнттi» предикаты, ал қорытындысы болып В(х) «төртбурыш х- параллелограмм» предикаты саналады. Бұл импликация Х жиынының барлық х-тары үшін шын болатын болғандықтан, берілген теореманы мына

түрде жазуға болады.

Сонымен бiздің қарастырған теоремаларымыз А(х) және В(х) предикаттарының А(х)ÞВ(х) түрiндегі импликациясы екендігін анықтадық. А(х)ÞВ(х) импликациясы оның анықталу Х облысындағы кез келген х үшін шын болады. Сондықтан да қарастырылған теоремалардың жазбасын үш бөлiкке бөлүге болады:

1. Мәлiмдеу (түсiндiру) бөлігі. Оған " (хÎХ) жазбасы жатады. Мұнда енгiзiлген символмен ненi мәлiмдеудi түсiндiредi.

2. Теореманыңшарты. Ол А(х) предикаты арқылы берiледi және импликацияның шарты болып табылады.

З. Теореманың қорытынды бөлігі. Ол В(х) предикаты арқылыберiледi және импликацияның қорытындысы болып табылады.

Осыған ұқсас басқа да теоремаларды, олардың сейлеммен берілген тұжырымдамасында «егер ..., онда...» сөздерді болмаған жағдайда жазуға болады. Мысалға, «Тiк төртбұрыштың диагональдары конгруэнттi» деген теореманы алып қарайық. Бұл теоремаға «егер әр түрлi тiк төртбұрыштардың арасынан кез келген бiреуiн алсақ, онда оның диагональдары қонгруэнттi болады» деген мағына беруге болады Дәлiрек айтсақ: «Егер төртбұрыш - тiк төртбұрыш болса, онда оның диагональдары конгруэнтті» болып шығады. Осыдан, егер х барлық төртбұрыштар жиыны Х - тегi кез келген төртбұрыш болатын болса, онда берiлген теореманың шарты болып А(х): «төртбұрыш х-тiк төртбұрыш» предикаты ал оның қорытындысы болып В(х): «х төртбұрышының диагональдары конгруэнтті» предикаты саналады.

Х жиынындағы барлық х үшін берiлген теорема шын пiкiр болып саналатындықтан "(хÎХ) (А(х)Þ В(х).

Шарты мен қорытындысы екi орынды, үш орынды т. с. с. болып келетiн көптеген теоремаларды осы түрде жазуға болады. Мысал үшін мына теореманы: «Егер бiр үшбұрыштың екi бұрышы екiншi үшбұрыштың екi бұрышына конгруэнтті
болса, онда ондай үшбұрыштар ұқсас болады» алып қарайық. Х-жазықтықтағы үшбұрыштар жиыны, ал х, у - осы жиынның кез келген үшбұрыштары болсын. Онда Х жиынынды берiлген А(х,у): «х үшбұрышының екi бұрышы у үшбұрышының екi бұрышына конгруэнттi» предикаты және В(х,у): «х және у үшбұрыштары ұқсас» предикаты берiлген теореманың шарты және қорытындысы болып табылады. Бұл теореманын шын екендiгi Х жиынының кез келген х және у элементтерi үшін дәлелденгендiктен, оны былайша жазуға болады:

" (хÎХ) " (уÎХ) (А(х,у)ÞВ(х,у))

" (хÎХ) " (уÎХ) жазбасы теореманың мәлiмдеу бөлігі, А(х,у) предикаты оның шарты, ал В(х,у) предикаты оның қорытынды бөлігі болып саналады.

Теорема сөзбен айтылғанда оның мәлiмдеу бөлігі жиi айтылмайтындығын, бiрақ әр кезде оның бар екендiгi ойда болатындығын есте ұстау керек.

"(хÎХ) (А(х) Þ В(х)) түрiнде жазылған кез келген пікір шын болмайтындығына көнiл аудару керек. Мысалға, барлық төртбұрыштар жиынында А(х): «төртбұрыш х- параллелограмм» және В(х): «х төртбұрышының диагональдары қонгруэнттi деген предикаттарды қарастырайық. "(хÎХ) (А(х) Þ В(х)) түрiнде жазылған пікір бұл жерде «Кез келген төртбұрыш үшін: егер ол параллелограмм болса, онда оның диагональдары қонгруэнттi» деп оқылады. Бұл пікірдiн жалған екендiгiн көрсету қиын емес.

"(хÎХ) (А(х) Þ В(х)) түрiнде жазылған теорема шын болсын делiк. Онда оның шарты және қорытындысы Х жиынының барлық х-тары үшін шындық болатын имплиация құрады және де В(х) предикаты А(х) предикатынан логикалық түрде келiп шығатын болады. Сондықтан теореманын қорытындысы В(х) А(х) шарты үшін қажетті шарты, ал А(х) шарты қорытынды В(х) үшін -жеткiлiктi шарты болып табылады. Сонымен, «Егер төртбұрыш тiк төртбұрыш болатын болса, онда оның диагональдары конгруэнтті» деген теореманы мына төмендегi түрде оқуға болады:

1. Төртбұрыштың диагональдары конгруэнттi болуы үшін оның тiк төртбұрыш болуы жеткіліктi.

2. Төртбұрыш тiк төртбұрыш болуы үшін оның диагональдары конгруэнттi болуы қажетті

Кейде «қажетті шарт», «жеткiлiктi шарт» деген сөздердің орнына («қажеттілік белгі», «жеткiлiктi белгi» деген терминдердi пайдаланады. Кейде олардың орнына жай белгi деп те айта бередi. Сол себептi де «егер натурал санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетін болса, онда ол санның өзi де 3-ке бөлінетін болады» деген теореманы 3-ке белiнгiштің белгiсi деп санайды.

Түрлерi қарастырылған түрлерден айырықша болатын теоремаларда бар. Мысалға, егер «Кез келген үшбұрышты сырттай шеңбер сызуға болады, әрi ол шеңбер тек бiреу ғана болады» деген теореманы басқаша «АВС үшбұрышының барлық төбелерiнен бiрдей қашықтықты жататын М нүктесi болады» деп тұжырымда сақ, онда осы соңғы тұжырымға " (ΔАВС) $(М) (|АМ| = |CМ|) түрiндегi жазба сәйкес келедi.

Кері теорема

Сандардын 9-ға бөлiнгiштігінің «Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінетін болса, онда ол санның өзi де 9-ға бөлінетін болады» деген белгісiн қарастырайық. Бұлтеореманы мына " (хÎN)(А(х)ÞВ(х) түрде жазуға болады. Мұндағы " (хÎN) жазбасы теореманың мәлiмдеу бөлігі, А(х): «Натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінеді» деген предикат теореманың шарты, ал В(х): «Натурал сан 9-ға бөлiнедi» деген предикат теореманың қорытындысы болып саналады.

Осы теореманың мәлiмдеу бөлігін орнында қалдырып, оның шарты мен қортындысының орындарын ауыстырайық. Онда мынадай " (хÎN)(В(х)ÞА(х) түрдегі жаңа теореманы аламыз. Бұл теорема былайша: «Егер натурал сан 9-ға бөлiнетiн болса, онда оныңцифларының қосындысы 9-ға бөлінетін болады»деп оқылып, ол алғашқы теоремаға керi теорема деп аталады.

Жалпы, Егер А(х) және В(х) Х жиынында берілген предикаттар болатын болса, онда

" (хÎХ)(А(х)ÞВ(х) және " (хÎХ)(В(х)ÞА(х)

теоремалары өзара керi теоремалар деп аталады. Олардың мәлiмдеу бөлігі бiрдей болады.

Қарама-қарсы теорема

Егер " (хÎХ)(А(х)ÞВ(х) (1) түрiндегі теореманың шарты мен қорытындысын олардың терiс ұғымдарымен ауыстырсақ " (хÎХ)  (2) түрiндегі жаңа теорема аламыз. (2) түрдегі теореманы (1) түрдегі теоремаға қарама-қарсы теорема деп атайды. Мысалы, Егер Х - барлық төртбұрыштар жиынында А(х): «х төртбұрышы - тiк төртбұрыш» және В(х): «х төртбұрышының диагональдары конгруэнтті» деген предикаттарды қарастырсақ, онда (1) түрдегі теорема «Егер төртбұрыш тiк төртбұрыш болатын болса, онда оның диагональдары конгруэнттi» деп оқылатын болады. Ал оған қарама-қарсы теорема «Егер төртбұрыштiқ төртбұрыш болмаса, онда оның диагональдары конгруэнттi болмайды» деп оқылатын болады.

Бiз математикада " (хÎХ)  (3) түрiндегі теоремаларды да кездестiремiз. (3) түрiндегі теореманы керi теоремаға қарама-қарсы теорема деп атайды.

Қарсы жақтан дәлелдеу методымен «Егер екі түзу үшіншi түзуғе параллель болса, онда олар өзара параллель болады»деген теореманы дәлелдейiқ.

Бұл теореманы  түрiнде жазуға болады. Мұндағы Х - жазықтықтағы түзулер жиыны.

А(х, у)-«х және у түзулерi с түзуiне деген предикат.

В(х, у)- « х түзуi у түзуiне параллель» деген предикат.

Д ә л е л д е у. Теореманың қорытындысы В(х, у) жалған деп санайық, яғни х түзуi у түзуiне параллель емес деп санайық. Бұл болжалдан х және у түзулерiнiңқиылысатыны, мысалы, бiр Р нуктесiнде, келiп шығады. Онда, бiрақ, Р нуктесi арқылы с түзуiне параллель екі түзу өтетiн болады. Бұл параллельдiк аксиомасы бойынша мүмкiн емес. Олай болса, х түзуiнiң у түзуiне параллель еместігінен олардың с тузуiне параллель еместігі келiп шығады.

Басқа сөзбен айтқанда  теоремасы шындық. Ендеше, берілген «Егер екі түзу үшiншi түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель болады» деген теоремада шындық
әдебиеттер: [1], [2], [3]

...