Құрастырған: Математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасының оқытушысы Ахметқалиева А. С. 2014ж

Жиын элементтерінің арасындағы қатыстар

 Біз екі жиын элементтерінің арасындағы әр түрлі сәйкестік болатынын анықтадық. Бірақ әр түрлі байланыстар мен қатыстар бір ғана жиын элементтерінің арасында да болады.

Мысалы, әлемдегі барлық елдер жиынын қарастырсақ, онда елдер арасында мынадай қатыстар белгілеуімізге болады. ²х елінің халқы у елінің халқынан көп, х және у елдері шекаралас² т.с.с. Ал адамдар арасындағы қатыстар түрлері қаншама десеңізші: ²х деген кісі у деген кісінің әкесі², ²х деген кісі у деген кісіні оқытады², ²х және у деген кісілер - достар², ²х деген кісі у-тің бауыры² деген сияқты адамдар арасындағы мүмкін болатын қатыс түрлерін сіздер оп-оңай жалғастыра аласыздар.

Математикада да бір ғана жиынның элемнттері арасындағы қатыстар біздің назарымызды аударады. Натурал сандар жиынында біз мынадай қатыстарды қарастырамыз. ²х саны у санына тең², ²х саны у санынан артық², ²х саны у санына бөлінеді² т.с.с. Геометрияда ²х фигурасы у фигурасына конгруфнтті², ²х фигурасы у фигураның бөлігі², ²х фигурасы у фигурасына ұқсас² т.с.с. қатыстарды оқимыз. Жалпы, Х жиындағы қатыс деп осы жиын элементтерінің арасындағы сәйкестікті айтады. (Қатыс терминін математикада екі санның бөліндісі үшін қолданылатын ²қатынас²терминімен шатастырмау керек).

R қатысын анықтап беру үшін екі жиынды. Х жиынын және хÎХ, уÎУ болатын <х; у>жұптарының G жиынын (GÌХ´Х) қарастыру керек. G жиынын Х жиынындағы R қатысының графигі деп атайды.

Қатыс сәйкестіктің дербес түрі болғандықтан, бұрынғы сәйкестік және оның графигі туралы айтылғандардың барлығын қатыс туралы да айтуға болады.осы айтылғандарды нақты мысалдармен сипаттайық.

1-мысал. Х= {1, 2, 3, 4} жиынының элементтері арасында ²х саны у санынан кіші², әрі х,уÎХ, деген R қатысы орындалатын болсын. Х жиынының R қатысында болатын элементтерінің барлық жұптарын атап шықсақ, онда осы қатыстың графигін шығарып аламыз:

G= { <1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

Көрсетілген R қатысын граф арқылы кескіндеуге болады. Ол үшін Х жиынының элементтерін нүктелер арқылы белгілеп және х санынан у сандарына қарай стрелка жүргіземіз, мұнда у саны х санынан үлкен (28-сурет). Сонда берілген қатыстың графындағы әрбір стрелка ²кіші² деген сөзді алмастырады: 1 саны 2-ден кіші, 2 саны 3-тен кіші т.с.с.

2-мысал. Х= {1, 2, 3, 4} жиыны элементтерінің арасында ²х саны у санына еселі², х, уÎХ деген Sқатысы да орындалсын. S қатысының графын құрайық. Барлық сан 1-ге еселі болғандықтан, Х жиынының әрбір санынан1-ге қарай стрелка жүргіземіз: кез келген сан өзіне бөлінеді, ендеше, әр бір санның жанынан ілмек түрде стрелка саламыз; 4 саны 2 санына еселі болғандықтан, 4-тен 2-ге стрелка жүргіземіз (29-сурет).

 

	28-сурет		29-сурет		30-сурет

  Х жиындағы қатыс графигін тік бұрышты координаталар системасында кескіндеуге болады. Мысалы, Х= {1, 2, 3, 4} жиындағы S қатысының графигі G= { <1, 1>, <2, 1>, <3, 1>, <4, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <4, 2>, <4, 4>} жиыны болады да тік бұрышты координаталар системасында 30-суретте көрсетілгендей жекелеген нүктелер болып табылады.

Х= {1, 2, 3, 4} жиынының элементтері арасында басқа да қатыстар болады. Мысалы, ²х саны у санынан 2-ге артық², ²х саны у санынан үлкен² т.с.с. қатыстар. Аталған қатыстарды басқаша да тұжырымдауға болады. Мысалы, ²х саны у санынан үлкен² деген қатысты мынадай сөздермен де айтуға болады: Х жиынында ²артық болу²қатысы берілген, ²х саны у санынан 2-ге артық² деген қатысты, ²2-ге артық болады² деп айтуға да болады.

Кейбір қатыстарды жазу үшін арнайы белгілер бар. Мысалы, натурал сандар жиынындағы теңдік қатыстарын ²х=у² деп жазуға болады. Осы жиында ²х саны у санынан үлкен² деген қатысты ²х>у² түрінде жазады. Түзулер жиынындағы параллельдік, перпендикулярлық қатыстарын жазу үшін // және ^ белгілерін пайдаланады.

...

&&&
$$$002-007-000$3.2.5. Дәріс №5.

5.1. Математикалық ұғымдар

5.2. Ұғымның мағынасы мен көлемі

5.3. Анықталатын және анықталмайтын ұғымдар

5.4. Ұғымдарды анықтайтын тәсілдері.

"Ұғым дегеніміз не?" Ұғым - материяныц жошрьі жсмісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі екендігі белгілі.

Ұғымды сипаттаған кезде оның жоғары үйымдасқан Цматерияның нәтижесі екендігін және материядан тұратын әлемді бейнелейтінін, сондай-ақ адамға тән арнайы іс-әрекетті білдіруі себепті ұғымның адам санасында калыптасуы, оның тікелей сөз, жазу және сан арқылы өрнектелуінен бөлінбейтіндігін басшылыққа алады.

"Математикалық ұғым дегепіміз нс?", Газа математиканың объектісі шын дүниенің кеңістік формалары мен сандық қатнастары, демек, мүның өзі де - өте реалдық материал екендігі де 1 белгілі. Математикалық объектілер өзінің накты күйінде кезле Бірақ олар адамның таза ойының жемісі емес, нақты дүниенің заңдары мен прцестерінің көрінісі. Кез-келген математикалық объект- ол қоршаған әлемдегі заттар мен құбылыстардың басқадай көптеген қасиеттерін ескерусіз қалдырып, олардың тек қана сандықжәне кеңістіктік қасиеттері мен қатнастарын ерекшелендірудің нәтижесі болып табылады. Бұл объектілердің қасиеттерінің адам миына бейнелеу процесінде математикалық I ұғым деп аталатын ойлаудың ерекше тұрі туады.

Жалпылаудың басқа тәсілі нақты деп аталатын ұғымдарды жасауға мүмкіндік береді. Мүның негізгі ерекшелігі бұл жағдайда жалпылау кезінде ортақ қасиеттерін ерекшелендіру ғана емес, сонымен бірге үтымның дербес және жеке белгілері де сақталады. Қандай да болсын ұғымды қалыптастыру процесі біртіндеп Вүзеге асырылдаы, мұнда сезісдік қабылдау (түйсік) - түсінік Іұғым тізбегіне сәйкес кезеңдер бойынша жұмыс үйымдастырылады. Мысалы "3 саны" ұғымын қалыптастыру. Ёабылдау мен түсініктен өзгеше ұғым біздің санамызі-а Іқарастырылып отырған анқты жағдайдағы мәнді белгілер мен қасиеттерді (осы ұғымның белгілері болатын) ғана сіңіреді және тұрақтандырады. Сондықтан да ұғым - оқылатын объектілердің Імәнді (ерекше) қасиеттері бейнеленетін ойлаудың формасы.

Анықталатын және анықталмайтын ұғымдар. Әрбір ұғым шмүны және көлемі бойынша қарастырылуы мүмкін. Ұғым шмүны - берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің жиыны. Ұғым көлемі - ол берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.

Ұғымдардың қалыптастыру процесінде олардың сөздік және Символикалық өрнектелуінің маңызы аса зор. Сөз - ұғымды таратушының міндетін атқарады. Ғылым мен техниканың қандай да )ір саласындағы нақты анықталған ұғымды білдіретін сөзді ылыми термин деп атайды.

Сонымен кез-келген ұғым терминмен, оның көлемімен және шмүнымен сипатталады.

Ұғымның мазмұныны ашу процесі оның белгілерін айқындаудан тұрады. Ұғымның барлык кал<етті және жеткілікті глгілерін байланысты сөйлем тұріне (сөздік немесе іймволикалык) келтіру дегеиіміз \іымды щатематикалық |рбъектіні) анықтап беру болып табылады.

Демек математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы |осы ұғымның мазмұнын (мән-мағынасын ашатын) сөйлем.

Кейбір алғашқы (бастапқы, іргелі, алғашқы) математикалық ^ұғымдар анықталмайды олар аксиомалардың көмегімен жанама Ітұрде анықталады немесе постулаттар аркылы ұғымға қойылатын Іұғымдардың арасындағы қатанастарға да) талаптар көрсетіліп Гберіледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатнастар: тиісті, |расында жатады, өлшемнің (өлшеуіштің) бар болуы және т.с.с.

Негізгі (бастапкы, іргелі, алғашқы) ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда ашылады. Мысалы: "екі нүкте аркылы өтетін бір ғана _; түзу жүргізуге болады".

Аксиома {ахіома - грек сөзі, беделді сөйлем, "қабылдауға болатын" аудармасында "жеткілікті дәрел<:еде мойындалуы тиіс" Гдегенді білдіреді) дегеніміз - қандай да бір (дербес жағдайда ,;математикалық) теорияны дедуктивтік жолмен күру кезінде дәлелдеусіз қабылданатын, яғни осы теорияньщ (теореманың) засқа қағидаларын дәлелдеу үшін тірек немесе сілтеме ретінде қабылданатын түжырым болып табылады. Ал - постулат шШіайип - талапты білдіреді деген латын сөзі) дегеніміз кейбір ғымдар немесе олардың арасындағы қатнастар рнағаттандырылуы тиіс қандай да бір талаптарды, шарттарды мдіретін сөйлем. Көп жағдайда постулаттар қандай да ұғымның анықтамасын немесе кейбір ұғымдар жүйесінің бөлігі болып келеді. Мысалы: эквиваленттік қатнастың анықтамасында үш постулат шарт бар.

Ұғымдарды анықтаудың әр тұрлі тәсілдері бар. Оларды өте-мөте айқын және айқын емес сияқты негізгі екі топқа бөледі. Мәселен айқын анықтама екі ұғымды беттестіретіндей, теңестіретіндей теңдік тұрінде беріледі. Мысалы: тік бұрышты I үшбұрыш дегеніміз - ол тік бұрышы бар үшбұрыш". Тік бұрышты үшбұрыштың осы анықтамасы шартты тұрде "а дегеніміз в" дегенді білдіреді.

Айқын емес анықтама екі ұғымды теңестіргендей тұрде берілмейді. Мұндай анықтамалардың мысалы ретінде контексуалдық және остенсивтік деп аталатын анықтамаларды атауға болады. Контекстуалдық анықтамаларда жаңа ұғымның мазмұны текстінің үзіндісі аркылы, яғни текстегі хабарламаның желісіне орай енгізілетін ұғымның мән-мағынасын нақты жағдайда сипаттау барысында ашылады.Бұған бастауыш мектептсгі тенлсулі және оның шешуін анықтап беру жолдары мысал бола алады. Объектіні көрнекі көрсету арқылы термин енгізілгенде остенсивтік анықтамалар пайдаланылады. Бұл тәсілмен бастауыш мектепте "сандық теңдік" және "сандық теңсіздік" ұғымдарын анықтайды.

Ұғымның мынандай жолдармен де анықталуы мүмкін:

1. Генетикалық немесе конструктивтік (ұғымның шығу тегін көрсететін) тәсілмен, мысалы: үшбұрыш, шеңбер ұғымдарын

анықтау.

1. 
   Индуктивтік жолмен, мысалы: арифметикалық прогрессия
   уғымын анықтау.
   
2. 
   Абстракцияның (дерексіздендірудің) көмегімен, мысалы:
   натурал сан ұғымын эквивалентті болатын шектеулі жиындар
   

4. Аксиоматикалық (ұғым бастапқы деп есептелініп, олардың

5. Ең жақын тегін және тұрлік айырмашылығын айқын бөліп ішрсету" бұл тәсілдің мәнісі анықталатын ұғымды негізгі және бурыннан белгіліұғымдарға келтіру болып табылады" пркьпы, мысалы: квадрат ұғымын анықтау.

&&&
$$$002-007-000$3.2.6. Дәріс №6.

6.2. Пікірлер және оларға амалдар қолдану

6.3. Предикаттар және оларға амалдар қолдану

6.4. Кванторлар. Кванторы бар пікірді теріске шығару тәсілдері

6.5. Математикалық логиканың заңдары

6.6. Сөйлемдер арасындағы келіп шығу және мәндес болу қатынастары

6.7. Қажетті және жеткілікті шарттар

6.8. Теорема және оның түрлері

6.9. Теореманы дәлелдеу тәсілдері

6.10 Дұрыс және дұрыс емес талқылаулар

Пікірлер

Із шығарма жазғанда. Хат жазғанда, жиналыста шығып сөйлегенде өз ойымызды сөйлем арқылы өрнектейміз. Кітап, мақала оқып отырып, басқа кісілердің қалай ойлайтынын анықтаймыз. Бұл жерде де пікірдің қандай да бір сөйлемдер тізбегі екенін кездестіреміз. Бірқатар жай хабарлы сөйлемдерді қарастырайық.

1. Астана - Россияның астанасы

2. Волга Каспий теңізіне құяды.

3. Барлық адамдардың көздері көк.

4. Бос жиынның элементтері бар.

5. Ит - адамға дос.

Бұл сөйлемдердің барлығы мазмұны жағынан әр түрлі. Бірақ, олардың бәріне ортақ бірдеңенің барын байқауға болады. Осы ортақ нәрсе - кейбір сөйлемдерде қандай да бір ақиқат (дұрыс, дәл), ал басқаларында қандай да бір жалған (дұрыс емес, қате) пікірлердің айтылуы. Мысалы, 2 және 5 сөйлемдерді ақиқат, ал 1, 3 және 4 сөйлемдерді жалған санаймыз.

Хабарлы сөйлемнің ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болатын болса, онда ол пікір болып саналады.

Математикада біз пікірлермен үнемі кездесіп отырамыз, әрі ондай пікірлерді жазу үшін мынадай >, <, =, ¹ т. б. арнайы белгілерді жиі пайдаланамыз. Мысалы, мынадай пікірді «11>9» кездестіруге болады. Бұл пікір «11 саны 9 санынан үлкен» сөйлемнің қысқа жазбасы болып табылады.

Бастауыш кластардың математика сабақтарында мынадай:

1. 12-5>3

2. 2+6<7

3. 25*41¹25*40

4. 37*19=794

5. 600:30=20

пікірлерді кездестіруге болады.

Осы келтірілген пікірлердің ішінде біріншісі, үшіншісі және бесіншісі ақиқат, ал екіншісі мен төртіншісі жалған екендігін тексеру оңай.

Кез келген хабарлы сөйлем пікір болмайтының ескеруміз керек. Мысалы, х>2, х+у=7, х+у-5z=0 сөйлемдері пікір бола алмайды, өйткені біз олардың әр қайсысының ақиқат немесе жалған екедігі туралы, сөйлемдерге кіретін айнымалыларды мәндері белгісіз болып турғанда, ештеңе айта алмаймыз.

Барлық кезде қайсыбір сөйлем туралы біз ол ақиқат, немесе жалған деп бірден айта алмаймыз. Мысалы, «Соғыс және бейбітшілік» романында 1256375 сөз бар «деген сөйлем әріне пікір ал оның ақиқат жалған екендігіне көз жеткізу үшін аз жұмыс істеуге тура келмейді».

Пікірлерді латын алфавитінің үлкен әріптерімен белгілейміз. Мысалы, «5¹1» деген пікірді «А» әрпімен белгілеуге және А пікірі: «5¹1» берілген деп айтуға болады.

Шын пікірдің мәнің «Ш» (шындық) әрпімен, ал жалған пікірдің мәнің «Ж» (жалған) әрпімен белгілеуге келісейік.

Бастауыш класс оқушылары математиканың бірінші сабағынан бастап-ақ, негізінен, шын пікірлермен кездеседі. Олар мына сияқты 2>1, 1<2, 3>2, 2+1=3, 3-1=2 т. с. с. пікірлермен танысады. Кейінрек екі таңбалы, үш таңбалы сандар туралы пікірлер, едәуір күрделі сандық өрнектердің теңдегі (теңсіздігі) туралы пікірлер кездесетің болады. Бастауыш кластар оқулықтарынан негізінен пікір туралы, оның шындығын анықтау туралы сөз болатын бірнеше мысалдарын келтірейік. Мысалы, III класта « мына амалдардың 517+408=925, 804-235=579 дұрыс орындалған не орындалмағаның тексерініздер » деген жаттығу қарастырылады.

Басқаша айтқанда, бұл жаттығуда берілген теңдіктердің шын немесе жалған екендіктерін анықтауды талап етеді. Есептеулер бірінші теңдіктің шын, ал екінші теңдіктің жалған екендіктерін көрсетеді.

Басқа жаттыгуда мына жазбалардың:

9145-7583=1544+1234,

2944+289 >2056+481,

5009-324 <4395,

дұрыс не дұрыс емес екендіктерін анықтау талап етіледі.

Бұл жерде біз, атап айтқанда, пікір ұғымын пайдаланып отырмыз, өйткені берілген сөйлемдердің шындығын немесе жалған екендігін анықтау талап етіліп отыр. Бірінші және үшінші сөйлемдердің жалған, ал екіншісінің - шындық екендіктерін анықтау оңай.

Құрама пікірлер

Пікірлер элементтар (қарапайым) және құрама (күрделі) болып келеді.

Құрама пікірлер әр түрлі жалғаулықтар және сөз тіркестері арқылы элементар пікірлерден құралады. Мысалы, қарастырылған D пікірі «және»жалғаулығы арқылы элементар пікірлерден құралған.

А және  арасындағы байланыстылықты таблица арқылы кескіндеуге болады.

А
Ш	Ж
Ж	Ш

Пікірлер конъюнкциясы

1. «AD қабырғасы BC қабырғасына параллель және оған тең»

2. «ABCD параллелограммының диагональдары бір нүктеде қиылысады және қақ бөлінеді»

осы қарастырылып отырған құрама пікірлердің екі элементар пікірлерді «және» жалғаулығы арқылы қосудан шыққандығын көреміз.

«А және В» деген пікірді А, В пікірлерінің конъюнкциясы (латынша conjunction - байланыстыррамын деген сөз) деп атайды.

Пікірлер конъюнкциясы , оны құрайтын А және В пікірлерінің екеуі де шы болғанда ғана шындық болады. Ал егер А немесе В екеуінің бірі жалған болса, онда коньюнкция да жалған болады. А және В пікірлерінен құралған коньюнкцияны А Ù В (« А және В» деп оқылады) түрінде белгілейді.

Бұл анықтамадан А Ù В конъюнкциясы үшін шындық таблицасы мынадай болады:

Екі пікірдің коньюнкциясымен біз қос теңсіздіктерді қарастырғанда кездесеміз. Шындығында, 2<5<10 теңсіздігі «2<5» және «5<10» деген екі пікірдің коньюнкциясы болады.

Пікірлер дизъюнкциясы

Мынадай:

Бұл келтірілген пікірлер құрамалы, олардың бәрінің формасы «А немесе В» түрінде болады. «А немесе В» формасындағы пікірді А, В пікірлерінің дизюнкциясы (латынша disiunctio - ажыратамын деген сөз) деп атайды. А және В пікірлерінің екеуі де жалған болған жағдайда ғана дизъюнкция жалған болады; қалған жағдайлардың бәрінде дизъюнкция шын болады.

А, В пікірлерінің дизъюнкциясын А Ú В деп белгілейді. Бұл жазба «А немесе В» деп оқылады.

Дизъюнкция анықтамасынан А Ú В үшін шындық таблица.

Пікірлер импликациясы

Құрама пікірлерді элементар пікірлердің «егер..., онда» сөздері арқылы алуға болатыны белгілі. Мысалы, «Егер мен билет сатып алсам, онда театрға барамын», «Егер оқушы емтиханнан оң баға алса, онда ол бұл емтиханды тапсырған болғаны», «Егер 44 саны 8-ге еселі болса, онда ол 4-ке еселі».

Егер берілген құрама пікірлерді құрайтын элементар пікірлерді А және В арқылы белгілесек, онда олардың (құрама пікірлердің) барлығы да «егер А, онда В» түріндегі бірдей формада болатыны болатыны анық көрініп тұр.

«Егер А, онда В» түріндегі пікір А, В пікірлерінің импликациясы (латынша implicatio - тығыз байланыстырамын деген сөз) деп аталады.

А және В пікірлерінің импликациясын АÞВ түрінде жазып оны «егер А, онда В» деп оқиды. А пікірі импликация шарты деп, ал В пікірі - оның қорытындысы деп аталады.

АÞВ импликациясы А шын, ал В жалған болатын жағдайдан басқа жағдайдың барлығында шын деп саналады. Ендеше АÞВ пікірінің шындық таблицасы мынадай болады:

 

А	Ш	Ш	Ж	Ж
В	Ш	Ж	Ш	Ж
АÞВ	Ш	Ж	Ш	Ш

 

Пікірлер эквиваленциясы

А және В пікірлерінің импликациясы АÞВ берілген болсын. Оның шарты мен қорытындыларының орындарын уыстырып, ВÞА импликациясын аламыз. Оңы берілген АÞВ импликациясына кері импликация деп атайды. Мысалы, «Егер сіздің жасыңыз 16-дан үлкен болса, онда сіздің паспортыңыз бар» деген импликация берілген болса, онда оған кері импликация: «Егер сіздің паспортыңыз бар болса, онда сіздің жасыңыз 16-дан үлкен» түрінде болады.

 

А	В	АÞВ	ВÞА	(АÞВ) Ù ( ВÞА)
Ш	Ш	Ш	Ш	Ш
Ш	Ж	Ж	Ш	Ж
Ж	Ш	Ш	Ж	Ж
Ж	Ж	Ш	Ш	Ш

 

Бұл таблицадан (АÞВ) Ù ( ВÞА) пікірі тек А және В пікірлерінің екеуі де не шын, не екеуі де жалған болған жағдайларда ғана шын болатындығын өріп отырмыз. Қалған жағдайлардың барлығында ол пікір жалған.

(АÞВ) Ù ( ВÞА) пікірің А және В пікірлерінің эквиваленциясы деп атайды және оны АÛВ жазбасы «В болғанда және тек сонда ғана А болады» деп оқылады. Сонымен, АÛВ эквиваленциясы. А және В пікірлерінің екеуі де шын немесе екеуі де жалған болғанда және тек сонда ғана, шын болады екен.

Мысалы, А пікірі: «792 саны 9-ға еселі», ал В пікірі: «792 санының цифрларының қосындысы 9-ға еселі» болатын болса, онда берілген А және В пікірлерінің импликациясы былайша естіледі: «792 саны оның цифрларының қосындысы 9-ға еселі болғанда және тек сонда ғана 9-ға еселі болады». Бұл эквиваленция шын, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де шындық.

«2=3 сонда және тек сонда, қашан 3<5» импликациясы жалған, себебі оны құрайтын пікірлердің бірі «2=3» жалған пікір.

Предикаттар

Айнымалысы бар мына төмендегі сөйлемдерді қарастырайық:

а) х<10;

в) х саны 5-ке қалдықсыз бөлінеді;

г) х>у.

 

Осы сөйлемдердегі кездесетін х және у айнымалыларын тек натурал мәндері ғана қабылдайды деп санайық, яғни хÎN, уÎN.

Бір немесе бірнеше айнымалысы бар және олардың нақтылы мәндерінде пікірге айналатын сөйлем пікірленетін форманемесе предикат деп аталады.

Предикатқа енетін айнымалылардың сандарына қарай бір орыны, екі орынды, үш орынды т. с. с. предикаттар деп ажыратады.

Осы предикаттардың әрқайсысымен біз екі жиынды байланыстырдық: Оның біріншісі N - барлық натурал сандар жиыны. Айнымалының мәндері осы жиыннан алынса берілген сөйлемдер пікірлерге айналды (шын немесе жалған).

Екінші - айнымалының орнына қойылғанда сөйлемдерді шындық пікірлерге айналдыратын натурал сандар жиыны. Мысалы, х<10 предикаты үшін осындай жиын болып {1,2,3...,9} жиыны саналады.

Бірінші жиынды предикаттың анықталу жиыны, ал екіншісін - оның шындық жиыны деп атайды.

Жалпы, егер қандай да бір предикат берілген болса, онда онымен екі жиын байланысты болады:

1. Анықталу жиыны (облысы) - айнымалының предикатты пікірге айналдыратын барлық мәндерінің жиыны.

2. Шындық жиыны Т - айнымалының предикатты шын пікірге айналдыратын мәндерінен тұратын жиын, әрі ТÌХ

Мысалыб А(х)б хÎN, «х саны 5-ке еселі» деген предикат болса, онда А(7) - «7 саны 5-ке еселі» деген жалған пікір болады, ал А(60) - «60 саны 5-ке еселі» деген шын пікір болады.

Екі орынды предикатты А(х,у) түрінде белгілейміз. Мұндағы х,уÎХ.

Бастауыш кластардың математик оқулақтарында біз «предикат» терминің кездестірмейміз, бірақ логикада предикат деп аталатын пікірмен үнемі ісіміз болып тұрады. Үшінші класс оқулығында мынадай есеп бар:

«а) а+18>23; б) а+18=23; в) а+18<23 жазбаларын қанағаттандыратын а әрпінің мәндерін 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 сандар қатарынан алып жазыңыздар»

Предикаттардың теріске шығуы,

 

Пікірлер сияқты предикаттар да элементар және құрама болады. Құрама предикаттар логикалық байланыс арқылы элементар предикаттардан құралады.

Х жиынында А(х) және В(х) екі предикаты берілген болсын. Онда олардың конъюнкциясы болып А(х)ÙВ(х) предикаты саналады. А(х)ÙВ(х) предикаты Х жиынының А(х) және В(х) предикаттарының екеуі де шын болатын х элементтерінде шын болады.

Мәселен, егер Х={1, 2, 3, ...,11, 12}жиынында А(х): «х саны 7-ден кіші» және В(х): және В(х): «х саны жай сан» деген екі предикат берілген болса, онда олардың конъюнкциясы А(х)ÙВ(х): «х саны 7-ден кіші және жай сан»предикаты болады.

А(х) предикатының шындық жиыны Т₁={1, 2, 3, 4, 5, 6}, ал В(х) предикатының шындық жиыны Т₂={2, 3, 5, 7, 11}. «х саны 7-ден кіші және жай сан» предикаты х=2, х=3, х=5 мәндерінде шын пікірге айналады. Олай болса, оның шындық жиыны - {2, 3, 5} жиыны Т₁ және Т₂ жиындарының қиылысуы болады.

Жалпы, егер А(х) предикатының шындық жиыны Т₁ ал В(х) предикатының шындық жиыны Т₂ болатын болса, онда А(х)ÙВ(х) предикатының шындық жиыны Т₁∩Т₂ болады (3-сурет).

Х жиындағы А(х)ÙВ(х) предикаты А(х) және В(х) предикатының дизъюнкциясы деп аталады. Ол Х жиының А(х) және В(х) предикаттарының ең болмағанда біреуі шын болатын х мәндерінде шын болады.

А(х): «оқушы х - спортсмен» және В(х): «оқушы х - қара шашты» деген екі предикат берілген. Осы предикаттардың дизъюнкциясы болып А(х)ÙВ(х): «оқушы х - спортсмен немесе қара шашты» предикаты саналады. А(х) предикатының шындық жиыны болып кластағы спортпен айналысатын оқушылар жиыны Т₁, ал В(х) предикатының шындық жиыны болып кластағы барлық қара шашты оқушылар жиыны Т₂ болады. Дизъюнқция А(х)ÚВ(х)-ның шындық жиынын спортпен айналысатын немесе қара шашты оқушылар енетін болады, яғни Т₁ және Т₂ жиындарының бiрлестiгiне жататын оқушылар енедi.

Осы құрама предикаттың шындық жиынын табайық. Ол үшiн:

1. А(х) және В(х) предикаттарының шындық жиындарын табу қереқ. Олар Т₁ ={-3, 0, 3} және Т₂ {2, 3, 4, 5) жиындары болады (Т₁жиыны А(х) үшiн, ал Т₂ жиыны В(х) үшiн).

2. Берілген предикаттардыңқонъюнкцияның шындық жиыны - Т₁ және Т₂ жиындарының қиылысуы екендiгiн табамыз, яғни Т₁∩Т₂=3