Құрастырған: Математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасының оқытушысы Ахметқалиева А. С. 2014ж

7.1 Натурал сандар

7.2 Теріс емес бүтін сандар жиының теориялық-жиындық тұрғыдағы түсініктемесі.

7.3 Арифметикалық амалдардың теориялық-жиындық тұрғыдағы түсініктемесі.

8.1 Санау жүйесі туралы ұғым

8.2 Ондық санау жүйесі

8.3 Позициалық санау жүйесі.

8.4 Позициалық емес санау жүйесі.

Санау жүйелері: екілік, сегіздік, ондық, он алтылық.

Сандар арнайы символдарцифрлардың көмегімен жазылады. Сандарды жазу және атау ережелері мен әдістерінің жинағы -санау жүйелері деп аталады.

Санау жүйесінің негізі – бұл берілген жүйедегі сандарды бейнелейтін әртүрлі таңбалар саны Цифраның сандағы позициясы разряд деп аталады.

Санау жүйелері позициялық емес Цифраның мәні оның сандағы позициясына тәуелді емес позициялық Цифраның мәні оның тұрған орнына байланысты өзгереді

ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЕМЕС САНАУ ЖҮЙЕСІ Позициялық емес санау жүйесінің түрлері: ерте гректің бестік, мысырлық, славяндық санау жүйелері. Римдік санау жүйесі – сандарды жазу үшін латын алфавитінің әріптері қолданылады: 1- әрбір үлкен санның сол жағына жазылған таңба сол саннан алынып тасталады; 2- әрбір үлкен санның оң жағына жазылған таңба сол санға қосылады. Сандарды жазу үшін екі ереже қолданылады: IX 9 = 10 -1 XII 12 = 10 + 1 + 1

Римдік санау жүйесінің негізінде 1 саны үшін І белгісі (бір саусақ), 5 саны үшін V (ашылған алақан) белгісі, 10 саны үшін Х (айқасқан алақандар) белгісі, ал 100, 500 және 1000 сандарын өрнектеу үшін сәйкес латын сөздерінің (centum – жүз, demimille – мыңның жартысы, mille – мың) алғашқы әріптері қолданылады. Римдік цифрлар I 1 V 5 X 10 L 50 C D M 100 500 1000

Позициялық санау жүйелері Санау жүйесі Негізі Ондық 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Екілік 2 0,1 Сегіздік 8 0,1,2,3,4,5,6,7 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10) , B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) Он алтылық Цифр алфавиті

8. Еске сақтайық! Сандардың қандай сандық жүйеде тұрғанын бiлу үшiн, оның төменгi жағына индекс жазылады және индекс санның қандай жүйеде екенi көрсетiледi. Санды білгілі бір санақ жүйесінде қосындылауыш түрінде жазу үшін сол санды оңнан солға қарай 0-ден бастап нөмірлеп аламыз да, санның негізінің дәрежесі түрінде көрсетеміз. Ал бөлшектен кейінгі сандар теріс таңбамен алынады. Мысалы: 3 2 1 0 3ЕС816= 3*163 +Е*162+С*161+8*160

Ондық санау жүйесі Екілік санау жүйесі 1 0 Сегіздік санау жүйесі 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (8 орын) Он алтылық санау жүйесі 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (16 орын)

Ондық санау жүйесi Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшiн 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Мыс: 234=200+30+4 сан 2 жүздiктер разрядынан, 3 ондықтар разрядынан, 4-бiрлiктер разрядынан тұрады. 234 санын қосынды түрiнде былай жазамыз: 2*102+3*101+4*100 Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесiн негiздеушi. Егер сан ондық бөлшек болса, ол терiс дәрежеде жазылады. Мыс: 38,956=3*101+8*100+9*10-1+5*10-2+6*10-3 Екілік санау жүйесі Екiлiк жүйеде кез келген сан екi 0 және 1 цифрларының көмегiмен жазылады және екiлiк сан деп аталады. Екiлiк санның әрбiр разрядын (цифрын) бит деп атайды. Екiлiк жүйеде қосындыда негiздеушi ретiнде 2 санын қолданады. Мысалы, 1001,11 екiлiк сан үшiн қосынды мына түрде болады: 1*23+0*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2

Сегiздiк санау жүйесi Сегiздiк санау жүйесi, яғни сегiздiк негiздеушi санау жүйесi, сегiз цифрдың көмегiмен санды көрсетедi: 0,1,2,3,4,5,6,7. Мысалы, 356 санын негiздеушi 8 қосындысы түрiнде жазайық: 356=3*82+5*81+6*80 Оналтылық санау жүйесi Оналтылық санау жүйесiнде санды жазу үшiн ондық санау жүйесiнiң цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және жетпейтiн алты цифрды белгiлеу үшiн ондық сандарының мәнi 10,11,12,13,14,15 болатын сәйкес латын алфавитiнiң алғашқы үлкен әрiптерi: A,B,C,D,E,F қолданылады. Сондықтан оналтылық сандарда, мысалы, 3Е5А түрi болуы мүмкiн. Осы санды негiздеушi 16 қосындысы түрiнде жазайық: 3Е5А=3*163+Е*162+5*161+А*160

9.1 Бөлінгіштік қатынас және оның қасиеттері

9.2 Бөлінгіштік белгілері

9.3 Жай және құрама сандар

9.4 Сандардың ЕҮОБ және ЕКОЕ, олардың негізгі қасиеттері

9.5 ЕҮОБ және ЕКОЕ табу алгоритмдері. .

Натурал сандар бөлінгіштігі тақырыбы бесінші сынып «Математика» курсынан белгілі. Натурал сандардың бөлгіші, натурал сандардың еселігі ұғымдары осы тақырыпты меңгерудегі негізгі ұғымдар болып табылады.Бір санына кез-келген натурал сан бөлінетіні, ал нөлге ешқандай санды бөлуге болмайтыны мәлім.

Бөлінгіштік белгілері

Бөлінгіштік белгілері деп, берілген х санының а санына қалдықсыз бөлінетінін бөлу амалын орындамай-ақ білуге болатын ережелерді атаймыз.

Егер сан жұп цифрымен аяқталса, сол сан 2-ге бөлінеді

Цифрларының қосындысы 3-ке тең натурал сандар 3-ке бөлінеді.

Егер санның соңғы екі цифрынан құралған сан 4-ке бөлінсе, онда берілген сан да 4-ке бөлінеді.

Жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын натурал сандар 5-ке бөлінеді.

Егер берілген сан 2-ге және 3-ке бөлінсе, онда берілген сан да 6-ға бөлінеді.

Берілген сан 7- ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да, тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 7 – ге бөлінсе, онда берілген сан да 7 –ге бөлінеді.

Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 –ге бөлінсе, берілген сан да 8 –ге бөлінеді.

Цифрларының қосындысы 9-ға тең натурал сандар 9-ға бөлінеді.

Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын натурал сандар 10-ға бөлінеді.

Санның 11-ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай екі –екіден топтаймыз да қосындысын табамыз. Сонда берілген сан 11- ге бөлінсе, берілген санда 11-ге бөлінеді.

Сан 19- ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген бірліктерінің қосындысы 19- ға бөлінуі керек.

Сан 25- ке бөліну үшін, ол 00, 25, 50, 75, т.с.с. сандардың бірімен аяқталуы керек.

Сан 33-ке, 99-ға бөліну үшін, оның цифрларын оңнан солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан қосындысы 33-ке, 99-ға бөлінуі кеерк.

Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде екі –екіден бөлінген цифрларының тақ орындағылардың қосындысы мен жұп орындағылардың қосындысын бірінен –бірін ажыратқанда айырма не 0-ге, не 101 –ге тең болса ол сан 101 –ге бөлінеді.

Сандар бөлінгіштігінің қасиеттері:

• 
  1) Егер а в және а>0 онда а≥в.
  
• 
  2) Егер а в және в а, онда а=в.
  
• 
  3) Егер а в және в с, онда а с.
  
• 
  4) Егер а с және в с, онда кез келген m және n натурал сандар үшін (ma+nв) c, егер ma> nв болса,
  

• 
  5) Егер а в және k≠0, онда ak вk.
  
• 
  6) Егер ak вk және k≠0, онда а в.
  

Енді 19 санына бөлінетін сандарды тексерейік: егер қосынды 19-ға бөлінсе, берілген сан 19-ға бөлінеді.

19→ 9*2+1=19-19-ға бөлінеді.

76→6*2+7=19-19-ға бөлінеді.

175→5*2+17=27-19-ға бөлінеді.

418→8*2+41=57→7*2+5=19-ға бөлінеді.

76→9*2+8=26-19-ға бөлінеді.

29 санына бөлінгіштік белгісін тағайындау үшін бірінші қосылғышқа үнемі 3 саны көбейтіліп отырады.

29→9*3+2=29-29-ға бөлінеді.

87→7*3+8=29-29-ға бөлінеді.

319→9*3+31=58→8*3+5=29-29 санына бөлінеді

Дәл осылай 39; 49; 59; т.б. сандарға бөлінгіштік белгілерін қарастыруға болады.

59 санына бөлінгіштігін тексереміз.

59→9*6+5=59-59-ға бөлінеді.

118→8*6+11=59-59-ға бөлінеді.

177→7*6+17=59-59-ға бөлінеді.

178→8*6+17=65-59-ға бөлінеді.

Келесі 1 мен аяқталатын санға (10m+1) санның бөлінгіштігі:

Теорема: Егер (mb-a) саны (10m+b)-ге бөлінсе,онда(10а+1)-1 мен аяқталатын санға бөлінуін тексерейік:

m=7; 71 санының бөлінгіштігін қарастырайық:

71→7*1-7=0-71 санына бөлінеді.

355→7*5-35=0-71 санына бөлінеді.

852→7*2-85=-71-71-ге бөлінед

242→7*2-24=-10-71-ге бөлінеді.

(10а+b) саны 7-ге бөліну үшін:(2b-а) саны 7-ге бөлінуі керек.

91→2*1-9=-7-7-ге бөлінеді.

119→2*9-11=7-7санына бөлінеді.

42→2*2-4=0-7-ге бөлінеді.

163→2*3-16=-10-7-ге бөлінбейді.

…
&&&

10.1. Сан ұғымының кеңеюі

10.2. Бүтін сандар

10.3. Бүтін сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар

10.4 Бүтін сандар жиынының қасиеттері және олардың геометриялық кескіні

10.5 Бөлшек және рационал сан ұғымдары

10.6 рационал сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері

10.7 Ондық бөлшектер

10.8 Ондық бөлшектерге қолданылатын арифметикалық амалдар

10.9 Рационал сан шектеусіз периодты ондық бөлшек ретінде