Сборник научных статей научно-практической конференции «Байтанаевские чтения-Х»

356 
Егер 
болса, онда (2) формула былай жазылады: 
Сурет1.Элементтер үшін диаграмма.
Сурет2.Оқушылар үшін диаграмма 
. (3) 
Мысал 1.
 
Сыныптағы 32 оқушының 14-і мектепте өткен футбол турниріне, 
10-ы – баскетбол турниріне және 8-і волейбол ойынынан жарысқа қатысқан. 
Мұнда 6 оқушы әрі футбол, әрі баскетбол жарысына, 5 оқушы әрі футбол, әрі 
волейбол жарысына, 4 оқушы әрі баскетбол, әрі волейбол турниріне, ал 3 
оқушы барлық үш ойыннан жарысқа қатысқан. Сынып оқушыларының нешеуі 
осы турнирлердің бірде-біреуіне қатыспаған? 
Шешуі.
Көрнекілік үшін Эйлер-Венн диаграммаларын қолданайық (2-
сурет). А-футболға; В-баскетболға қатысқан оқушылар жиыны; С- қатысқан 
оқушылар жиыны; U-сыныптағы барлық оқушылар жиыны болсын. Есеп 
шарты бойынша:
(3) формула бойынша 
сыныптағы 
оқушылардың жарыстың қандай да бір түріне қатысқандарының санын алдық. 
Онда сыныпта 
оқушы жарыстың бірде-бір түріне 
қатыспаған. 
Жауабы. 12 оқушы. 
Салдар.
Егер 
Ø болса, онда 
теңдігі 
орындалады. 
Дәлелдеу.
Ø болғандықтан, 
. Онда (1) формуладан 
көрсетілген теңдік шығады. 
Көбейтінді ережесі.
Алдымен мынадай мысал қарастырайық. 
Мысал 2.
 
Бірлестіктің директорлары кеңесінің мүшелері арасынан үшеуі 
кеңес төрағалығына, ал екеуі оның орынбасары қызметіне сайлануға үміткер. 
Олардың ішінен неше түрлі тәсілдермен төраға мен оның орынбасарын 
сайлауға болады? 
Шешуі.
 
Төрағалыққа үміткерлерді 
арқылы, ал орынбасарлыққа 
үміткерлерді 
арқылы белгілейік. Мұнда кез келген төрағалыққа үміткер 
адам кез келген орынбасарлыққа үміткер адаммен топтасып төраға-орынбасар 
жұбын құра алады. Оны 1-кестеден көре аламыз: 
Кесте 1. Үміткерлерді құру тәсілдері. 
Т 
О 
Т
1 
Т
2 
Т
3 
О
1 
(Т
1
;О
1
) 
(Т
2
;О
1
) 
(Т
3
;О
1
) 
О
2 
(Т
1
;О
2
) 
(Т
2
;О
2
) 
(Т
3
;О
2
) 
Осыдан төраға мен оның орынбасарын 
түрлі тәсілмен сайлауға 
3

m

       
 
 
 

C
B
A
n
C
B
n
C
A
n
B
A
n
C
n
B
n
A
n
C
B
A
n














 
3
)
(
,
4
)
(
,
5
)
(
,
6
)
(
,
8
)
(
,
10
)
(
,
14
)
(
,
32













C
B
A
n
C
B
n
C
A
n
B
A
n
C
n
B
n
A
n
U
n


20
3
4
5
6
8
10
14










C
B
A
n
 
12
20
32
)
(






C
B
A
n
U
n


B
A
)
(
)
(
)
(
B
n
A
n
B
A
n





B
A
0
)
(


B
A
n
3
2
1
,
,
T
T
T
2
1
,
O
O
6
2
3


В 
А 
А 
В 
С 

357 
болады [2]. 3-суретте бұл шешім графтың жолмен кескінделген. Осы суретте 
кескінделген схеманы талдау ағашы
 
деп атайды. Оның басынан бастап кез 
келген бұтағымен жүріп өтсек, онда белгілі бір төраға-орынбасар жұбын 
аламыз. 
Сурет 3.Үміткерлер графигі. 
Осы 
мысалдан 
шығатын 
қорытынды 
жалпы 
жағдайға 
былай 
тұжырымдалады: 
Теорема 2.
Кез келген 
санаулы элементтері бар 
және 
жиындары 
үшін барлық 
қос элементтер саны 
осы жиындар 
элементтері сандарының көбейтіндісіне тең: 
(4) 
Дәлелдеуі.
Айталық, 
жиындары берілсін 
. Онда (4) формуланың орындалатынын көрсету үшін 2-
мысалдағыдай 2-кесте құрастырса, жеткілікті: 
Кесте 2.Элементтерді таңдап алу тәсілдері. 
a
b 
a
1 
a
2 
...
a
p 
b
1 
(a
1
;b
1
) 
(a
2
;b
1
) 
… 
(a
p
;b
1
) 
b
2 
(a
1
;b
2
) 
(a
2
;b
2
) 
… 
(a
p
;b
2
) 
… 
… 
… 
… 
… 
b
k 
(a
1
;b
k
) 
(a
2
;b
k
) 
… 
(a
p
;b
k
) 
Осы кестеден 
теңдігі орындалатынын көреміз. 
Осы сияқты математикалық индукция принципін қолданып, санаулы 
элементтері 
бар 
жиындары 
үшін 
барлық 
, элементтер тізбесі саны 
формуласымен анықталатынын көрсету қиын емес. 
Әдебиеттер 
1.Жетпісов Қ. Математикалық логика және дискретті математика.-Алматы: «Дәуір», 2011. 
2.Салғараева Г.И. Графтар теориясы. – Алматы, ЖШС «Дәуір», 2013. 
A
B
  
 

B
a
A
a
b
a


,
,
;
m
)
(
)
(
B
n
A
n
m






k
p
b
b
b
B
a
a
a
A
,...
,
,...
,
2
,
1
2
1




k
B
n
p
A
n


)
(
,
)
(
)
(
)
(
B
n
A
n
k
p
m




k
A
A
A
,...,
,
2
1

 

k
i
A
a
a
a
a
i
i
k
,...,
2
,
1
,
,
;...;
;
2
1


)
(
...
)
(
)
(
2
1
k
A
n
A
n
A
n
m




Б 
Т
1 
Т2 
О
Т3 
О
О
О
О
О
Басталуы: 
Төраға сайлау: 
Орынбасар 
сайлау: 

358 
ӘОЖ 317.134 
МЕКТЕПТЕ АЛГЕБРА ПӘНІНЕН ДӘЛЕЛДЕУГЕ БЕРІЛГЕН 
ЕСЕПТЕРДІ КЕЙБІР ШЫҒАРУ ТӘСІЛДЕРІ
Лесбекова Ж.- 
126-38а тобының студенті
 
Ғылыми жетекші: Джаманкараева М.А.-
ф.-м.ғ.к. 
Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік педагогикалық университеті, Шымкент 
Резюме 
В статье рассмотрены пути решения задач на доказательство по алгебре в 
школьном курсе и способы ее решения. Кроме того, большое значение придается логической 
части математических задач.
Дәлелдеудің дедуктивтік әдісі тек геометрия теоремаларын дәлелдеуде 
ғана емес, оның алгебралық материалдар арқылы жүзеге асырылу мүмкіндігі де 
мол. Алгебра курсында дәлелденетін көптеген сөйлемдер теорема деп атала 
бермейді. 
Олардың 
тұжырымдамаларында 
теореманың 
шарты 
мен 
қорытындысы айқын көрініп тұрмайды. Дегенмен, мұндай теоремаларды 
дәлелдеуде пайымдау мен ойқорытулар, жалпы дәлелдеуге қойылатын 
талаптарды қанағаттандыруы керек. 
Алгебра курсындағы кейбір теоремалар формулалар немесе ережелер 
түрінде беріледі. Алгебра курсында кейбір сөйлемдер қатаң түрде дәлелденетін 
болса, кейбіреулерінің дұрыстығына мысалдар арқылы көз жеткізеді, ал 
кейбіреулері дәлелдеусіз алынып, оларға түсінктеме ғана беріледі. Мұндай 
жағдай, оқушылардың жас ерекшеліктерін ескеру мен оқу материалының 
мазмұнына байланысты болады. Сонда да болса, алгебра курсында дәлелдеуге 
ерекше назар аударуды қажет етеді. 
Алгебра курсындағы дәлелдеулердің кұрылымы қарапайым, олар 
геометриядағыға қарағанда өте қысқа әрі ықшамды да, ыңғайлы және 
сондықтан да алгебралық материалдар арқылы дедуктивтік ойқорытуды 
меңгеру, геометриядағы күрделі дедукцияларды жүргізудің алдын ала
дайындық жұмысы болып табылады. 
Aлгебра курсында оқушыларды қарапайым дедуктивтік ойқорытуға 
үйрету - дәлелдеулер жүргізудің ең басты элементі. 
Мысалы, «2,5 және -2,5 сандары х
2
=6,25 теңдеуінің шешімі 
болатындығын дәлелдеу керек болсын». 
Бұл есепті шығару үшін оқушылар берілген сандарды тендеудегі 
белгісіздің орнына қойып, тендік дұрыс болса, дәлелдеуді орындадық деп 
есептейді. Ал, шын мәнінде оқушылар дәлелдеудің мағынасын дұрыс түсіну 
үшін не себепті, қандай негізге сүйеніп дәлелденіп отырғанының ара жігін ашу 
керек болады. 
Бұл қарастырылып отырған мысалдағы дәлелдеудің негіздемесін мынадай 
сөйлем қалайды: «Егер а саны берілген теңдеуді дұрыс тендікке айналдырса, 
онда а саны теңдеудің шешімі болады». 
Сонда берілген есепті шығарудың жеткілікті негізі
(2,5)
2
= 6,25 және (-2,5)
2
= 6,25 теңдіктерінің орындалуы. 
Сонымен оқушы былай пайымдайды: «Егер 2,5 және -2,5 сандарын берілген 
тендеудегі белгісіздің орнына қойғанда теңдеу дұрыс теңдік болса, онда ол 
сандар теңдеудің түбірі болады. 

359 
(2,5)
2
=6,25 және (-2,5) 
2
=6,25 дұрыс теңдік болғандықтан, 2,5 және -2,5 
сандары х
2
=6,25 теңдеуінің шешімдері [1]. 
Алгебраны оқыту барысындағы ең маңызды мәселелердің бірі – теңбе-тең 
түрлендірулер идеясын игеру болып табылады. Бұл идеяның мәні мынада: 
бұрын қорытылып шығарылған ережелерді және теориялық негіздемелерді 
басшылыққа ала отырып берілген өрнекті белгілі бір түрге келтіру нәтижесінде 
алдымызға қойған мақсат орындалды деген қорытындыға келу. 
Қандай да бір теориялық материалдарды оқыту немесе тендеулер мен 
теңсіздіктерді шешу барысында теңбе-тең түрлендірулер жасай отырып, біз 
шын мәнінде дәлелдеулер жүргіземіз. 
Мысалы, 3(х+1)+ x < 4(2+x) теңсіздігін дәлелдеу керек болсын: 
(а<в)

(а-в)<0) теоремасының негізінде теңсіздіктің оң жағындағы 
өрнекті сол жағынын шығарып түрлендірсек: 
(Зх+3+х-8-4х<0)

(-5<0). 
Сонымен бұл табылған -5<0 дұрыс теңсіздігі берілеген теңсіздікті 
дәлелдеудің жеткілікті негізі болып табылады. 
Кез келген тендеулер мен теңсіздектерді шешу теңбе-тең түрлендірусіз 
мүмкін болмайды. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу кезінде мәндес 
түрлендірулер жүргізіп отырылады. 
Теориялық, материалдарды оқытудағы дәлелдеудің мысалы ретінде 
натурал көрсеткішті дәреженің қасиетін алуға болады: 
n
m
рет
n
m
рет
n
рет
m
n
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a





























...
)
...
(
)
...
(
Бұл түрлендірулерді орындау барысында дәреженің анықтамасына, 
көбейтудің қасиеттеріне және соңында тағы бір рет дәреженің қасиетіне 
сүйендік.
Бұл дәлелдеудің мағынасын ұғынудың нәтижесінде оқушылар бірдей 
негіздегі дәрежелерді көбейтудің қасиетін саналы біледі, ойқорытулар жасауға 
да дағдыланады. Ойқорыту тәсілдерін меңгерген оқушы оны басқа 
дәлелдеулерді жүргізуге пайдалана алады. 
Алгебра курсындағы дәлелдеулерде де геометриядағы сияқты қадамдар 
(силлогизмдер) 
тізбегі 
бойынша 
жүргізіледі 
Оқушылар 
алгебралық 
теоремаларды дәлелдеу мен теңбе-тең түрлендірулер жүргізуде әрбір қадамды 
негіздей отырып дәлелдеудің логикалық құрлысының барлық жағдайда да 
бірдей екендігін біледі. [2] 
Мысалы, (а+в)
2
= а
2
+ 2ав + в
2
формуласын дәлелдеуді мынадай түрде 
жүргізуге болады. 
Кесте 1. 
Теңбе-тең түрлендірулер 
Негіздеме 
(а+в)
2
=(а+в)(а+в)= 
Дәреженің анықтамасы бойынша. 
а(а + в) + в(а + в)
Үлестірімділік заңға сәйкес. 
а
2
+ав+ав +в
2
Қосуға қатысты үлестірімділік заң бойынша және 
дәреженің қасиетіне орай. 
а
2
+2ав +в
2
Ұқсас мүшелерді біріктіру 

360 
Теңбе-теңдіктерді мұндай ретпен дәлелдеу дәлелдеудің алғашқы 
кездерінде орындалады. Ал кейін дәлелдеудің әрбір қадамын негіздеу ауызша 
жүргізіледі. Мысалы, төмендегі түрлендіру үдірісінде әрбір қадамның ауызша 
айтылатын негіздемесі жақшаға алынып жазылған. 
0,2 а
2
вс
3
3ав
2
ск=0,6а
3
в
3
с
4
к теңбе-теңдігін дәлелдеу керек. 
Д ә л е л д е у. 0,2а
2
вс
З
3а
2
ск = (көбейтудің орын ауыстырымдылық заңына 
сәйкес) = 0,2
ּ
За
2
авв
2
с
3
ск = (терімділік қасиет бойынша) 
= (0,2
ּ
3)(а
2
а) (ев
2
) (с
3
с) к = (ондық бөлшектерді көбейту және натурал 
көрсеткішті дәрежелерді көбейту ережелері негізінде) = 0,6а
3
в
3
с
4
к. 
Теңбе-тендіктің сол жағын түрлендіру нәтижесінде тендіктің оң 
жағындағы өрнекке тең өрнек алдық. Демек, теңбе-теңдік дұрыс. 
Қорытындылай келе, біліктіліктерді қалыптастыру оқушылардың жас 
ерекшіліктеріне байланысты. Зерттеулер жеткіншек жастағыларда дайын 
дәлелдеулерді меңгеру, ал жастықтағыларда дәлелдеуді өз бетінше жүргізіге 
ынталылық басым болатындығы көрсетеді.
Оқушылардың дәлелдеу біліктілігін қалыптастырудың негізгі бағыттары 
төмендегідей болуы мүмкін. 
1.
Дәлелдеудің математика курсындағы жаңа білімдерді ашу және оқу 
материалын меңгерудегі орны мен мәнін оқушыларға көрсету. 
2.
Ойдың, пікірдің шындығын мақұлдау немесе теріске шығару процесі 
дәлелдеу екендігін оқушыларға түсіндіру. 
3.
Индуктивті және дедуктивті әдістерді пайдалануға үйрететін оқушылармен 
мақсатты жұмыстар жүргізу: кейбір дербес мысалдардан жалпыны табу 
біліктілігін қалыптастыру; индуктивті қорытындыға оқушылардың сыни 
көзқарасын тәрбиелеу; индуктивті ой қорытындысынан дедуктивтіні ажырата 
алу біліктілігін қалыптастыру.
4.
Оқушылардың тиянақтан салдар шығарып алу біліктілігін жоспарлы түрде 
қалыптастыру, оқушылар өздерінің ой қорытындысын логикалық дұрыс 
безендіру. 
5.
Дәлеледеу үшін қажетті оқушылардың танымдық әрекетін қалыптастыру 
және оларды қажет жерінде пайдалана алуға үйрету. 
6.
Дәлелдеу барысында орындалатын танымдық әрекеттетерді жалпылауға 
оқушыларды үйрету. 

жүктеу/скачать 8,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: