Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f



Pdf көрінісі
бет106/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   102   103   104   105   106   107   108   109   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


§
1
. К р и вол и н ей н ы е и н тегр ал ы по длине
В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в
В задачах 3770— 3775 вычислить криволинейные интегралы.
3770. \
где 
L
— отрезок прямой 
у = ~ х
— 2, заключенный

х 
у 
Z
L
между точками Л (0, — 2) и /3(4, 0).
. j 3771. 
^ху ds,
где 
L
— контур прямоугольника с вершинами /1(0, 
0
),
В
(4, 0), С (4, 2) 
и 
D (
0, 2).
3772. J
yd s
, где 
L
— дуга параболы 
у- = 2рх,
отсеченная параболой
L
x L =
2
ру.
]
3773. ^ 
(х~ -\-уа
~)п ds,
где 
L
— окружность
L
х = a
cos 
t, 
у = а
sin 
t.
(* 
t 2 
V*
3774. \
xyds,
где 
L
— четверть эллипса ^
1
, лежащая в пер-
l.
вом квадранте.
0 3 7 7 5 . $]/"2,
yds,
где 
L
— первая арка циклоиды
L
x = a (t
— sin 
t), 
y = a (
I — cos 
t).
3776. Вывести формулу для вычисления интеграла 
\ F (х, y)d s
п по-
I
лярных координатах, если линия 
L 
задана уравнением 
p = p('f) (ср,^<р^со). 
\ : 3777*. Вычислить ^ 


у) ds,
где 
L
— окруж ность 
х--\-у~ = ах.
 
____________
3778. Вычислить ^ 
х }/ х *
— 
у- ds,
где 
L
— линия, заданная уравпе-
L
пнем (л~ -j- / “)■ =
а-(х
1

у 1) (х
^
0
) (половина лемписка і ы
).
Г Л А В А XIII


240
ГЛ. XIИ . КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ
^ 3779. Вычислить ^ arctg 
~ ds,
где 
L
— часть спирали Архимеда р =
2
'.р,
L
заключенная внутри круга радиуса 
R
с центром в начале координат 
(в полюсе).
(* 
Z“ cl
s
3780. Вычислить интеграл ^ 
y i > ^де ^ — первый виток винто­
вом линии 
x = acost,
_)' = asin £ , 
z = at.
3781. Вычислить 
^xyzds,
где 
L
— четверть окружности л*-- f - У -j-
L
z '= R*, х
2
-J-У
1
=
, лежащая в первом октанте.
3782. Вычислить 
\ {2 z

Y х*
-}-У ) 
ds,
где 
I
— первый виток копи-
L
ческой винтовой линии
x = tco$t, 
y = tsint, 
z
=
t.
\ 3783. Вычислить 
^(лг- j- y c f s , 
где 
L
— четверть 
окруж ности
L
х*
-{- 
у
'1
-[- 
z*
=
R*, у = x,
лежащая в первом октанте.
П р и м е н е н и я и н т е г р а л о в
3784. Найти массу участка линии 
у = \пх
между точками с абсцис­
сами 
х\
и 
Хь
если плотность линии в каждой точке равна квадрату 
абсциссы точки.
X
3785. НаМти массу участка цепном линии ^ = a c l i — между точками
с абсциссами jcj =
0
и 
х* = а,
если плотность линии в каждой ее точке 
обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке 
(
0

а)
равна о.
3786. НаМти массу четверти эллипса 
х = а
cos 
t, y = bs\nt,
распо­
ложенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке равна 
ординате этой точки.
3787. Найти массу первого витка винтовом линии 
x = aco st, у =  
=
a
sin /, 
z = bt
, плотность котором в каждой точке равна квадрату 
полярного радиуса этом точки.
3788. НаМти массу дуги линии 
x = cl cost, у = е*
sin£, 
г = е*
от 
точки, соответствующем 
t =
0
, до произвольной точки, если плотность 
дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке 
(
1

0

1
) равна единице.
3789. Найти координаты центра тяжести первого полувитка винто­
вой линии 
х = а
cos 
t,
_y = asintf, 
z = bt,
считая плотность постоянном.
3790. Вычислить статическим момент первого витка конической вин­
товой линии 
х = i
cos 
t, у = t
sin
t, z = t
относительно плоскости 
Оху,


§ I. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ
241
считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой пло­
скости: р = /ez2,
3791. 
Вычислить моменты инерции относительно координатных осей 
первого витка винтовой линии 
x = aco$t, y = as\nt, z = t^ t.
В задачах 
3792

3797 
вычислить площади частей цилиндрических 
поверхностей, заключенных между плоскостью 
Оху
и указанными поверх­
ностями.
3792. х
2
у"
=
R\ 
z = R
-
~ .
3793. 
у
1
=
2
рх, 
z
=
У '
2
рх
— 
4х3.
3794. У ’=
~ (х —
1);‘, 
z = 2 —
У х .
3796. х
2
+ / = /?', 
2Rz = xy.
3796. 

z = kx
и 
2 = 0
( z ^ s O ) («цилиндрическая 
под­
кова»).
___
g
3797. 
у — У
2
рх, 
z = y
и 
х = -у р.
3798. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из круг­
лого цилиндра радиуса 
R
такой же цилиндр, если оси этих цилиндров 
пересекаются под прямым углом (ср. с решением задачи 
3642).
3799. Найти площадь части поверхности цплппдра 
х - 
у*
=
Rx,
заключенной внутри сферы х
3
-{-
у*
-j- z
2
=
R*.
Согласно закону Бно— Савара элемент тока действует на магнитную
ml
sin a 
ds 

,
массу 
т
с силой, равной по величине ------ р ------- , где 
I
— ток, 
as
— эле­
мент длины проводника, 
г
— расстояние от элемента тока до магнитной 
массы, 
а — угол между направлением прямой, соединяющей магнитную
массу 
и элемент тока, и направлением самого 
элемента тока. Эта сила
направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, 
в которую помещена магнитная масса; направление силы устанавли­
вается правилом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи 
3800— 3805.
3800. Найти силу, с которой ток / в бесконечном прямолинейном 
проводнике действует на точечную магнитную массу 
т ,
находящуюся 
па расстоянии 
а
от проводника.
3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной 
а,
течет 
ток 
1
.
С какой силой этот ток действует на точечную магнитную массу 
tn,
находящуюся в центре квадрата?
3802. Показать, что ток 
I,
текущий по дуге линии, уравнение кото­
рой в полярных координатах имеет вид р = р (ср), действует на точечную


242
ГЛ. X III. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ
магнитную массу, находящуюся в полюсе, с силой
' —
f t -
fi
3393. С какой силой ток /, текущий по замкнутому эллиптическому 
контуру, действует на точечную магнитную массу 
т ,
находящуюся 
в фокусе эллипса?
3804. С какой силой ток /, текущий по бесконечному параболиче­
скому контуру, действует на точечную магнитную массу 
т ,
помещен­
ную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фокуса равно 
р/
2
.
3805. С какой силой ток 
1
,
текущий по круговому контуру радиуса 
R,
действует на точечную магнитную массу 
ш,
помещенную в точку Р, 
лежащую на перпендикуляре, восставленном в центре круга, на расстоя­
нии 
Һ
от плоскости круга?
При каком значении 
R
эта сила будет наибольшей прп заданном /г?

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   102   103   104   105   106   107   108   109   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет