Секция методика преподавания математики

1. Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. Part 1, 4th corrected edition, Univ (BookFi.org). – Moscow, 2002. – 597 p.

2. Smirnov V.I. Higher mathematics, vol.1 (AW, 1964)(L)(T)(278s) - Oxford - London, 1964, 278 p.

3. Demidovich BP Collection of problems and exercises in mathematical analysis. 13th edition, revised – M, ed. CheRo, 1997. – 624 p.

УДК 510.6.001.12
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЛОГИКАЛЫҚ БАЙЛАНЫСТАР
Искакова Г.А.

«Қазақ-Қытай» академиясы, Қызылорда
Ғылыми жетекшісінің ассистенті – Сембаева И.А.
Қазіргі мектепте оқыту мен тәрбие жұмысын ұйымдастырудың оқушыны субьективті жеке тұлға деп қарауға бағытталуы қоғамның әлеуметтік қарым қатынастарды гуманизациялауға деген қажеттілігінен туындайды.

Оқу мен тәрбиенің интеллектуалдандырылуы оқушылардың ой-өрісінің, ойлау қызметінің дамуымен байланысты.Ал олардың ой-өрістерінің, ойлау қабілеттерінің дамуы жалпы қабілеттердің, соның ішінде математикалық қабілеттердің қалыптасуы мен дамуына да байланысты болып келеді.

Математикалық жалпы қабілет құрылымы келесідей негізгі компонентерден тұрады:

1. Математикалық материалдардың мазмұнын формалды деңгейде қабылдау, есептің формалды қалпын түсіну.

2. Математиткалық обьектілерді , қатынастарды және амалдарды тез және кең түрде жалпылай алу.

3. Математикалық ойлау процесін және оған сәйкес әрекеттер жүйесін ықшамдау, ықшамдалған құрылым бойынша ойлауды жүзеге асыру.

4. Математикалық іс-әрекет негізінде туындайтын ойлау процесінің икемділігі.

5. Ойлау процесінің тездігі және еркін түрдегі бағыттылығы ойлаудың тура бағытынан оған қарама-қарсы бағытына көше алу.

6. Айқындыққа, қарапайымдылыққа, икемділікке және тиімді ойлауға талпыну.

7. Математикалық есепті (мысалы, жалпылауға, логикалық схема құруды үйренуге арналған) шығара алу.

Математика ғылымының дамуы бағыттарына сәйкес (шетелдік зерттеулер негізінде) математикалық ойлаудың келесіндей төрт типі айқындалған:

1. Логикалық

2. Формалдық

3. Интуициялық

4. Амалдық

Математиканың әр түрлі салаларында, ерекшеліктеріне байланысты математикалық ойлаудың компонентерінің келесідей топтары да бөлініп көрсетілген:

1. Аналитикалық, геометриялық, гармониялық (В.А. Крутецкий).

2. Алгоритмдік, геометриялық, логикалық (А.Н.Колмогоров).

Екінші топтағы компонентердің нақты сипаттамасы келесідей:

1. Күрделі әріптік өрнектердің тиімді түрлендіре алу (есептеу қабілеті);

2. Геометриялық елестету;

3. Дәйекті логикалық ой жүгірту.

Бұл аталған компоненттердің келесідей нақтылануы (көптеген есептерді шығаруға талдау жасау негізінде) жүзеге асырылады.

1. Алгоритмдік қабілет.

2. Геометриялық қабілет.

3. Логикалық қабілеттердің көрініс табу жағдайлары:

а) кейбір жалпы жағдайлардан дербес жағдайларды бөліп алып зерттеу жүргізе алу;

ә) есептің ықшамды және қайшылықсыз схемасын сала алу;

б) дәлелді пікірлер айта лау, мысалы дербес жағдайларда «кері жору», «қарсы мысал келтіру», «есепті шешу кезінде» соңынан бастапқы жағына қарай жылжыту» т.с.с. дәлелдеу тәсілдеріне сүйене отырып пікірлер айта алу [7].

Математикалық ойлау ерекшеліктерін келесідей белгілер арқылы айқындауға болады [1].

1) логикалық тұжырымдар жүйесінің басымдылығы;

2) мақсатқа жетуде ең ықшамды жолды таңдай алу мүмкіндігінің жоғарылығы (ой ықшамдылығы);

3) ой жүгіртудің бөліктік айқындылығы;

4) символды дәлдікпен қолдану.

5) ой тұжырымдардың, пікірлердің нақты еместігін, дәлелдемелердегі қажетті буындардың толық еместігін байқау.

Математикалық мәліметтерді сақтай алу қасиеті математикалық есеппен сипатталады – математикалық қатынастарға, пікірлер мен дәлелдер жүйесінің типтік сипаттарына, математикалық есептерді шығару әдістері мен оларға келу принциптеріне деген жалпыланған естің болуы. Аталған компоненттердің біріне математикалық ақыл-ой құрылымын да жатқызады. Міндетті түрде енетіндері келесілер:

- ойлау процесінің тездігі (уақыт сипаты тұрғысынан)

- жұмыс істеудің жеке-даралық шапшаңдығы (ой тұжырымдарын асықпай, бірақ терең түрде де жасауға болады);

- есептеу қабілеттері (мысалы әртүрлі амалдарды ойда орындай алғанмен қарапайым есептерді шығара алмайтын жағдайлар да кездеседі).

Оқушының шығармашылық іс-әрекеті мен іздемпаздық дағдыларын қалыптастыру, жүйелі қорытынды жасай білу, дәлелді пікір айту іскерлігін арттыру, жалпылай алу, дедуктивті ойлау, логикалық икемділіктер-салыстыру, талдау, жинақтау, жүйеге келтіру математика пәнін оқытудың өн бойында жүзеге асыруға болатындай мүмкіндіктер өте көп.

Мектеп курсында логика жеке пән ретінде – өтілмейді, логикалық білім мен дағдыларды қалыптастыруға барлық сабақтардың үлесі бар, олардың ішінде математика сабағының ара салмағы үлкен.

Логика – бұл адам ойлауының түрлері мен заңдары туралы, оның ішінде дәлелдеуге болатын пікірлердің заңдылықтары туралы ғылым.

Ғылыми пән ретінде логиканың бірнеше нұсқалары дараланады:

1. Формальды логика

2. Математикалық логика

3. Ықтималдықты логика

4. Диалектикалық логика

Математикалық логиканың (басқаша логика алгебрасы) деп аталады. Ол алғаш рет Джордж Бульдің еңбектерінде пайда болды. Логикалық есептерде тек сандар ғана емес, күтпеген тым шиеленісті пікірлер де бастапқы деректер болып табылады.

Логика дұрыс ойлаудың заңдары мен жүйелі де дәлелді түрде пайымдауға қойылатын талаптар туралы ғылым.Анықтама, дәлелдеме, пайымдау, жіктеп саралау тағы басқа логикалық амалдарды әрбір оқушы өзінің ойлау қызметінде қолданып отырады.Оқушы анықтамаларды жаттап, теоремаларды дәлелдей отырып дәлелдеу мен бекерлеудің мәні, түрлері және оларды қалай дұрыс қолдану туралы әдетте біле бермейді.

Негізгі логикалық терминдер болып табылатын «және», «немесе», «егер... болса, онда...», «емес», «сонда» және «тек сонда ғана» тағы басқа арқылы құрастырылған сөйлемдердің мағынасын түсінуге бағытталған жұмыстарды мақсатты жүргізбейінше мектеп оқушыларының математикалық тілін жетілдіруге болмайтындығын айта келіп, Дж.Икрамов «теориялық материалдарды игеруде ғана емес, әр түрлі жаттығулар орындау барысында да негізгі логикалық терминдерді мектеп оқушыларының саналы түрде қолдана білу дағдыларының қалыптасуы, олардың өз ойларын дәл айтуы, күнделікті қолдану тіліміздегі кездесетін көп мағыналық пен түсініксіздіктерді болдырмауға мүмкіндік береді» деп көрсетті.

Теориялық және эксперименттік зерттеулер, оқушылардың логикалық білімін дамытудағы ескерілмей қалатын ерекшеліктерінің бірі-7-8 сыныптардағы оқушылардың логикалық мәдениеттілігін тәрбиелеудегі сабақтастықтың жеткіліксіз екендігін көрсетіп отыр.

Пікір-дегеніміз-жалған немесе ақиқат болуы мүмкін қандай да бір пайымдау.

Пікірлер жалпы және жеке болып болып бөлінеді. Жеке пікір нақты фактілерді көрсетеді. Күрделі жағдайларда сұрақтардың жауабы және, немесе, емес. Логикалық жалғаулықтарын пайдаланып, құрамды пікірлер арқылы беріледі. Логикалық жалғаулықтардың көмегімен басқа пікірлерден құрастырылған пікірлерді құрамды деп атайды. Құрамды емес пікірлерді қарапайым немес элементар деп атайды.

Құрамды пікірдегі және жалғаулығы әрқашан қүұраушы пікірлердің бәрін ақиқат деп ұйғарады.Құрамды пікірлердегі немесе жалғаулығы екі жақты рөл атқаруы мүмкін.

Барлық компьютерлік бағдарламаларда және математикалық пайымдауларда немесе жалғаулығы тек біріктіруші рөлінде түсіндіріледі.

Емес жалғаулығы теріске шығаруды тұжырымдау үшін қолданылады. Мысалы: «Бұл адам –сұлу» пайымдауының теріске шығаруы-«Бұл адам сұлу емес» пайымдауларына тең.

Математикада біз пікірлермен үнемі кездесіп отырамыз, әрі ондай пікірлерді жазу үшін мынадай >,<,=,≠ т.б. арнайы белгілерді жиі пайдаланамыз.Мысалы, мынадай пікірді «11>9» кездестіруге болады.Бұл пікір «11 саны 9 санынан үлкен» сөйлемнің қысқаша жазбасы болып табылады.

Математикада логикада және, немесе, емес логикалық операциялары ақиқаттың мәндер кестесімен анықталады.Информатика пәнінде математикадан айырмашылығы «ақиқат» пікірін –«1», ал «жалған» пікірін –«0» деп белгілейді.
Әдебиет

1. 
   Хинчин А.Я. О так называемых «задачах на соображение» в курсе арифметики.
   
2. 
   Арнхейм Р. Визуальное мышление. – М., 2001. – 368 с.
   
3. 
   Блонский И.Д. Возрастная и педагогическая психология. – М., 1994. – 262 с.
   
4. 
   Возрастная и педагогическая психология / Сост. И.В. Дубровина, А.М, Прихожан, В.В. Зацепин. – М., 1999. – 320 с.
   
5. 
   Гребцова Н.И. Развитие мышления учащихся // Начальная школа. – 2005. – №11. – С. 24-27.
   
6. 
   Эрдниев П. М. и Эрдниев Б. П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. – М.: Педагогика, 2008. – 220 с.
   
7. 
   Шикулис Э.Ж. Развитие математических способнестей учащихся // Математика в школе. – №1. – 2005. – С.14-17.
   
8. 
   «Информатика Физика Математика» журналы. 1997. – №6. – С.3-5.
   
9. 
   «Білім» ғылыми-педагогикалық журналы. – 2009. – №5. – С. 20-21.
   

ӘӨЖ 519.21

Тұжырым 1. және кездкйсоқ шамаларының бірлескен үлестірім тығыздығы

формуласымен анықталады.

кездейсоқ шамасының үлестірім заңымен бірдей.

Бұдан кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы

демек, кездейсоқ шамасының шарты орындалған кездегі шартты үлестірім тығыздығы

болатынын көреміз. Ендеше мен дің бірлескен үлестірім тығыздығы

мұндағы , .

Ары қарай, (4) формуламен анықталған тығыздығының формуласында деп алып,

формуласын аламыз, ал бұл дәлелдеу керек болып отырған (1) формуланың дәл өзі.

Салдар 1. Винер процесінің аралығындағы траекториясының максимум нүктесі болатын кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы

формуласымен анықталады.

Еске сала кетелік, (7) формуласының оң жағымен анықталған үлестірім заңы ықтималдықтар теориясында арксинус заңы деп аталады.