Методикалық нұсқау

Бұл көмекші құрал пединституттың математика мамандығында өтілетін «ықтималдықтар теориясы» курсының А.Н.Колмогоров жасаған программасына сәйкес жазылды.

Бұл 3 тарау, 19 параграфтан құралған.

Біріні тарауда элементтері дискретті жиын болған кездейсоқ оқиғалар, элементар оқиғалар кеңістігі, оқиғалар алгебрасы ұғымы, ықтималдықтың классикалық анықтамасы бұл анықтама негізінде дәлелденілген ықтималдықтардың қасиеттері келтірілді. Комбинаторика формулаларын пайдаланып есептер шығарылды.

Екінші тарауда ықтималдықтың статистикалық анықтамасы келтіріліп оның практикамен байланысын айқындауға қажетті практикалық сенімділік критерийі мен үлкен сандар заңы туралы ұғым берілді.

Үшінші тарауда элементар оқиғалар кеңістігі элементтегі қалаған сан болуына кеңейтілген. Сөйтіп, F системасының δ алгебрасы ұғымы енгізіліп, Колмогоров аксиоматикасы берілді. Ықтималдықтардың қасиеттері келтірілді.

Оқырмандар қауымына ұсынылып отырған бұл кітапшаны жазуда автор көптеген қиындықтарға кездесті. Олар, біріншіден, сырттан және стационар оқитын студенттер мұқтаждығын бірдей ескеру қажеттігі туды, сондықтан математикалық қатаңдықты толық сақтай отырып, курс мазмұнын неғұрлым қарапайым баяндау болды. Екіншіден, орыс тіліндегі терминдердің қазақша баламасын жасау болды.

Бұл екі мәселе жөнінде автор қз тәжірибесін пайдаланды.

Сөйтіп кітапша негізіне автордың көп жылдан бері Шымкент пединститутының математика факультетінің 3 курс студенттеріне оқылған лекциясы алынды. Сонымен қатар совет елінің түрлі қалаларында басқа мамандықтарға, әсіресе тіл және экономика мамандықтарына, ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикадан оқылған лекциялар пайдаланылды.

Бұл кітапшада қарастырылатын негізгі ұғым оқиға /кездейсоқ оқиға/ және оқиға ықтималдығы. Басқа қатыстар осы екі ұғым негізінде құрылған. Сондықтан бұл ұғымдарды баяндауды негіздейік.

ОҚИҒА ҰҒЫМЫ

Бұл ұғым ықтималдықтың классикалық анықтамасында бастапқы ұғым болып, формальды логикалық тұрғыдан анықталынбайтын жиын ұғымы ретінде түсіндірілсе ал аксиоматикалық анықтамада оған анықтама беріледі. Сондықтан оқырмандар оқиға ұғымы туралы мына жағдайларды ескеруі қажет.

Оқиға және олардың арасындағы қатыстарды үш рет қайталап отырғанымызды аңғару қиын емес.§1 де оқиғаның элементі туралы ешқандай сөз болғаны жоқ. Тек геометриялық ұғымға сүйендік.

Аңғарып қарасақ ,келтірілген мысалдарымыз нәтижесі шекті сан болып отырды, бәрақ нәтиже шекті ме шексізбе, санаулы ма әлде санаусыз ба ол туралы сөз қатқанымыз жоқ.

§2 де нәтижесі шекті және тең мүмкіндікті оқиғаларды ғана қарасытрдық. Элементар оқиғалар кеңістігі еңгізілді. Бұл кеңістік элементтері санаусыз шексіз болуы туралы осы параграфта ескеріліп ғана қойылады. Сөйтіп бұл жағдайға §18 арналды.

§1де оқиғалар алгебрасын /өрісін/ шекті операциялар нәтижесі арқылы енгізілген бұл операциялардың орындалуы санаулы шексіз болғанда δалгебра болатыны §18 параграф та айтылды.

Оқиғалар алгебрасы мен δ-алгебра ұғымдары, біріншіден, оқиғалар жиындары мен жасалуында болса, екіншіден, операциялардың орындалу санында екендігін аңғару керек.

Ықтималдықтар теориясының бірінші негізгі ұғымы оқиға бірте бірте кеңейтіліп анықтала түсіп формализацияланады. Сөйтіп колмогоров аксиоматикасында ғана оқиға деп, белгілі бір жиынды ұғатынымызға негіздеме берілді. Ал оған дейін оқиға сынау нәтижесі ретінде қарастырылды, ол элементте, жиында болып кездесіп отырылды.

Екінші негіздегі ұғым ықтималдықта осы сияқты формализацияланған. Бұл жағдайда ықтималлдықтың әрбір анықтамасы бір бірімен салыстыру және жетімсіздігін толықтыру арқылы түсіндірілді. Ықитмалдықтың классикалық анықтамасы мен аксиоматикалық анықтамасы оқиғалар алгебрасын кеңейту арқылы ұштастырылды.

Статистикалық анықтама мен жиілік салыстырылып отырды. Ықтималдықтың негізгі үш қасиеті аталған үш анықтама үшін де орын алатындығын басынқырап айтудағы мәселе ол ықтималдықтар теориясын бұл аталған анықтамалардың кай қайсысы негізінде құруға болатынына көз жеткізу болды.

Негізгі теоремалардың дәлелдемесі ықтималдықтың классикалық анықтамасы негізінде келтірілді.

Сөйтіп мектеп курсында факультативтік курсты өткенде ұсынылып отырған құралды пайдалануға қолайлы болу жағдайы ескерілді.

Комбинаторика туралы айтылғанда 9 класста өтілетін материалдар ескеріліп ыөқтималдықтар теориясымен байланыстыру жағдайы ойластырылды. Мұнда қайталама іріктеме және қайталанбайтын іріктеме сияқты статистика терминдерінің негіздеуді жөн көрдік. Осы терминдерді пайдаланып формулалар қорытылды. Бұрын соңды қазақша келтірілмеген терминдерде және ұғымдарда бар.

Жалпы теориялық модель мен практиканың ұштасуы үлкен сандар заңы арқылы болуына жалпы сипаттама берілді. Бұл ұғым келешекте математикалық статистика туралы берілетін мәләметтермен ұштасады.

Математикалық теория болу үшін зерттеп отырған құбылысқа байланысты математикалық модель болуы қажет. Яғни құбылысты сипаттау үшін қатаң айқындалған символ мен оларға қолданатын операцияларды пайдалану керек. Бұл мәселе қазіргі заман математикасында аксиоматикалық жүйеде құрғанда ғана шешілетіндіктен, ықтималдықты колмогоров берген аксиомалар негізінде аныұтап ықтималдықтар теориясын құру негізделді.

Ықтималждықтың аксиоматикаллық жүйесі классикалық және статистикалық анықтамаларды болған кемшіліктердің болмауын қамтамасыз етіп, қатаң математикалық теория құрудың негізі болатынын іспеттеді.

Ықтималдықтар теориясы математикалық пен ретінде қарастылылғандықтан келтірілген мысалдар негізінде теориялық мәселелерді айқындауға және оның түрлі қолдануларымен байланысын ашуға арналған.

Келтірілген есептердің құрылымы жағынан ықтималдықтар теориясының тарихы және басқа ғылым салаларымен байланысы туралы азды көпті мәліметтер береді.

1. 
   Ықтималдықтар теориясы басқа ұғымдар сияқты бірден қалыптаспаған. Ол өзінің дамуында талай сатыдан өткен /кіріспені қара/.
   

2 ықтималдықтар теориясының физика ғылымының дамуына әсері өте мөте зор болды. Жалпы статистикалық физиканың негізделуінде ықтималдықтар теориясының алып тұрған орны ерекше. Бұл мәселе комбинаторика формулаларын пайдалану арқылы частицалардың ұиаларда орналасуының ықтималдығын анықтауға байланысты статистикалық физиканың әртүрлі саласының болуын мысалмен түсіндірілді.

3 келтірілген мысалдардың ішінде ықтималдықтар теориясының түрлі салалар мен, мысалы, тіл білімі мен, биологиямен, статистикамен т.т. байланысын аңғару қиын емес.

Сонымен қатар осы мысалдарға қарап, оқырмандардың өздері де есеп қарастыруына мүмкін болатын жағдайы қарастырылды.

Ұсынылып отырған бұл кітапшада қазақша оқу құралдарының жоқтығы ескеріліп неғұрлым жүйелі қарапайым баяндауды, есептерді аяғына дейін шығаруды жқн көрдік. Бұлай құрылған методикалық талдаудың пайдасы болар деп ұғамыз. мұндағы ойластырған бір мәселе оқырман осында жазығандарды бірнеше қайталап оқыса, шығалырған есеп модельдерін түсінсе, онда ықтималдықтар есебінен толық шығара алады және теориялық материялдарды түсінеді деп ұғамыз.

Кейбір мәселелер жөнінде орыс тіліндегі оқу құралдарына және автор өзінің кітапшасына нұсқап отырды.

Кітап соңында келтірілген тізім- программа бойынша ұсынылған кітаптар, тек сол тізімге автор өзінің кітапасын қосуға тиіс болды.

Әрине, бұл методикалық талдаманы ұсыну үшін тізімде келтірілген әдебиеттен басқа да көптеген кітаптарды пайдаланды. Бұлардың тізімін[4],[5 ] кітаптардан қараңыз.

Сонымен қатар бұл бөлімде баяндалған ұғымдар келешек бөлімдерде түгелдей пайдаланып отырылады. Сондықтан бұл курсты меңгеремін деушілер осы бөлімде жазылған қарапайым ұғымдарды егжей тегжейі мен түсіну қажет.

Мұнда қолданылған математикалық апаат өте қарапайым, сондықтан бұл бөлімді түсіну үшін қазіргі орта мектеп көлеміндегі математиканы білу жеткілікті. Осы себепті бұл көмекші оқу құралын мектеп мұғалімдері факультативтік курсқа толық пайдалануына болады.

КІРІСПЕ

Табиғаттағы құбылыстар сан алуан және олар түрлі түрлі әдістер мен зерттелінеді. Солардың ішінде кейбір құбылыстар сан алуан қайталанып жиын жасайды. Мұндай жиындарда кездесетін заңдылықтар жеке құбылыстар қасиетін зерттеу мен анықталмайды. Өйткені бұл заңдылықтардың өзіне тән ерекшеліктері бар, сонымен қатар ол көп жағдайда сол жиынның жеке элементтерінің ерекшеліктеріне тікелей байланысты болмайды. Мысалы, ыдыста белгілі көлемде газ бар болсын. Енді осы газдардың ыдыс қабырғасына түскен қысымын өлшейік. Мұндағы газдар бір бірімен соқтығысып, қабырғаға түскен қысымын қадағалауға болмай, кездейсоқ өзгеріп отырады. Бірақ көптеген зерттеулердің нәтижесі бойынша малекулалар саны сейлінше көп болса, газдардың ыдыс қабырғасына түскен қысымы газ бөлектерінің жүрген жолына байланыссыз болып, белгілі бір заңға бағынады, мысалы Боиль-Мариотта заңы.

Қарастырайық деп отырған ықтималдықтар теориясы –кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ұғым. Сайып келгенде, ықтималдықтар теориясы қандайда математикалық /теориялық/ модель құру және оны таңдау мен айналысады, ұсынылып отырған жұмыста дедуктивті ықтималдықтар моделі сипатталынады.

Қазіргі ауқытта ықтималдықтар теориясы ғылыммен техниканың алуан түрлі салаларында қолданылып отыр, математиканың көптеген салаларына қарағанда ерекше орын алып отыр.

Ықтималдықтар теориясының әдістері, оның апараты барлық жаратылыстану және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп ұғ\ынылатын тіл ғылымына, педагогика мен психология ға, сонлай ақ археологияға да еніп олар мен ортақ тіл табысып ішкі құрылыс заңдарын ашып көрсететін пәрменді құралға айналып отыр.

Кибернетиканың негізгі салалары-информация теория, ойын теориясы, операция теориясы, сенімділік теориясы т.б математикалық аппараттарды ықтималдықтар теориясы негізінде құрылған.

Бұл ғылым XVII ғасырда пайда болған делінеді. Ал ықтималдықтың бастапқы ұғымдары өте ертедегі заманда –ақ кездеседі. Мәселен, біздің жыл санауымыздан 2238жыл бұрын Қытайда өткізілген санаққа қарағанда, жаңа туған ұл балалардың санының барлық нәрестелердің жалпы санына қатынасы тұрақты және ол сан ге тең /яғни ықтималдығы /

Ал қызба құмар ойындарда көп қолданылып жүрген ойын кубы /ойын сүйегі/ Иракта, Индияда осыдан 6 мың жыл бұрын қолданылғаны анықталды.

Ықтималдықтар теориясының тарихи дамуы мен ғылым ретінде қалыптасуы бірнеше сатыдан өтеді.

Бірінші сатысы, ол XVII ғасырға дейінгі дәуір. Бұл дәуір өте ұзаққа созылғанымен арнайы зерттеу методтары болмаған дәуір. Бұл дәуірде келешекте ықтималдықтар теориясының дамуына материялдар жиналады. Бұл дәуір XVI ғасырда шыққан Луки Пачоли /1445-1541/, Н. Партолий /1499-1557/, Д. Кардан /1501-1576/, т.т. еңбектерімен аяқталады.

Екнші сатысында ықтималдықтар теориясының алғашқы ұғымдары қосу және көбейту теоремалары енеді. Бұл дәуір XVII ғасырдан XVIII ғасырға дейінгі уақытты қамтыдф. Бұл дәуірде көрнекті еңбек сңірген ғалымдар Б. Паскаль /1623-1662/, П. Ферма /1601-1665/, Х. Гоигенц/1629-1695/.

Келесі, үшінші, сатысы үлкен сандар заңының қарапайым түрі және оның қатаң дәлелдемесі келтірілген. Я. Бернуллидің/1654-1705/ 1713 жылы шыққан «искусство предположения» еңбегінен басаталады. Осыдан бастап Европа ғалымдары А. Моавр /1667-1754/, Т. Байес /1702-1763/, П. Лаплас /1749-1826/, Ф. Гаусс /1777-1855/, С. Пуассон /1781-1840/ орасан зор үлес қосты.

Бұл ғылымның келесі дамулары ұлы орыс математигі Пахнутий Львович Чебышев /1821-1894/ басқарған Петербург ықтималдықтар теориясы мектебімен байланысты. Атап айтқанда П. Л. Чебышевтің XIX ғасырдың орта кезінде жарық көрген іргелі зерттеулерінен бастап Рассияда ықтималдықтар теориясы пәрменді дамыды. Аса ірі еңбектер сіңіріп, жаңа әрі құнды нәтижеге қолы жеткен Рассия Совет ықтималдықтар теориясын дамытқан Совет ғалымдары А.А. Марков /1856-1922/,А.М. Ляпунов/ 1857-1918/, А. Я. Хинчин/ 1894-1959/, А. Н. Колмогоров/ 1903 жылы туған/, С. Н. Барнитеин/ 1880-1968/, В.И. Ромоновский/ 1879-1954/, В.И. Слуцкий/ 1880-1948/, В.И. Гливенко/ 1896-1940/, Б.В. Гнеденко/ 1912 жылы туған/, Ю.В. Линник/ 1915-1972/, Ю.В. Прохоров/ 1929жылы туған/ т.т есімдері жұртшылыққа кеңінен мәлім.

Ыктималдыктар теориясымен математикалык статистиканы дамытып ірі жетістіктерге ие болган ғалымдардын бірі –Ташкент математика мектебінін негізін калаушы В.И.Ромоновский.корнекті галымдар Т.А.Сарымсаков/1915жылы туган/,С.Х.Сираждинов/1920жылы туган/сиякты,В.И.Ромоновскидін баскада шәкіртері бул ғылымнын өркендеуіне елеулі үлес қосып келеді.

Ықтималдықтар теориясының қазіргі замандағы даму дәуірі аксиоматикалық негіздеуден басталады. Бұған байланысты алғашқы жұмыстар Берншейн, Мизес, Борель аттарымен байланысты болғанымен, аксиоматикалық методтың тұжырымдамасын берген және барлық ғалымдардың мойынсынғаны осы ғасырдың отызыншы жылдары Совет академигі

А.Н.Колмогоров ұсынған акисоматикасы. Қазіргі ықтималдықтар курсы көп жағдайда осы Колмогоров аксиоматикасы негізінде баяндалды.

Тарау1. Элементар оқиғалардың дискіретті кеңістігі. Ықтималдықтың анықтамасы.

§1.Оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы.

Бұл ұғымды түсіндіру үшін мысалдар келтірейік.

1-мысал. Басбармағымыздың үстіне монетті койып, қаттырақ ыршытып жіберейік. Монет жоғарлап барып бір жағымен жатады, я қырымен тұрады.

2-мысал. Бір тектес материалдан жасалған симетриялы дұрыс кубтың әрбір жағын 7-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік.Оны бір рет лақтырғанда 6 жағының бірі жоғары қарай жатады, я бір қырымен тұрады, не бір төбесімен шаншыла тұрады деп болжауымызға болады.

Бұл мысалдарды тәжірибенің абстракттық моделін, яғни математикалық теориясын құру үшін пайдаланатын болсақ, онда алдымен тәжірибенің мүмкін нәтижелерін айқындап алуымыз керек. Мұны анықтаудағы қойылатын бірден-бір талап монета және куб түсетін еден мейілінше тегіс болуы қажет. Сонда келтірілген мысалдардағы «қырымен тұру», «төбесімен шаншыла тұру» нәтижелерін ескермеуімізге болады. Сөйтіп, тәжірибе ықшамдалып нәтижесі айқындала түседі.

Сонымен, монетаны лақтырғанда тек бір жағы жоғары қарай жатады, кубты лақтырғанда 6 нөмірінің тек бір нөмері ғана жоғары жатады деп келісеміз және қай жағы жатса да, тәжірибе нәтижесі болмақ, мұны оқиға деп атаймыз.

Оқиғаларды А,В,С,... әріптерімен белгілейміз. Бұл оқиғалар тәжірибе орындалғанда пайда болуы да, болмауы да мүмкін, яғни бұлар-кездейсоқ оқиғалар .Өйткені қай нәтиженің пайда болуын алдын ала айта аламыз. Мұндай оқиғаларға монетті лақтырғанда тиын жағымен, кубты лақтырғанда алты жағының бірінің жоғары қарап түсуі т.т. мысал бола алады.

Кездейсоқ оқиғалар арасында белгілі қатыстар бар. Сондықтан бұлардың арасындағы негізгі қатыстарды келтіріп, амалдарды орындап, олардың көрнекілігін графикпен, яғни Эйлер-Венна диаграмасымен көрсетейік.

1.Сынау жүргізгенде сөзсіз пайда болатын нәтижені ақиқат оқиға дейміз. Оны U әрпімен белгілейміз.

2.Сынау жүргізгенде сөзсіз пайда болмайтын нәтижені мүмкін емес оқиға дейміз. Оны ϑ әрпімен белгілейміз.

3-мысал. Жәшікте формасы, салмағы бірдей 10 қызыл шар бар дейік. Жәшіктегі шарды араластырып жіберіп, кез келген бір шар алсақ, ол алынған шардың қызыл болуы ақиқат оқиғада, басқа түсті болып шығуы мүмкін емес оқиға болады.

3.Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар дейді. Мәселен, А₁,А₂ оқиғалары-үйлесімсіз оқиғалар.

4. Кез келген екі-екіден алынған оқиғалар үйлесімсіз болса, ондай оқиғаларды қос-қостан үйлесімсіз дейді.

5. Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда екіншісінің де пайда болуы мүмкін болатын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды. Мысалы кубтың жұп нөмірінің шығуы А және үш санына еселік нөмірдің шығуы В үйлесімді. Өйткені кубтың 6-нөмірінің шығуын көрсететін А₆ оқиғасы А оқиғасы пайда болуы мүмкін.

6. Сынау нәтижесінде оқиғалардың тек әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаларды жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар дейді. Мысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының біреуі шығуы сөзсіз, сондықтан А₁,А₂,А₃,А₄,А₅,А₆ оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар, бұлар оқиғалардың толық тобын құрайды деп атайды. Сондықтан бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық системасын құрайды дейміз. Мұндай оқиғалар системасын оқиғалар кеңістігі деп те атайды.

7.А және В оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болуын сол оқиғалардың қосындысы деп атайды. Оны А+В немесе АUВ деп белгілейді. U- бірігу таңбасы. Сонымен, екі оқиғаның қосындысы дегенде не А оқиғасы, не В оқиғасын, не А және В екеуі де пайда болатын оқиғаны түсінеміз. Оқиғаны өзіне –өзін қосқанда сол оқиғаның өзі шығады, яғни

А+А=А.

А және В оқиғалар қосындысының геометриялық кескінін көрсету үшін кездейсоқ оқиғаның жазықтықта фигура деп қарастырған қолайлы. Квадратішіндегі радиусы үлкен дөңгелектегі нүктелер жиыны А оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелерді кескіндейді, радиусы кіші дөңгелектегі нүктелер жиыны В оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелерді кескіндейді десек, онда А+В оқиғасы біріктірілген екі дөңгелек құрайтын облыстағы нүктелер жиынын көрсетеді. 1_а –чертеж А және В оқиғалары үйлесімді болған жағдайдағы қосынды оқиғаны көрсетсе, 1_ә-чертеж бұл оқиғалар үйлесімсіз болғандағы қосынды оқиғаны көрсетеді.

АВ оқиғасының геометриялық кескіні 1_б –чертежде келтірілген екі дөңгелекке ортақ облыс болады.

9. А оқиғасы орындалып, В оқиғасы орындалмайтын оқиғаны А оқиғасы мен В оқиғасының айырмасы деп атайды. Мұны А-В немесе А/В деп белгілейді азайту немесе шегеру таңбасы. А-В оқиғасының геометриялық кескіні 1_в-чертежде келтірілген А дөңгелегінің белгілі болмақ.

10. Сынау нәтижесінде пайда болған В оқиғасы екінші бір А оқиғасының да пайда болуын қамтамасыз етсе, онда В оқиғасының пайда болуынан А оқиғасы да пайда болады дейді. Бұл жағдайда В-ны А-ға толықтырушы оқиға деп атайды. Мұны В А деп белгілейді. –Құрамында жату таңбасы.

В А қатысы В облысы А облысының бөлігі екенін көрсетеді. Бұл факт 1_г-чертежде айқын көрсетілген. Геометриялық талдаудан

1.А

2.ВАжәне АС болса, онда ВС болады

3.ВА болса, АВ=A және АВВ

Сондай-ақ АUϑ=А, АUU=U, а болуын байқау қиын емес. Бұларға талдау жасауды оқырмандардың өздеріне тапсырамыз.

11.Сынау нәтижесінде пайда болған А оқиғасы В оқиғасының да пайда болуын қамтыса /яғни АВ/ және сынауда В оқиғасының пайда болуы А оқиғасының пайда болуын қамтыса /яғни ВА/ онда А және В оқиғаларын эквивалент деп атайды. Мұны А=В деп белгілейді. Өзара Эквивалент кез келген екі оқиғаны теңбе –тең немесе тең оқиғалар деп атайды.

Барлық ақиқат оқиғалар эквивалент , сондықтан оларды U әрпімен белгілеу қабылданған. Сондай-ақ барлық мүмкін емес оқиғалар да мәндес, сондықтан оларды да бір ϑ әрпімен белгілеу қабылданған. Оқиғалардың толық тобын құрайтын А,В,С,…,Z оқиғалар қосындысы ақиқат оқиға , яғни

А+В+С+…+Z=U.

12.Оқиғалар қосындысының анықтамасы бойынша А+В оқиғасы мен В+аА оқиғасы эквивалент, ал көбейтіндінің анықтамасы бойынша АВ менВА эквивалент оқиғалар. Бұл жәйт оқиғалар саны екіден артық болғанда да орындалады. Олай болса, оқиғалардың қосындысы және көбейтіндісі үшін орын ауыстыру заңы орындалады.

13. Екі үйлесімсіз А және Ā оқиғалары оқиғалардың толық тобын құраса, олар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. Олардың қосындысы-ақиқат оқиға, яғни А+Ā=U(2)

ал көбейтіндісі-мүмкін емес оқиға, өйткені олардың екеуіне де ортақ оқиға болмайды, яғни А*Ā=ϑ. (3)

2және 3 формулаларын пайдаланып, былай айтуға да болады: егер екі оқиғаның қосындысы ақиқат оқиға, ал көбейтіндісі мүмкін емес оқиға болса, ондай екі оқиға қарама-қарсы оқиға деп атайды. Көбейтіндісі мүмкін емес оқиға болатын қарама қарсы екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар деп атайды. Сондай-ақŪ=ϑ, ῡ=U,Ā=A болуын байқау қиын емес.

Бұл жерде қарама-қарсы екі оқиға бірін-бірі ақиқат оқиғаға толықтырып отыр. Сондықтан «емес» орнына «толтыру» операциясы терминде қолданылады.

14. Эйлер-Венна диаграммасы оқиғаларды қосу, көбейту, толықтыру операцияларының орындалуын көрнекі тексеруге мүмкіндік береді.

Шынында қандай да оқиғаларға бірігу,/U/ қилысу,/ϑ/ ішінде жату// және ішіне алу //операцияларының қолданылуы дұрыс болса, онда ол оқиғаларды сәйкес толықтырушы оқиғалармен ауыстырып қолданғанда операциялар бір-бірімен ауысады, яғни /U/мен ∩/не∩менU/,/ /,/не .Сол себепті мына қасиеттер орын алады: