2 Основные определения и утверждения теории приближения
2.1 Необходимые определения и леммы
Фиксируем и рассмотрим множество измеримых функций, удовлетворяющее следующим конечным условиям
на , это множество называется пространством Лебега и обозначается как .
Множество цепей, для которых следующие условия являются конечными, называется дискретным пространством Лебега
и обозначается как .
Определение 2.1.1 [25] Пусть функция является -периодичной непрерывной функцией. Обозначим тригонометрический полином как , не превышающий -ый порядок.
Пусть
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAHEAAAATCAIAAAAoIHXWAAAFG0lEQVR4nO1YeyilWxQ/Xo1HIlwa7zSIZIZIpGRyE2WSPCLlESKP5DkIIdfUyD8y5VX+oCaRlGLU1CR5P8aU99sdecwgj6E872++rW/2fN+xnZE5d+50f39onWWftX9r7bXWXvsoX11dSf7HvUL53ybwG+K/EVMFBYVfuZ4E9L6L6fr6upGREa2pqqpKTEx0cHCYmJggGh0dnc+fP9Nrnj9/XlhYqKam9tM4f4fZ2dmgoKCDg4OVlRWapNTFsnBje8ewf5PxbzGFrYCAgMHBQV7T2dmJPSCEhIRAr6ent7m5WV9fLzCBY0hJSamtrWXwvkdkZmbm5eWBkoCkVMjCje0dw/5Nxr/FdHx83NjYuLe3193dnWiwGkck4Q5kamrKzMxMXV09OTlZYOLp06cNDQ0M0veI8/Pznp6e5uZmXsOTlApZuLG9Y9i/yfh1TNEOFBUVExISXr16xcd0YGBAW1ubyKiOx48fSzUNNhsbG7QmLS1teXmZ1vj7+8/Nzb148cLAwGBvby8iIqK9vX1nZwe1U1lZCc2DBw/y8/ORg6WlpRBaWloCAwMh5+Tk8EZA0snJCVWvq6v75csXMcny8vKioqK/OURHRw8PD4u5SQXDO96+7MavY9rX1+fq6oqDSk1N3d7e1tfXl3DdQFVVlSx4//79TbtqaGgIelBFRYXUlWVlZciIT58+2dnZffz48fDw0MrKCqkn4Vq5qakpqesPHz4g4qGhoXRAJdxV8PLlS/j25s0bXkmTzMjIGBsbKykpubi4IGtobkgaIlxeXgqIMbzj7bON07iOKdxDQCFERkbW1dXl5uYK1uEk09PTpe4qxujo6NHREa0xMTGxsLCAoM3h7OzsDw5wr7+//9mzZ0hV/upE8iLoMzMzUi0jVRlbw3PU2dLSkrgJikP5o94xjNP4GtPV1VWkMfkcFRXl5uaGFoNTRds+Pj7GaUiY1YE1WElrFhcXkYy0RkVFhcRUjLCwsI6ODsT30aNHRIOYggbOFR1AsBgxRf7SGprk2tpaU1NTdnY2qu3169dSuUkFwzvevuzGv8a0uroanY7WwknkjouLC/qFsrKyt7f31taWh4cHmouWlpbABDZ7+PAhrQkODhbvhKLG35iYmKSkJCKgfUMwNzf39PSEcU1NzYKCAmhaW1sbGxvDw8PRvxBf2sjIyAhqn9YQkuQ8fHx8UJXwH20EX8TXxdwEwEDG9o63f6txR0dHNIfrmP7FQbxfbGwsOjHyAiMhrcfH3d1dHCxpF+/evcOIx+BNUMqByHwZSq3H4uJiCZe/Aj02xdXElxRNksR0cnKSKNHKiHArN5wo2zvePts4ShOXJ5FZ7yhfX9+amhqxvqur68mTJ/Pz86RecNvg7mbYuS+g8JELMpIkuAM3gXcM+7RxDLmkIUhufZvGxcWJlZh7UDJ+fn7kI599bOAWwuWOy4e9DGlycnICr8T/+pODjCR/iBsNgXcM+7RxNCVevst7Pz4+/g7fQpe0traenp62sbHBiIdEUFJSsre3hw+oMqLBaIUrtbu7G8Pc/v4+hgfUJq6vO2x3Z9zNOxry+w0FtyQGfgwiiNHbt2+dnZ0RNQQalxWmPKLBQ07CNVncpwsLC5ias7Ky5MbwviC/mCKUQ0NDXl5ep6enlpaWCBleVhgqMJYSDdo84o7GjwG2ra0Nr2lbW1syqP/KP0pJRPTkF1PMD9gbbyHIhoaG9L8MORAZ2So3Sj8Jcv39lAT0t8c/UEoMaJTuBc4AAAAASUVORK5CYII=)
рассмотрим нижние границы значении . –называют наилучшим приближением функции .
Теорема 2.1.1 (Борель) [25]. Для любой непрерывной, -периодичной функции и для любого , существует тригонометрический полином, не превышающий -ый порядок и удовлетворяющий следующему условию:
такой полином называется полиномом наилучшего приближения.
Теперь дадим определение наилушего приближения с помощью метрики пространства Лебега
называется наилучшим приближением функции по тригонометрическим полиномам, взятым из метрики , не превышающим порядок , .
Неравенство Миньковского. Пусть ![](data:image/png;base64,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)
или
.
Обобщенное наравенство Миньковского. Пусть даны параметры . Тогда выполняется неравенство:
или
Преобразования Абеля:
где
Достарыңызбен бөлісу: |