1.4 Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье
Изучим связь между рядами Фурье функции и ее производной.
Теорема 1.4.1 [23] Пусть функция f непрерывна на отрезке , и пусть
Если функция f кусочно-непрерывно дифференцируема на отрезке , то
т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой функции почленным дифференцированием.
Перейдем к изучению скорости сходимости ряда Фурье в зависимости от гладких функций. Предварительно рассмотрим лемму.
Лемма 1.4.1 [23] Пусть функция f имеет на отрезке непрерывные производные до порядка включительно и кусочно-непрерывную производную порядка , причем
тогда коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют неравенствам
где и ряд сходится.
Теорема 1.4.2 [23] Пусть функция f имеет на отрезке непрерывные производные до порядка включительно и кусочно-непрерывную производную порядка причем Тогда ряд Фурье функции f равномерно и абсолютно на всем отрезке сходится к самой функции f и
где ( числовая последовательность), а сумма Фурье порядка функции .
Таким образом, можно сказать, что на отрезке равномерно выполняется оценка
Заметим, что если и - последовательности неотрицательных чисел таких, что
и
то
(1.4.1)
Действительно, это неравенство сразу получается предельным переходом из неравенства Коши-Шварца
при .
Теорема 1.4.2 показывает, что чем более гладкой является функция т.е. чем больше она имеет производных, тем быстрее сходится к ней ее ряд Фурье.
Ряд Фурье -й производной функции имеет вид
где ![](data:image/png;base64,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)
Мы будем использовать следующее определение дробного дифференцирования, которое было введено Вейлем [24].
Пусть -периодическая интегрируемая функция . Тогда функция , удовлетворяющая
(1.4.2)
называется дробными производными Вейля порядка .
Напомним, что сопряженный ряд к (1.1.2) задается
Преобразованный ряд Фурье (1.1.2) определяется
(1.4.3)
где и последовательность положительных чисел.
Мы называем функцию производной Лиувилля-Вейля (или -производной функции) и обозначаем её . Как важный пример рассмотрим, если , тогда и для , мы имеем , где -дробные производные в смысле Вейля (см (1.4.2)) и является -дробной производной сопряженной функции
Пусть - наилучшее приближение функции по тригонометрическим полиномам степени не более , т.е.
На протяжении всей работы мы используем обозначение с , для оценки , где - положительная постоянная, не зависящая от существенныx величин в и . Кроме того, означает, что (в этом случае мы говорим, что эквивалентно ). Кроме того, C обозначает положительные константы, не зависящие от существенных параметров, которые могут быть различными в разных формулах.
Достарыңызбен бөлісу: |